复习y=ax及y=logax互为反函数, - 扬州市第一中学
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f ( x)
f-1(x)=-
x 2x 26
2
({x|x≥1}）
求常数 a,b,c 的值 2x 1 a=5,b=2,c=1
三、反函数存在的条件 y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y; x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x; y=ax在定义域内单调，它存在反函数；一般 的，定义域内单调一定有x,y一一对应
a 2、若点(1,2)既在函数y= x +b,又在其反
函数的图象上，求实数a,b的值 a b 2 解方 a 得 a=2,b=0 b 1 程组 2
总结：本节主要介绍了以下几个问题
定义域） 二、反函数的求法： 求原函数值域（反函数 x与y互换，加注定义域
一、反函数的定义
1 x 例2，求出函数y= log 2 (-1<x<1)的 1 x 反函数
1 x 解：2y= 1 x
y ∈R
2 1 X= y 2 1
y x
2 1 反函数为：y= x 2 1
(X∈R)
练习1：求函数y=1+ x2 25(x≤-5)的反函 数
xa 的反函数为 练习2：若函数f(x)= bx c x 5 1
从y f ( x)中解出x
三、反函数存在的 条件
等价条件：x, y一一对应 在反函数 在定义域内单调一定存
数四 性、 质反 函
原函数与反函数定义域 与值域对调 f [ f 1 ( y )] y, f 1[ f ( x)] x 原函数与反函数的图象 关于直线y x对称 ，反函数与之具有相同 的单调性 原函数在定义域内单调
注意：f-1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后 者表示f(x)的倒数
例1、求函数y=3x+6的反函数 解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数 为y=x/3-2 Y=ax与y=logax ({x|x>0})互为反函数(由 y=ax中解出x,求出原函数的值域,为反函 数的定义域 二,反函数的求法步骤:1、从y=f(x)中解出x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义 域； 3，x、y互换并加注定义域即为所 求
所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一 对应 一个函数在定义域内单调，源自文库它一定存在反函数 思考：存在反函数，是否一定在定 不一定，如 义域内单调？ y=1/x
例3,已知y=x2-2ax+3在 1, 上存在反函 数 ⑴求实数a的范围;⑵求a取得最值时 相应的反函数 解:⑴a≤1 ⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 1 y 2 故反函数为f-1(x)= 1 x 2 ({x|x≥2})
例4、已知函数y=求f-1(-1)
-1(x) 的反函数是 f x
解：[方法一]f-1(x)=-x2(x≤0），
∴f-1(-1)=-1
[方法二]设f-1(-1)=x,∴f(x)=-1,解得 x=-1
练习：1、若函数f(x)的图象过点（1， 2），则f-1(x)的图象一定经过点 _________ （2，1）
反函数简介
问题:到底什么是反函数?如何求一个函 数的反函数?是否所有的函数都有反函 数?反函数有哪些常见性质? 目的:1,了解反函数存在的条件 2,会求简单函数的反函数 3,了解反函数的有关性质
x 复习:y=a 及y=logax互为反函数,
一,反函数的定义 一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x)),另 一方面,x也是y的函数(x=g(y)),将此函数 称作函数y=f(x)的反函数 一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这 样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x) 与y=f(x)互为反函数 y=ax与y=logax互为反函数
四,反函数的简单性质 1、原函数与反函数的定义域与值域对调 2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x 3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对 称。从而，原函数在定义域内单调，反函数 也单调，而且与原函数具有相同的单调性 由于
x f ( y)
1
f 1
f
y f ( x)
作业：见补充习题
设计制作人：王明山，江苏兴化中学023信 箱 邮编225752
电子信箱：mshwwq@163.com
f-1(x)=-
x 2x 26
2
({x|x≥1}）
求常数 a,b,c 的值 2x 1 a=5,b=2,c=1
三、反函数存在的条件 y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y; x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x; y=ax在定义域内单调，它存在反函数；一般 的，定义域内单调一定有x,y一一对应
a 2、若点(1,2)既在函数y= x +b,又在其反
函数的图象上，求实数a,b的值 a b 2 解方 a 得 a=2,b=0 b 1 程组 2
总结：本节主要介绍了以下几个问题
定义域） 二、反函数的求法： 求原函数值域（反函数 x与y互换，加注定义域
一、反函数的定义
1 x 例2，求出函数y= log 2 (-1<x<1)的 1 x 反函数
1 x 解：2y= 1 x
y ∈R
2 1 X= y 2 1
y x
2 1 反函数为：y= x 2 1
(X∈R)
练习1：求函数y=1+ x2 25(x≤-5)的反函 数
xa 的反函数为 练习2：若函数f(x)= bx c x 5 1
从y f ( x)中解出x
三、反函数存在的 条件
等价条件：x, y一一对应 在反函数 在定义域内单调一定存
数四 性、 质反 函
原函数与反函数定义域 与值域对调 f [ f 1 ( y )] y, f 1[ f ( x)] x 原函数与反函数的图象 关于直线y x对称 ，反函数与之具有相同 的单调性 原函数在定义域内单调
注意：f-1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后 者表示f(x)的倒数
例1、求函数y=3x+6的反函数 解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数 为y=x/3-2 Y=ax与y=logax ({x|x>0})互为反函数(由 y=ax中解出x,求出原函数的值域,为反函 数的定义域 二,反函数的求法步骤:1、从y=f(x)中解出x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义 域； 3，x、y互换并加注定义域即为所 求
所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一 对应 一个函数在定义域内单调，源自文库它一定存在反函数 思考：存在反函数，是否一定在定 不一定，如 义域内单调？ y=1/x
例3,已知y=x2-2ax+3在 1, 上存在反函 数 ⑴求实数a的范围;⑵求a取得最值时 相应的反函数 解:⑴a≤1 ⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 1 y 2 故反函数为f-1(x)= 1 x 2 ({x|x≥2})
例4、已知函数y=求f-1(-1)
-1(x) 的反函数是 f x
解：[方法一]f-1(x)=-x2(x≤0），
∴f-1(-1)=-1
[方法二]设f-1(-1)=x,∴f(x)=-1,解得 x=-1
练习：1、若函数f(x)的图象过点（1， 2），则f-1(x)的图象一定经过点 _________ （2，1）
反函数简介
问题:到底什么是反函数?如何求一个函 数的反函数?是否所有的函数都有反函 数?反函数有哪些常见性质? 目的:1,了解反函数存在的条件 2,会求简单函数的反函数 3,了解反函数的有关性质
x 复习:y=a 及y=logax互为反函数,
一,反函数的定义 一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x)),另 一方面,x也是y的函数(x=g(y)),将此函数 称作函数y=f(x)的反函数 一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这 样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x) 与y=f(x)互为反函数 y=ax与y=logax互为反函数
四,反函数的简单性质 1、原函数与反函数的定义域与值域对调 2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x 3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对 称。从而，原函数在定义域内单调，反函数 也单调，而且与原函数具有相同的单调性 由于
x f ( y)
1
f 1
f
y f ( x)
作业：见补充习题
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