向量证明题

(2)如圖﹐ PO 平面 ABC﹐ PD BC ﹐ PE AC ﹐ PF AB ﹐ 由已知 PD PE PF ﹐又 PO 平面 ABC PO OD ﹐ PO OE ﹐ PO OF △POD △POE △POF OD OE OF ﹐ 又 OD BC ﹐ OE AC ﹐ OF AB （三垂線定理的逆定理） ﹐ 故 O 為△ABC 的內心﹒
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
PS PQ QS △PQS 為直角三角形 PQ M ﹐
又 PQ ﹐故直線 PQ 垂直平面 E﹒ 如下圖﹐A-BCDE 為一五面體﹐其底面 BCDE 為一正方形﹐且 AB AC AD AE ﹐若 H 為正方形 BCDE 的中 心﹐證明： AH 垂直平面 BCD﹒
【編碼】140167 【解答】見解析 【解析】
Leabharlann Baidu
【難易】中
【出處】課本題
由於直線 L 及線外一點 P 決定唯一的平面 E﹐ 又點 Q 不在平面 E 上﹐故沒有同時包含直線 L 及點 P﹐Q 的平面﹒ 因此﹐直線 PQ 與直線 L 不共平面﹐即 PQ 與 L 歪斜﹒ (1)設直線 L 垂直平面 E﹐試證：若直線 L 在平面 F 上﹐則 F E ﹒ (2)在正四面體 ABCD 中﹐試證：若 M 是 BC 中點﹐則平面 BCD 與平面 AMD 垂直﹒ 【編碼】140168 【難易】中 【出處】課本題
若正四角錐的側面是正三角形﹐求證：相鄰兩側面所成二面角是側面和底面所成二面角的二倍﹒ 【編碼】140163 【解答】見解析 【解析】 設四角錐各稜長為 a﹐ 【難易】難 【出處】康熹自命題
(1)如圖(一)﹐取 OC 中點 M﹐因側面為正三角形﹐ ∴ BM OC ﹐ DM OC ∠BMD 為二面角 B-OC-D 的平面角﹐ 令∠BMD = ﹐又 BM = DM =
∴ BN CE ﹐且 DN CE ﹐故 BCE 與 CDE 之二面角 即 BND﹐ 且知 BN
3 3 a﹐ DN a﹐ 2 2
故 cos cosBND
(
3 2 3 2 1 a) ( a) ( 2a) 2 a 2 1 2 2 2 ﹒ 3 2 3 3 3 a 2． a ． a 2 2 2
【解答】(1)見解析;(2)見解析 【解析】 (1)設直線 L 垂直平面 E 於點 P﹐且平面 F 與平面 E 的交線為 M﹐ 則直線 M 過點 P﹐且 L M ﹒在平面 E 上作直線 N 垂直 M 於 P﹐則 L N ﹐ 故平面 F 與平面 E 所夾的二面角是直角﹐於是 F E ﹒
(2)△ABC 與△DBC 都是正三角形﹐M 是 BC 中點﹐故 BC AM 且 BC DM ﹐ 於是直線 BC 垂直平面 AMD﹐又直線 BC 在平面 BCD 上﹐ 由(1)知平面 BCD 與平面 AMD 垂直﹒
AA AG 2 = = AA = 2 DD ﹐ DD' GD 1
又 BD CD ﹐ BB // CC // DD BB + CC 2 DD ﹐ ∴ AA = BB + CC 得證﹒
設 H 是△ABC 之垂心﹐又直線 DH 平面 ABC ﹐若直線 DA 直線 DB﹐則直線 DA 直線 DC﹐試證之﹒ 【編碼】140161 【解答】見解析 【解析】 (1)設直線 AH 與直線 BC 交於 E﹐ ∵H 是△ABC 的垂心﹐∴ BC 直線 AE ……﹐ 又 DH 平面 ABC﹐由三垂線定理得 DE 直線 BC ……﹒ (2)由﹐得直線 BC 平面 ADE 直線 BC 直線 AD﹐ 又已知直線 DA 直線 DB﹐∴直線 DA 平面 BCD﹐故 DA DC ﹒ 【難易】難 【出處】康熹自命題
2 a﹐ 2
又∠BDC = 90 BC = a 於圖中 AB = BC = CA ﹐∴∠BAC = 60﹒ 已知：一底面為正方形﹐側面為正三角形的金字塔﹐其兩側面的夾角為 ﹒
1 求證： cos ﹒ 3
【編碼】140159 【解答】見解析 【解析】 如圖所示﹐設稜長 a﹐則 BD 2 a﹐且因取 N 為 EC 之中點﹐ 【難易】中 【出處】康熹自命題
試題 如下圖﹐以等腰直角三角形斜邊 BC 上的高 AD 為摺痕﹐使△ABD 和△ACD 摺成互相垂直的兩個面﹒
求證：(1) BD CD ﹒ 【編碼】140158 【解答】見解析 【解析】
(2)BAC = 60﹒ 【出處】康熹自命題
【難易】中
(1)二面角 B - AD - C 是直二面角﹐且 AD BD ﹐ AD CD ﹐ 所以∠BDC 是二面角的平面角﹐故 BDC = 90﹐即 BD CD ﹒ (2)設 AB = AC = a﹐ AD 垂直平分 BC （△ABC 是等腰直角三角形） ﹐ ∴ BD = CD =
3 a﹐ BD = 2 a（□ABCD 為正方形） ﹐ 2
3 2 3 2 a a 2a 2 1 4 4 △BMD 中﹐由餘弦定理得 cos = = ﹒ 3 3 3 2 a a 2 2
(2)如圖(二)﹐自 O 作底面 ABCD 的垂直線﹐垂足 G﹐ 作 GN ⊥ CD 交點 N﹐則 ON ⊥ CD （三垂線定理） ﹐ ∴∠ONG 為二面角 O-CD-G 的平面角﹐令∠ONG = ﹐
若直線 PQ 與直線 垂直於 Q﹐試證：直線 PQ 垂直平面 E﹒ 【編碼】140165 【解答】見解析 【解析】 如圖﹐ 【難易】中 【出處】康熹自命題
過 Q 在平面上作一直線 M 交 L 於 S﹐S≠R﹐連 PS ﹐ 由直角△PQR 中得： PR PQ QR ﹐
2 2 2
由直角△PRS 中得： PS RS PR ﹐ 由直角△QRS 中得： QS QR RS ﹐ 則 PS RS PR RS PQ QR PQ QS
【編碼】140164 【解答】見解析 【解析】 〈證法一〉
【難易】中
【出處】康熹自命題
在 L 上取兩點 P﹐Q﹐使得 PD QD ﹐連 BP ﹐ BQ ﹐ (1)在△BPQ 中﹐∵ BD 為公共邊﹐ BD PQ ﹐且 PD QD ﹐ ∴ BP BD DP BD DQ BQ BP BQ ﹒ (2)△ABP 及△ABQ 中﹐∵ AB BP 且 AB BQ ﹐ ∴ AP AB BP AB BQ AQ AP AQ ﹒ (3)△APD 及△AQD 中﹐∵ AP AD ﹐ PD QD ﹐ AD 為公共邊﹐
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
由 SSS 性質可知△APD △AQD﹐∴∠ADP =∠ADQ﹐ 又∠ADP +∠ADQ = 180﹐ 故知∠ADP = ∠ADQ = 90﹐即 AD 垂直 L 於 D﹒
〈證法二〉 在 L 上取一點 P ﹐ ∵ AB E ﹐∴ AB DP ﹐∵ BD L 於 D ﹐∴ BD DP ﹐
設 E1 與 E2 是兩平行平面﹐試證：若直線 L1 , L2 分別在平面 E1 , E2 上﹐且 L1 L2 ﹐則 L1 與 L2 歪斜﹒ 【編碼】140169 【解答】見解析 【解析】 設 L1 與 L2 不歪斜﹐則 L1 與 L2 共面（即在某一平面上） ﹐ 又 L1 與 L2 分別在平行的兩平面 E1 與 E2 上﹐所以﹐ L1 與 L2 不相交﹐ 因此﹐ L1 // L2 ﹐與假設 互相矛盾﹐ 故 L1 與 L2 不歪斜是錯誤的﹐即 L1 與 L2 歪斜﹒ 【難易】中 【出處】課本題
1 a GN 1 1 3 2 又 ON = a﹐ GN = a﹐∴cos = = = ﹒ 2 2 ON 3 3 a 2
(3) cos2 = 2cos2 1 = 2 證明三垂線定理：
1 1 1 = = cos﹐∴2 = ﹐得證﹒ 3 3
設 AB 垂直平面 E 於 B﹐L 為 E 上不過 B 的一直線﹐ BD 垂直 L 於 D﹐證明 AD 垂直 L 於 D﹒
(1)平面 E 上一三角形 ABC﹐其外心 O﹐由平面外一點 P 引線段 PA ﹐PB ﹐PC ﹐若 PA PB PC ﹐試證 OP E﹒ (2)平面 ABC 外一點 P 到△ABC 的三邊距離相等﹐O 是△ABC 內部一點且 OP 平面 ABC﹒求證：O 是△ABC
的內心﹒ 【編碼】140162 【解答】見解析 【解析】 (1)O 為△ABC 的外心 OA OB OC ……﹐ 過 P 點作平面 E 的垂直線﹐垂足 O'﹐ ∵ PA PB PC ﹐ PO OA ﹐ PO OB ﹐ PO OC ﹐ ∴△PO'A △PO'B △PO'C﹐∴ OA OB OC ……﹐ 但 O﹐O' 與△ABC 在同一平面上﹐由﹐知 O O'﹐故 PO E﹒ 【難易】難 【出處】康熹自命題
【編碼】140166 【解答】見解析 【解析】
【難易】中
【出處】教冊題
設 M﹐N 分別是 BE ﹐ CD 兩邊的中點﹐則 H 在 MN 上﹐ 可知△ AMN 為一等腰三角形﹐ AH 為底邊 MN 的中點﹐ 所以 AH MN ﹐再令 M ﹐ N 分別是 BC ﹐ DE 兩邊的中點﹒ 仿前面之證明﹐可知： M N AH ﹒ 因此﹐ AH 同時垂直平面 BCD 上過點 H 的兩相異直線 MN 與 M N ﹐ 所以 AH 垂直平面 BCD﹒ 設平面 E 上有一直線 L 及不在 L 上的一點 P﹐試證：若點 Q 不在平面 E 上﹐則直線 PQ 與直線 L 不共平面﹐即 PQ 與 L 歪斜﹒
AD DP ( AB BD) DP AB DP BD DP 0 0 0 ﹐
∴ AD DP ﹐故 AD L 於 D ﹒ 設 E 為一平面﹐且直線 L 在平面 E 上﹐點 P 不在平面 E 上﹐直線 PR 與直線 L 垂直於 R﹐直線 在平面 E 上﹐ 且 L 與 垂直於 R﹐如圖﹒
平面 E 通過△ABC 的重心 G﹐但△ABC 不在平面 E 上且 E 不過三角形之頂點﹒試證：在平面 E 同側的兩個頂點 到平面 E 的距離和﹐等於另一頂點到平面的距離﹒ 【編碼】140160 【解答】見解析 【解析】 (1)自△ABC 的頂點 A﹐B﹐C 及 BC 中點 D 作平面 E 的垂直線﹐垂足分別為 A﹐B'﹐C'﹐ D（如圖﹐設 B﹐C 在 E 的同側） ﹐則 B﹐C﹐D三點共線﹐且 A﹐G﹐D三點共線﹒ (2)△AGA～△DGD 【難易】難 【出處】康熹自命題