2012年上海市春季高考数学试题及答案解析

1 2
1 1 2 4
1 1 1 1 VC1 MBC SABC CC1 2 3 3 4 6
（2） CD / / AB ，所以 C1MB 或其补角为导面直线 CD 与 MC1 所 成的角。 连 接 BC1 , AB 平 面 BCC1 B, AB BC1 ， 在 Rt MBC1 中 ，
21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题 ，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 C1 : x
2
y2 1. 4
（1）求与双曲线 C1 有相同的焦点，且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程； （2）直线 l : y x m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线 于 A、B 两点.当 OAOB 3 时，求实数 m 的值。

参 考答案
一、选择题 1． 3 2． [1, ) 3． (2, 0) 4． 1 i 5． 6． x 1 7． 1 8 ． 2 9． 5 10． 2 11．
14 15
12． ( , 2] 二、填空题 13． 1006 14． 8 15．D 16．B 三、解 答题 17．D 18．C 19 ．解（ 1 ） SABC 1 ，又 CC1 为三棱锥 C1 MBC 的高，
[答］ （ ）
y f 1 ( x ) 1 的图像过点
(A) (0, 0) . (B) (0, 2) . (C) (1,1) . (D) (2, 0) .
17.已知空间三条直线 l、m、n. 若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则 (A) m 与 n 异面. (C) m 与 n 平行. （B） m 与 n 相交.
2 72 60 114 18180 x 150x 1296 0 150 17316 于是有 | t1 t2 || | 1 x 2 x 18 x 2 2 x 114x 1296 0
又 x N ，所以 x 10 ，所以当内环线投入 10 列，外环线投入 8 列列车运行，内、外环线乘客最长候
D1 A1 B1 C1
M 为线段 AB 的中点.求：
（1）三 棱锥 C1 MBC 的体积； （2）异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小（结果用反三角函数值 表示）
D A M B
C
20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 . 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为 30 千米（忽略内、外环线长度差异）. （1）当 9 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，求内环线列车的最小 平均速度； 外环线列车平均速度为 30 千米/小时.现内、 （2） 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时， 外环线共有 18 列列车全部 投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟，问：内 、 外环线应名投入几列列车运行？
[答］ （
）
(D) m 与 n 异面、相交、平行均有可能.
18.设 O 为 ABC 所在平面上一点.若实数 x、y、z 满足 xOA yOB zOC 0 （ ( x 2 y 2 z 2 0) ，则“ xyz 0 ”是“点 O 在 ABC 的边所在直线上”的[答］ (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充分必要条件. ）
2
13.已知等差数列 {an } 的首项及公差均为正数， 令 bn
an a2012 n ( n N * , n 2012). 当 bk 是数列
{bn } 的最大项时， k ＿＿＿＿.
14.若矩阵
a11 a12 a11 a12 则这样的互不相等的矩阵共有 ＝0 ， 满足：a11 , a12 , a21 , a22 {1,1}, 且 a a a a 21 22 21 22
（2）双曲线 C1 的渐近线方程为 y 2 x ，设 A( x1 , 2 x1 ), B( x2 , 2 x2 )
2 y2 x 4 0 由 3x 2 2mx m 2 0 ，由 16m 2 0 m 0 y x m
又因为 x1 x2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
x 1 的定义域为＿＿＿＿＿＿＿.
3.抛物线 y 8 x 的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿＿. 4.若复数 z 满足 iz 1 i ( i 为虚数单位 ) ，则 z ＿＿＿＿＿＿＿. 5.函数 f ( x ) sin(2 x 6.方程 4 2
x x 1

4
) 的最小正周期为＿＿＿＿＿＿＿.
0 的解为＿＿＿＿＿＿＿.
2 3 4 5
7.若 (2 x 1) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x a5 x , 则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 ＿＿＿.
5
8.若 f ( x )
( x 2)( x m ) 为奇函数，则实数 m ＿＿＿＿＿＿. x
＿＿＿＿＿＿个. 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确 的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5 分，否则一律得零分.
15.已知椭圆 C1 :
x2 y2 x2 y2 1, C 2 : 1, 则 12 4 16 8
2012 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷
（本试卷共 23 道试题，满分 150 分，考试时间１２０分钟） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个 空格填对得４分，否则一律得零分． 1.已知集合 A [1, 2, k }, B {2, 5}. 若 A B {1, 2, 3, 5}, 则 k ＿＿＿＿＿＿. 2.函数 y
BC1 4 1 5, MB
tan C1MB
1 2
5 2 5 ，故C1MB arctan 2 5 ，即异面直线 1 2
CD 与 MC1 所成的角为 arctan 2 5
20．解： （1）设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时，由题意可知，
30 60 10 v 20 9v

f ( x ) a sin x b cos x 的“相伴向量”为 OM (a , b ) （其中 O 为坐标原点）.记平面内所有向量的“相
伴函数”构成的集合为 S . （1）设 g ( x ) 3sin( x

2
) 4sin x , 求证： g( x ) S ;

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满 分 6 分. 已知数列 {an }、 {bn }、{cn } 满足 (an 1 an )(bn1 bn ) cn ( n N ).
*
（1）设 cn 3n 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 1 时，求 b2、b3 的值； （2）设 cn n 3 , an n 2 8n. 求正整数 k , 使得一切 n N * , 均有 bn bk ; （3）设 cn 2 n, an
（2）已知 h( x ) cos( x ) 2cos x , 且 h( x ) S , 求其“相伴向量”的模； （3）已知 M (a , b )(b 0) 为圆 C : ( x 2)2 y 2 1 上一点，向量 OM 的“相伴函数” f ( x ) 在 x x0 处取得最大值.当点 M 在圆 C 上运动时，求 tan 2 x0 的取值范围。
所以，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，列车的最小平均速度是 20 千米/小时。 （2）设内环线投入 x 列列车运行，则外环线投入 (18 x) 列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别 为 t1 , t2 分钟，则 t1
30 72 30 60 60 , t2 60 x 25 x 30(18 x) 18 x
b2 b1 21 1, b3 b2 (1)(22 2),, bn1 bn2 (1)n1 (2n2 n 2), bn bn1 (1)n (2n1 n 1)
2
m2 ，而 OA OB x1 x2 2 x1 ( 2 x2 ) 3 x1 x2 3
所以 m 3 m 3 。 22．解： （1） an 1 an 3, bn 1 bn n 2 ， b1 1, b2 4, b3 8 （2）由 an 1 an 2n 7 bn 1 bn
9.函数 y log 2 x
4 ( x [2, 4]) 的 最大值是＿＿＿＿＿＿. log 2 x
10.若复数 z 满足 | z i |
2( i 为虚数单位 ) ，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿＿＿.
11.某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、 女都有的概率为＿＿＿＿＿＿(结果用数值表示). 12.若不等式 x kx k 1 0 对 x (1, 2) 恒成立，则实数 k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
*
车时间之差不超过 1 分钟。 21．解（1）双曲线 C1 的焦点坐标为 ( 5, 0), ( 5, 0) ，设双曲线 C2 的标准方程为
x2 y2 1(a 0, b 0) ， a2 b2
a 2 b 2 5 a 2 4 x2 则 ，所以双曲线 的标准方程为 C2 y2 1。 16 3 2 4 2 2 1 b 1 a b




(D)既不充分又不必要条件.
三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 本题共有两个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. 如图，正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 的底面边长为 1 ，高为 2 ，
n3 ， 2n 7
由 bn 1 bn 0 n 4 ，即 b4 b5 b6 ；由 bn 1 bn 0 n 4 ，即 b1 b2 b3 b4
k 4 。
（3）由 an 1 an ( 1)
n 1
bn 1 bn (1) n 1 (2n n) ，故 bn bn1 (1)n (2n1 n 1)(n 2, n N * ) ，
n
1 ( 1)n . 当 b1 1 时，求数列 {bn } 的通项公式. 2
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 定义向量 OM ( a , b ) 的“相伴函数”为 f ( x ) a sin x b cos x; 函数
（B） C1 与 C 2 长轴长相同. （D） C1 与 C 2 焦距相等.
1
[答］ （
）
(A) C1 与 C 2 顶点相同. (C) C1 与 C 2 短轴长相同. 16.记函数 y f ( x ) 的反函数为 y f
( x ). 如果函数 y f ( x ) 的图像过点 (1, 0) ，那么函数