共边共角相似三角形及其应用

共边共角相似三角形及其应用

一、基本概念：

1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.

这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.

2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.

如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△A BC，

那么可得：AC2= AD·AB .

特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时

(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.

二、应用举例：

例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切

⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是

上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .

分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所

以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通

过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，

应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.

这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.

评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.

例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C

相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相

交于点E. 求证：CE·CD为定值（云南中考）

分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以

C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，

所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、

AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽

△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.

评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.

例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD

= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,

DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值

（河南省初三数学竞赛试题）

解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,

故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到

∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：

BC2 = CE·CA

∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），

从而，x·y = 6×2 =12 ，

∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .

评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形

例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.

⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使

AC2 = AE·AB, 为什么?

⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.

如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明

理由.

⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?(重庆中考题)

分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，

那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.

为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只

要=.故，满足题目要求的点E是存在的.

作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,

即可. 且AC2 = AE·AB.

这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形

⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB

是⊙O的切线( 如图7);

⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么

PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .

评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；

⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.

参考习题

1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长

图5

线相交于点 E ，DH 切⊙O 于D ，交EB 于点H.

⑴ 求证：DH 平分∠CDE ；

⑵ 在图中的已知线段中找出两条线段，使它

们的积等于DE 2，并加以证明.（平顶山市模拟试

题）

2.已知如图，在△ABC 中, AB=AC, 过点A

的直线与△ABC 的外接圆O 交于D, 与BC 的延

长 线交 于 点F , DE 是BD 的延长线,连接CD.

求证: ⑴ DF 平分∠EDC; ⑵ AB 2=AD·AF;

⑶ AF 2－AB 2=AF·DF .(四川中招)

——————备 用 习 题——————

1.如图，PA 切⊙O 于A ， 割线PBC 交⊙O 于B 、

C 两点，

D 为PC 的中点, AD 的延长线交 ⊙O 于

E ，

又BE 2 =DE·AE ， 求证： ⑴ PA =PD

⑵ 2PB 2 = AD ·DE

[ 提示: 由切割线定理证PA =2PB , ∴ B 是PD 的中点)

2.如图，ΔABC 内接于⊙O ，AB = AC ，直线XY 切

⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ，

（1）求证：ΔABE ≌ΔACD ；（2）若AB = 6cm,

BC = 4 cm,求AE 的长.（吉林）

3. 如图,在⊙O 中, PAB 是经过圆心的割线, PC 切⊙O

于C, 若∠PAC = 120°, PA = 2cm,则PC =

________cm;

解：由PC 是切线，∠PAC = 120°,及AB 是直径 可得： ∠PCA=30°， 从而， AC=PA = 2cm, AB = 4cm , 再由

PC 2=PA·PB ， 可得：PC=2 ；

评析： 图中△PAC 与△PCB 是共边共角相似三角形 ；

4 .如图，PA 为⊙O 的切线，从PA 的中点B 做割

线BCD ，交圆于点C 、D ，连结PC 、PD 分别交

圆于点E 、F . 求证：∠APD = ∠EFD.

(河南省 中考题）

（图8）

（图9）