第二章 微 分 方 程 模 型.

第二章 微 分 方 程 模 型
建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。

这一章我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。

2.1 简单模型
例1 物体在空气中的下落与特技跳伞问题
假设质量为m 的物体在空气中下落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数为k （>0）,求物体的运动规律。

解 所谓运动规律即下落距离与时间的关系，如图2.1.1, 建立坐标系。

设x 为物体下落的距离，于是物体下落的速度为
dx
v dt
=，
加速度为
22d x
a dt
=，
根据牛顿第二定律F ma =，可以列出微分方程
2
22d x d x m k m g d t d t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭, （2.1.1）
负号表示阻力方向与速度方向相反。

例2 单摆的自由振动问题。

如图2.1.2 为一个单摆，上端固定在O 点，M 为一质量为m 的质点，摆杆OM 之长为L （摆杆的质量忽略不计）。

单摆的平衡位置为铅垂线'OO 。

将质点M 拉开，使OM 与'OO 成一个角度0θ，然后放手任其自由运动，试求摆杆OM 和铅垂线'OO 的夹角θ与时间t 的关系。

解 将重力分解为径向力F 与切向力T ，T 的大小为sin mg θ，M 的切向加速
度为22d a L dt
θ
=，于是，由牛顿第二定律，列出微分方程
22s i n d m a m L m g dt
θ
θ==
，
即
22s i n d g
dt L
θθ=-， （2.1.2）
设初始时刻0t =，摆杆的初始位置为0θ，初始角速度为0，则单摆的运动规律的研究就化为微分方程的初值问题
()()22
00'
0s i n ,,0.t t d g
dt L t t θθθθθ==⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
（2.1.3）
图2.1.1 图2.1.2
例3 考古和地质学中文物和化石年代的测定问题。

考古、地质学等方面的专家常用14C （碳14）来估计文物或化石的年代。

它们的依据是，宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氧气作用生成具有放射性的14C 。

这种放射性碳可以氧化成二氧化碳。

二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到各种动植物体内。

由于14C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都在不断衰变，活着的生物通过新陈代谢不断地摄取14C ，使得生物体内的14C 与空气中的14C 有相同的百分含量。

生物体死后它停止摄取14C ，因而尸体内的14C 由于不断衰变而不断减少。

碳定年代法就是根据14C 的衰变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的。

基本假设
（1）现代生物体中14C 的衰变速度与古代生物体中14C 的衰变速度相同（依据是地球周围大气中14C 的百分含量可认为基本不变，即宇宙射线照射大气层的强度自古至今基本不变）；
（2）14C 的衰变速度与该时刻14C 的含量成正比（这条假设的根据来自于原子物理学理论）。

下面用微分方程建模。

设在时刻t （年）生物体中14C 的存量为()x t ，由假设（2）知
dx
kx dt
=-, （2.1.4） 其k （>0）为衰变常数，负号表示14C 的存量()x t 是随时间递减的。

这个方程的通解是
()kt x t Ce -=. (2.1.5) 设生物体的死亡时间是t =0，其时14C 的含量为0x ，代入（2.1.5）有 0()kt x t x e -=. （2.1.6） 设14C 的半衰期（给定数量的14C 蜕变到一半数量所用的时间）为T （常数），则有
()2
x x T =, （2.1.7） 将式（2.1.7）代入（2.1.6），得 l n 2
k T
=, 于是
l n 20()t T
x t x e
-=，
解出t 得
0ln ln 2()
x T
t x t =
. （2.1.8） 由于()0,x x t 不便测量，还可以用下列办法求t . 对（2.1.5）两边求导，得 ()'0()kt x t x ke kx t -==-, 而
()()'000x kx kx =-=-. 上面两式相除，得
()()()'0'0x x
x t x t =.
代入（2.1.8）得
()''0ln ln 2()
x T
t x t = 。

其中由假设（1），可用()'0x 表示现代新砍伐树木的木炭中的14C 中平均原子衰变数（可测得为38.37次/分），()'x t 为测得的出土的木炭标本中14C 的平均原子衰
变数（比如1972年8月在长沙市出土的马王堆一号墓测得的()'x t 为29.78次/分）。

若14C 的半衰期为5568年（也有人测定是5580或5730年）， 则该墓的年代大约是 556838.37
l n 2036l n 229.78
t =≈（年） 。

2.2 人 口 问 题 模 型
人口问题是一个复杂的生物学和社会学问题。

用数学方法来研究它，主要是研究人口或其他生物总数以什么规律增加或减少的问题。

令()N t 表示一个国家或地区在t 时刻的人口总数，严格说来，()N t 是一个不连续的阶梯函数，但是一个人的增加或减少（出生或死亡）与全体人数相比极为微小，我们就把()N t 视为连续可微的函数，从而可以用微分方法来研究。

设在[],t t dt +时间间隔内人口的增长量为
()()()
dN t N t dt N t dt dt
+-=
⋅, （2.2.1） 这里已经略去了高阶无穷小量. 这个增长量应该等于在此时间段内的出生数减
去死亡数。

设λ为出生率，μ为死亡率，且假设出生数与死亡数与人口总数()N t 及时间dt 成正比，则有 ()()()d N t
d t N t d t N t d t
dt
λμ=-, 即
()
()()()dN t N t N t N t dt
λμα=-=, （2.2.2） 其中αλμ=-为人口净增长率。

于是()N t 满足常微分方程
()
()dN t N t dt
α=. （2.2.3） 又设已知初始时刻0t t =时人口总数为0N ，就有初始条件
()0
0t t N t N ==. （2.2.4）
不难求得常微分方程初值问题（2.2.3）和（2.2.4）的解为（设α为常数） ()0()t t N t N e α-= （2.2.5）
即人口总数按指数增加，这就是Malthus 人口模型。

现在讨论问题本身的正确性。

首先承认这个模型，式中0N α和可以根据人口普查的统计数字确定出来。

0N 就是某一年统计的人口总数，αλμ=-就是每年人口的净增长率。

可以看到这个规律在一个不太长的时间中使用，还是相当精确的；但是如果在一个相当长的时间中来考虑，出入就非常大。

例如根据统计数字，取1961年为0t ，当时全球人口总数为0N =30.6亿，而1951—1961年十年中每年人口的净增长率为α=0.02，因此有
90.02(19
() 3.0610t N t e
-=⨯⨯. （2.2.6） 将这个公式用于倒推计算在1700-1961年间的人口，和实际情况符合得较好。

在这段时间内地球上人口约每35年增加一倍；而由上述方程，可以容易地证明人口增加一倍所用的时间是34.6年。

但是对这个模型如果不加限制地使用，就会出现很不合理的情况。

到2510年，地球人口达到14210⨯亿，即如果地球上的海洋全部变成陆地，每人只有9.3平方英尺的活动范围。

而到2670年，人口达到153610⨯亿，只有一个人站到另一个的肩上了。

因此，Malthus 人口模型是不完善的。

从根本上说是不完整的，必须修正。

在上述模型中假设α是常数，从而人口方程是线性常微分方程。

这个模型在群体总数不太大时才合理。

而没有考虑总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。

因此总数大了以后，不仅有一个线性增长项()N t α，还应有一个竞争项来部分地抵消这个增长。

使人口增长的指数规律不再成立。

此竞争项可以取为2N β-，相当于还存在一个与N 成正比的死亡率N μβ-
=。

这样()N t 满足常微分方程及初始条件为
()
()()()020,.
t t dN t N t N t dt N t N αβ=⎧=-⎪
⎨⎪=⎩ （2.2.7）
这是荷兰人Werhulst 所提出的模型，αβ和称为生命常数。

通常βα比要小得多，因此在N 不太大时，可以略去（2.2.7）中的竞争项而回到Malthus 模型。

当N
增大时，竞争的影响就不能忽略，即人口总数不再按指数增长。

一个国家越发达，
β的值越小。

为了说明这一点，求解上述问题（2.2.7）,得到
()0
0ln N N t t N N αβααβ⎛⎫
--=
⎪-⎝⎭
. （2.2.8）
若初值0,N N ααββ=
==则解常数；设初值0N α
β
≠，则由（2.2.8）式，在000(),()t t N t N t N α
β
>≠
=时，但，因此在0t t ≤<∞时，即在解存在的范围内恒成立
0N N
αβαβ->-. （2.2.9）
从而（2.2.8）式可以写成
()()
()000ln N N t t N N αβααβ--=-. （2.2.10）
故有
()()
()
000t t N N e
N N ααβαβ--=-. （2.2.11） 从（2.2.11）中解出N 得 ()()0
00t t N N N t N N e
ααβαβ--==
+-. （2.2.12） 因此当(),t N t αβ
→+∞→
时. 这样我们看到，无论初值0N 为何，生物群体的总数在
t α
β
→+∞
时恒趋于定值，称该值为饱和值。

在00N αβ
<<
时（即有实际意义的情况），00N αβ->，由（2.2.12）可知()N t 单调上升趋于
α
β
，从而()0dN t dt >，由于
()22
()()()()2()2()d N t d N t
d N t
d N t N t N t d t d t d t d t
αβαβ=-=-， 因此在()N t 的增长过程中，当22()02d N
N dt ααββ<>饱和值的一半时，成立，
而当2202d N
N dt
αβ><时，成立。

因此()N N t =的的曲线形状如图2.2.1所示，为
一个S 型曲线。

这说明，在人口总数达到饱和值的一半之前。

是加速增长时期；过后，为减速增长期。

图2.2.1
为了利用这个模型来预测地球上的人口，必须确定αβ和这两个生命常数。

据一些生态学家估计，α可以取为0.029。

又由1961年的统计数字，在
93.0610N =⨯时，人口的净增长率为0.02。

由方程
1dN
N N dt
αβ=-, 有
90.020.029 3.0610
β=-⨯⨯, 从而求得
122.94110β-=⨯. 故人口的饱和值应为
9
120.0299.86102.94110
αβ-==⨯⨯。

即近100亿。

地球人口已经超过60亿，应该处于减速增长阶段。

但应当注意，对于不同国家，甚至不同地区，
αβ和的值是不同的。

这可以部分地理解为为什么有的国家人口增长快，而有的
国家增长慢。

上面的模型是常微分方程模型，它有着根本的缺点，即它们是将群体中每一个个体都视为同等地位来对待的。

这原则上只适应低等动物，而对人群来说，必须考虑个体之间的差别，特别是年龄的影响。

人口数量不仅与时间t 有关，还应和年龄有关（作人口统计时也是统计不同年龄的人数）。

同时出生率，死亡率等等都明显地应和年龄有关。

因此可以将年龄分为若干组，对每一组中的个体一视同仁对待，就可以得到一个用常微分方程组来描述的模型。

但更适当的方法是考虑年龄连续变化的影响，用偏微分方程来描述人口的发展动态，限于篇幅的限制，这里不再讨论偏微分方程模型，感兴趣的同学可以参考其他文献。

习题二
1 复习“数学分析”课中讲过的“一阶微分方程的几种解法”，“高阶微分方程的可降阶类型”以及“二阶线性常系数微分方程的解法”。

写出解法步骤。

2 求解下列微分方程：
1） '2(1)y y x =+， 2）()()
2'
2
11y x y y x -=--，
3）
'y = 4）'22xy y x -=-， 5） '222211x x y y x x +
=--， 6） '
22
xy y x y =+ 7） '22
1
11x x y y x x y
+
=--。

3 求解自由落体运动方程（或匀加速运动方程）
22d s
g dt
=。

4 求解下列微分方程
1） '''''10y y x -=， 2） ()()3
'''2
2
10y a y a =+≠，
3） ''
''y e y x +=。

5 解初值问题
()()'''''(0)0,01.y y y y y y ⎧=+⎪⎪
=⎨⎪=-⎪⎩
6 有高为Hcm 的半球形容器（如图）。

水从它的底部小孔流出，小孔的横截面为
2Scm ,开始时容器盛满水，问要多少时间水流完？
7 导弹跟踪问题。

如图示，设在初始时刻t=0时，导弹位于坐标原点（0,0）,飞机位于点（a,b ），飞机沿着平行于x 轴的方向以常速0v 飞行，导弹按照制导系统始终指向飞机以常速1v 飞行，求导弹的飞行轨迹和几种飞机所需的时间T 。

第6题图 第7题图
8 以总数为50万元钱进行某种连续的复式投资，其收益率是每年8%，求25年后钱的总量。

9 假设商场中某种商品在时刻t 的价格为()p t ，以致变化率与需求量D 和供给量S 之差成正比（比例常数为k ），若 ,
D a bp S c dp =-=-+，
其中a,b,c,d 为正的常数，求当初始价格为p 时。

时刻t 时，该商品的价格。