高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率3.1.1平均变化率课件北师大版选修1-1

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1

1
2
3
3.导数的概念一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
��(��0 +Δ��)-��(��0 ) , 我们称它为函数�� Δ�� x →0 ��y Δ�� →0 ��x
=
��
解析: 该物体在 t=1 时的瞬时速度为 s(1 + ��t)-s(1) lim Δ�� →0 ��t 2(1 + Δ��)2 + 1 + Δ��-1-2 = �� = lim (2Δ�� + 5) = 5. Δ�� →0 ��t →0 Δ�� 答案:5
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1
2
3
1.平均变化率
我们把式子
��(��2 )-��(��1 ) 称为函数��(��)从��1 ��2 -��1
1
2
3
【做一做1-1】已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内, 下列说法错误的是( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量B. Δ�� =
Δ�� Δ��
Δ��
��(��0 +Δ��)-��(��0 ) 叫做这段时间内物体的平均速度 Δ��

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数课件新人

,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学习,提高学生观察、归纳、抽象概括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求课堂探究
新知探求素养养成
知识点一平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,

变化的快慢与变化率》课件(北师大版选修

应用：在物理学、化学、生物学等领域，变化率被广泛用于描述各种物理、化学、生物现象的变化速度
变化率：描述变化速度的量，通常用单位时间内的变化量来表示
变化的快慢：描述变化速度的直观感受，通常用变化量与变化时间的比值来表示
关系：变化率是变化的快慢的量化表示，两者成正比关系
应用：在物理、化学、生物等领域，变化率是描述变化快慢的重要参数，可以帮助我们更好地理解和分析问题
影响：变化的快慢与变化率对未来科技、经济、社会等领域的发展具有重要影响意义：理解变化的快慢与变化率有助于我们更好地适应未来社会的变化，提高应对能力挑战：未来发展的不确定性和复杂性将带来新的挑战，需要我们不断学习和适应机遇：未来发展的变化将为我们带来新的机遇，需要我们积极把握和利用
气候变化：通过变化率预测气候变化趋势
股票市场：通过变化率判断股票价格走势
经济增长：通过变化率评估经济增长速度
疾病传播：通过变化率预测疾病传播速度
变化率：描述变化快慢的量，通常用导数或微分表示
数学建模：将实际问题转化为数学模型，通过求解模型得到问题的解
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
变化快慢：描述变化率的大小，通常用积分或极限表示
初始状态：初始状态越接近目标状态，变化越快
变化速度：变化速度越快，变化越快
变化方向：变化方向与目标状态一致，变化越快
干扰因素：干扰因素越小，变化越快
变化率：描述事物变化快慢
的量
意义：帮助理解事物变化的
速度
应用：广泛应用于物理、化学、生物等领
域
计算方法：通过比较两个时间点的数据变化来计算变化
率

高中数学第三章变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件61高二选修11数学课件

x
说明曲线在x0处没有切线.
练习1.判断曲线y=2x2在点P (1, 2 )处是否有切线, 如果有, 求出切线方程. 4x-y-2=0
第八页，共十三页。
三、瞬时速度(shùn shísù
dù)
S 1 gt2 2
V S t
第3秒
S3tS3
t
∆s
第3+∆t秒
29.4t 4.9t 2
t
29.4 4.9t
……
“冲刺速度” “降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的
情况, 都是数学中导数概念的原型.
导数是数学中最重要的概念之一, 它在日常生活和科学研究中有广泛的应用.
第二页，共十三页。
§1 变化(biànhuà)的快慢与变化(biànhuà)
一、平均(píngjūn)变化率率
y
如图, 曲线C是函数(hánshù) y=f(x)
y就是割线PQ的斜率. x
用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢.
第三页，共十三页。
请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近(jiējìn)时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
y k PQ x
Q
T
切线
Δy
(qiēxiàn)
P
Δx
当Δx→0时 PQ →PT
o
y
k PQ x
例3. 物体作自由落体运动, 运动方程为 s 1 g t 2 , g=10m/s2 . 2
求：(1) 物体在时间区间[2, 2.1]上的平均速度； (2) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将Δt =0.1代入上式,得:

2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_120170830386

(3)平均变化率表示为
��(��2 )-��(��1) ��2 -��1
.
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 名师点拨对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
求平均变化率
【例1】已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g(x)在3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率. Δ�� 分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ��即可. 解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
【做一做】自由落体物体的运动方程是 s(t)=2gt2 (s 单位:m,t 单位:s), 物体在 t=3 s 这一时刻的速度是
解析:Δs= g(3+Δt)2 - g×32 =3gΔt+ g(Δt)2 ,
Δ�� Δ�� 1 2 1 2 1 2 1 2 3��Δ�� +2��(Δ��) Δ��
3.1 变化的快慢与变化率
学习目标 1. 通过实际例子理解平均变化率的概念. 2. 会求函数的平均变化率. 3. 理解平均变化率在实际问题中的意义.
思维脉络
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)自变量的改变量为x2-x1,记作Δx. (2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作Δy.

高中数学第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11

=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

高中数学第三章变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件1高二选修11数学课件

＝2－Δt，
当
Δt
趋于零时，Δs趋于 Δt
2.
∴v(0)＝2.
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第十二页，共二十九页。
求改变(gǎibiàn)量
求函数f(x)＝x2＋3x＋1从1变化到2时函数的改变量． [解] Δy＝f(2)－f(1)＝11－5＝6.
方法归纳(guīnà) (1)自变量的改变量指变化后的自变量减去变化前的自变量．
t0
t0
0
到
t0
这段时
间内乙的平均速度大．
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[感悟提高]
设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两
点，函数 y＝f(x)的平均变化率ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）＝
f（x1＋Δx）－f（x1）为割线 Δx
0.70 0.71 0.71
0.71
…
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第二十三页，共二十九页。
表中是某同学(tóng xué)通过计算得出的部分数据，请你据此估计该合金
棒在x＝2 m处的线密度．解：从此同学列出的表格可以看出，当x1趋于x0＝2 m时，平均线密度趋于0.71 kg/m，所以该合金棒在x＝2 m处的线密度为0.71 kg/m.
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第七页，共二十九页。
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 对于函数 y＝f(x)，当 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，若记 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx 可正，可负，可为零( × ) (2)函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）＝ f（x1＋ΔxΔ）x－f（x1）( √ )

高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率3.1

【做一做 1】已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一
点(1+Δx,1+Δy),则ΔΔ��等于(
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ��
=
��(1+Δ��)-��(1) Δ��
=2(1+Δ��)2Δ-1��-2×12+1
题型一
题型二
题型三
平均变化率在物理中的应用
【例2】一辆汽车按s=3t2+1做直线运动,求这辆车从3 s到6 s的
平均速度(位移单位:m,时间单位:s).
分析:求平均速度就是把位移s看成时间t的函数,利用求平均变化
率的公式来求平均速度.来自解:��=
Δ�� Δ��
=
��(6)-��(3) 6-3
名师点拨1.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡
峭程度是平均变化率的“视觉化”.
2.对于函数y=f(x),当自变量x在x0处有改变量Δx时,函数y相应地有改变量Δy,则f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率有更一般的形式:
Δ�� Δ��
=
��(��0+ΔΔ��)-��(��0).
3.1.1 平均变化率
1.理解函数平均变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率,并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上的变化快慢.
函数的平均变化率对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为��(��2��2)--��1(��1).通常自变量的变化 x2-x1 称作自变量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自

高中数学第三章变化率与导数本章整合课件北师大选修1_1

专题一专题二专题三
解:(1)∵f(x)=2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5,
∴f'(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.
(2)f'(x)=
��tan��-
2 cos��
'=
��sin�� cos��
-
2 cos��
'=
��sin��-2 cos��
∵f'(x0)=Δl��i��m→0 x0+1��xx-x10=-x102, ∴所求直线方程为 y-y0=-x102(x-x0). 由于点(2,0)在该直线上,∴x02y0=2-x0.
再由 P(x0,y0)在曲线上,得 x0y0=1,联立可解得 x0=1,y0=1, 故所求直线方程为 x+y-2=0.
过点P(x0,y0)的切线方程时应注意: (1)判断点P(x0,y0)是否在曲线y=f(x)上; (2)若点P(x0,y0)为切点,则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为
f'(x0),切线的方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). 若点P(x0,y0)不是切点,则设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-
=
lim
��→��0
��(��)��--��0(��0)=f'(x0),
∴ lim [��(��)]2-[��(��0)]2
��→��0
��-��0

高中数学第三章变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件11高二选修11数学课件

200 20
第六页，共十四页。
当时 x从 2间 m 0 变 in3到 m 0 时 in ,体y温相对于 x的自平变均量变化率 :3 8 为 3.8 50.50.0(5 c/min).
3 020 10
这里出现,它了表负示号体温 ,显下然 ,绝降对了值越大下越快 ,这里 ,体温2从 0mi到 n30mi这 n 段时间下 0m降 i到 n得比 20mi这 n 段时间 . 要快
h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数
关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
请计算(jì
suàn)
0 t 0 .5 和 1 t 2 时的平均速度 v :
第十一页，共十四页。
在 0 t 0.5这段时间里 , v h(0.5) h(0) 4.05 (m / s);
x1 x0
第八页，共十四页。
抽象概括 (chōuxiàng)
对一般y的 f(x函 )来数 ,说当自x从变 x1变量x为 2时 ,函数f值 (x1) 从变f为 (x2)它 , 的平均: 变化率为 f(x2)f(x1).
x2x1
通常我们把自变化量 x2 的 x1称变作自变量的,记改作变 x,量函数值的变f (化 x2) f (x1),称作函数值的,记改作变 y.量这样 ,函数的平均变化率就可以函表数示值为的改变量量与的自改变变量,即之 : 比
39 y/(c)
38
37 36
10 20 30 40 50 60 70
x/ min
比较x时从 0m 间到 in20 m和 in 2从 0 m到 in30 m体 in 温的变 , 化哪段时间体?如温何变刻化画较体快慢温 ? 变化的

高中数学第三章变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件北师大版选修1-1.ppt

对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，
它的平均变化率为______________．通常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变
量，记作 ________ ，函数值的变化 f(x2)－ f(x1) 称作函数值的改变量，记作
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0－gt0.
求.运动物体瞬时速度的三个步骤： 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0； 2求平均速度 v ＝ΔΔst； 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速度
________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
改变量之比，即______________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化
的快慢．
【答案】
fx2－fx1 x2－x1
Δx
Δy
ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1
函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy等于(
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________．【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋于 2.
【答案】 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________

高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修11

(0 +Δ)-(0)
变化率,记作:
Δ
=
=
.
Δ
1 -0
Δ
(2)在x0点的瞬时变化率:当Δx趋于0时,平均变化率趋于函数
(hánshù)在x0点的瞬时变化率.
第四页，共22页。
特别(tèbié)提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间
Δ
分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ即可.
解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=f(-1)-f(-3)=[3×(-1)+1]-[3×(-3)+1]=6,
Δ
6
∴Δ = 2 =3,
即 f(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为 3.
②∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=g(-1)-g(-3)=[2×(-1)2 +1]-[2×(-3)2 +1]=-16,
第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.
第十四页，共22页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
一
思维(sīwéi)
辨析
变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4 s时的瞬时速度
为(
A.12
)
B.-12 C.4
Δ
解析:
Δ
=
D.-4
(4+Δ)-(4)
Δ
2
2
2[1-(4+Δ)] -2(1-4)
=
=2Δt+12,
Δ
Δ
当 Δt 趋于 0 时, Δ 趋于 12.
答案:A
第十五页，共22页。