动态规划-流水作业调度报告

动态规划-流水作业调度报告

C1 问题描述和分析

N个作业{1,2,………,n}要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi，1≤i≤n。流水作业高度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。

设全部作业的集合为N={1,2,…,n}, S⊆N,,一般情况下,机器M1开始加工作业S时,机器M2还在加工其他作业,要等时间t后才可利用.将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t).流水作业调度的最优值为T(N,0)

即,设π是所给n个流水作业的一个最优调度,它所需的加工时间为a(π1)+T’.其中T’是在此机器M2的等待时间为b(π1)时,安排作业π1, π2,…πn所需时间.

所以S=N-{π1},有T’=T(S,b(π1)).

由T的定义知T’≥T(S,b(π1)).若T’＞T(S,b(π1)),设π’是作业集S在机器M2的等待时间为b(π1)情况下的一个最优调度.则π1, π’2,…, π’n是N的一个调度,且该调度所需的时间为a(π1)+T(S,b(π1))＜a(π1)+T’.这与π是N的最优调度矛盾.故T’≤

T(S,b(π1).从而T’=T(S,b(π1).

即当机器M1为空闲即未安排任何加工任务时，则任何一个作业的第一个任务（第一道工序）都可以立即在M1上执行，无须任何先决条件。因此容易知道，必有一个最优调度使得在M1上的加工是无间断的。实际上，如某个最优调度π在M1上安排的加工是有间断的，则我们可以把所有在M1上出现间断处的任务的开始加工时间提前，使得在M1上的加工是无间断的；而在M2上仍按π原先的安排。把这样调整之后的调度记作为π’。由于在调度π’下，任何一个任务在M1上加工的结束时间不晚于在调度π下的结束时间，故调度π’不会影响在M2上进行加工的任何一个任务的开始时间。由于调度π’在M1上的结束时间早于调度π，在M2上的结束时间与调度π相同，而π又是最优调度，所以π’也是最优调度。由此我们得到：一定有一个最优调度使得在M1上的加工是无间断的。另外，也一定有一个最优调度使得在M2上的加工空闲时间（从O时刻起算）为最小，同时还满足在M1上的加工是无间断的。（证明留作作业）因此，如果我们的目标是只需找出一个最优调度，我们可以考虑找：在M1上的加工是无间断的、同时使M2的空闲时间为最小的最优调度。（根据上述理由，这样的最优调度一定存在。）可以证明，若在M2上的加工次序与在M1上的加工次序不同，则只可能增加加工时间（在最好情况下，增加的时间为O）。也就是说，在M1上的加

工次序已确定的情况下，至少有一个最优调度，其在M1上的加工次序与在M2上的加工次序是完全相同的。因此，当只需找到一个最优调度时，我们仅需要考虑在和M1和M2上加工次序完全相同的调度。以下的讨论均以此为前提。为简化起见，我们假定所有ai≠0。因为如果有ai=0的作业，我们可以先对所有ai≠0的作业进行调度，然后把所有ai=0的作业放到最前面执行（可按任意次序）。最优调度具有如下性质：在所确定的最优调度的排列中去掉第一个执行作业后，剩下的作业排列仍然还是一个最优调度，即该问题具有最优子结构的性质。而且，在计算规模为n的作业集合的最优调度时，该作业集合的子集合的最优调度会被多次用到，即该问题亦具有高度重复性。这就引导我们考虑用动态规划法求解

C2 算法设计

递归计算最优值

由流水作业调度问题的最优子结构性质可知,

T(N,0)=min{ai+T(N-{i},bi)},其中1≤i≤n

推到一般情形下便有

T(S,t)=min{ai+T(S-{i},bi+max{t-ai,0})}

其中,max{t-ai,0}这一项是由于在机器M2上,作业i须在max{t,ai}时间之后才能开工.因此,在机器M1上完成作业i之后,在机器上还需要

bi+max{t,ai}-ai=bi+max{t-ai,0}

时间才能完成对作业i加工.

而需要对算法作一定的改进。设π是作业子集S的某一个调度，该调度首先安排作业i，其次安排作业j， M2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工。记t’=

bi+max{t-ai,0}，则由（*）式调度π的g(S,t)可写为 g(S,t)=ai+ g(S-{i}, t’)= ai+ aj+ g(S-{i,j}, bj+max{t’-aj,0})。由于x+ max{y1, y2,⋯,yn}= max{x+y1,x+y2,⋯,x+yn},，t’= bi+m ax{t-ai,0}，所以bj+max{t’-aj,0}= bj+max{bi+max{t-ai,0}-aj, 0}= bj+bi - aj+max{max{t-ai,0},aj-bi} =bj+ bi - aj +max{t-ai, 0, aj-bi} =bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi}。记tij= bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi}（= bj+max{t’-aj,0}），则调度π的g(S,t)=ai+ aj+ g(S-{i,j}, tij)。将调度π中的作业i与j的加工次序交换（其它加工次序不变）所得调度记为π’，则调度π’的最早完工时间g’(S,t)=ai+ aj+

g(S-{i,j}, tji)。显然，若tij ≤ tji，则有g(S,t) ≤g’(S,t)即i在前j在后的安排用时较少；反之，若tij >tji，则j在前i在后的安排用时较少。

因此，我们要找出判断tij与tji之间的大小关系的表达式。由于tij-tji= max{t, ai,

ai+aj-bi}- max{t, aj, ai+aj-bj}，故我们只要比较 max{t, ai, ai+aj-bi}与max{t, aj, ai+aj-bj}的大小就可以了, 即tij ≤ tji当且仅当max{t, ai, ai+aj-bi} ≤ max{t, aj, ai+aj-bj}。由于max{t, ai, ai+aj-bi} ≤ max{t, aj, ai+aj-bj} 对任何t ≥ 0成立，