两点之间线段最短PPT课件
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人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ
最短路径将军饮马造桥选址ppt课件
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为 AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
M N
P Q
G H
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
பைடு நூலகம்
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最
短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化 为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
《最短路径问题》轴对称PPT
A
C
C′
l
即 AC +BC 最短．
B′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
周长是（ A ）
A．10 C．20
B．15 D．30
3、如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别
为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，
则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离10是00
米.
C
D 河
A
B
4、如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A处到
则A到B的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
A MC
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
ND E
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
B
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径 的选择.
则点C 即为所求．
B
A
C l
B′
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
《两点之间线段最短》课件
Floyd算法
1
算法步骤
深入了解Floyd算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析Floyd算法的时间复杂度。
3
算法优化
介绍一些对Floyd算法进行优化的方法。
分支界定算法
1
算法步骤
详细讲解分支界定算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析分支界定算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对分支界定算法进行优化，提高 效率。
时间复杂度分析
简单算法的时间复杂度如何？我 们来一起分析。
缺点与局限性
了解简单算法的缺点和局限性， 为后续算法做铺垫。
Dijkstra算法
1
算法步骤
详细介绍Dijkstra算法的执行步骤。
2
时间复杂度分析
分析Dijkstra算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对Dijkstra算法进行优化，提高效率。
2 如何根据实际问题选择合适的算法
提供一些建议，帮助你根据实际问题选择合适的算法。
3 未来发展方向展望
展望两点之间线段最短问题的未来发展方向。
《两点之间线段最短》 PPT课件
欢迎来到《两点之间线段最短》课件！本课程将介绍如何解决两点之间线段 最短问题，并深入探讨不同算法的优缺点以及适用场景。让我们一起开始吧！
问题描述
1 两点之间线段最短问题
我们将探讨什么是两点之间线段最短问题，以及为什么需要解决这个问题。
简单算法
勾股定理求解
使用勾股定理来计算两点之间的 距离。
综合比较
算法的时间复杂度和 空间复杂度对比
比较各算法的时间复杂度和空间 复杂度，找到最适合问题的算法。
两点之间线段最短PPT
线段的计算
长度计算
线段的长度等于两点之间的水平或垂直距离。
斜率计算
线段具有固定的斜率，斜率等于线段两端点之间 的高度差除以水平距离。
角度计算
线段与水平线之间的角度等于tan-1(斜率)，或者 使用三角函数计算。
线段的作图方法
确定端点
确定线段起止的两个点，可以是坐标系中的任意位置。
连接两点
使用直线或曲线工具连接两个端点，形成线段。
微积分
在微积分中，可以利用两 点之间的线段性质来研究 函数的增减性和极值问题。
理论证明中的应用
欧几里得几何
变分法
在欧几里得几何中，两点之间的线段 是唯一最短的路径，这是欧几里得几 何的基本公理之一。
在变分法中，可以利用两点之间的线 段性质来推导和证明最小作用量原理 和Euler-Lagrange方程等重要结论。
推论
如果存在一条曲线连接A和B，使 得曲线的长度小于线段AB的长度， 那么这条曲线是不存在的。
03
证明两点之间线段最短
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过几何图形，利用两点之间的直线段最短，可以直观地证明两点之 间线段最短。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数方法，通过建立坐标系，设两点坐标，然后计算两点之间各种路径的距离，最终推导出两点之间线段最 短。
两点之间线段最短
目录
• 引言 • 两点之间线段最短的定义 • 证明两点之间线段最短 • 两点之间线段最短的应用 • 两点之间线段最短的扩展知识
01
引言
主题引入
01
两点之间线段最短是几何学中的 基本定理之一，也是日常生活中 经常遇到的现象。
两点之间_线段最短精品PPT课件
点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多
少？
A
5
A
3
1
5
C
12
B ∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13.
B
课堂练习
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底
面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少
两点之间 线段最短
看图思考
为什么大家都喜欢走捷径呢？
绿地里本没有路，走的人多了… …
你来做一做
在纸上任意点两点，用线联接它们，量 一下它们的长短，比较一下谁最短？
得出结论：
两点之间，线段最短！
定义概念
两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成:两点之间,线段最短.
连接两点间的线段的长度,叫做这两 点的距离。
∴AB=13(m) .
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
一只蚂蚁要从正方体 的一个顶点A沿表面 爬行到顶点B，怎样 爬行路线最短？如果 要爬行到顶点C呢？
拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
蚊子 ●
举例一
●
壁虎
糖果
举例二
蚂蚁
蚊子
●
糖果
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
提分专题十二 利用“两点之间,线段最短”求最值中考复习课件
的中点，则 + 的最小值为____．
第2题图
（2）线段差最大问题
模型
展示
续表
问题：两定点 ， 位于直线 同侧，在直 问题：两定点 ，
线 上找一点 ，使 − 的值最大.
位于直线 异侧，在Fra bibliotek解决：根据三角形任意两边之差小于第三
直线 上找一点 ，
分析 之差小于第三边
针对训练
3.如图，在矩形 中， = 3 ， = 4 ，连接
， 是 的中点， 是 上一点，且 = 1 ，
是 上一动点，则 − 的最大值为(
A. 10 −
5
2
B.
85
2
5
C.
2
)
D.
√
13
2
第3题图
4.如图，已知 △ 为等腰直角三角形，
知， + 的最小值即为线段
的长，连接 交直线 于点
点 ，使得 + 的值最
小.
解决：将同侧点转化为异侧
即可解决
模型 对于“两定一动”线段和最小问题，利用两点之间，线段最短即可解
分析 决
针对训练
1.如图， △ 的面积为12， = ， = 4 ， 的
续表
要使 △ 的周长最小，即 + + 的值最小.根据两点之
间，线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可.分别作点 关
模型
于 ， 的对称点 ′ ， ″ ，连接 ′″ ，分别交 ， 于
分析
点 ， ，点 ， 即为所求， △ 周长的最小值即为线段
是 ∠ 内一点，在 上找一点 ， 上找一点 ，
课件_人教版数学八年级上册1 最短路径问题优秀精美PPT课件
A
B
于点C． 则点C 即为所求．
C
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
B'
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
A
在△AB′C′中，
·
AB′＜AC′+C′B′， ∴ AC +CB＜AC′+C′B．
C′ C
B
·
l
即 AC +CB 最短．
B′
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
利用了轴对称的有关知识， 把两点在直线同侧问题转化为 两点在直线异侧问题。从而用 “两点之间，线段最短”
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则A到B地的路程为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
13.4课题学习 最短路径问题 根据：两点之间线段最短.
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
三是实际背景问题，来求最优化问题．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
《最短路径问题》课件
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究 跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行）， 现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何 选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的 长等于河宽； （2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
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上，它已成为求两个线段和最短或几条线段和最短
的一种手段和技巧.
通过探究，我们发现，这一类问题解题的大概步 骤是一样的，唯一不同在于它们赋予的图形不同， 也就是已知条件不同。它可以以正方形、菱形为依
托，也可以以等腰三角形和等边三角形为依托。但 我发现它的本质是不变的，也就是万变不离其中，
因此，我们只需以不变应万变。下面是我总结的这 一类问题的基本思路和步骤。
A
D
2 1
N
M
E
B
C
5
解题过程
解：连接 NB、BM
∵四边形ABCD为正方形
∴∠1=∠2、AB=AD=DC=8cm=BC ,
∠DCB=90º
在△BAN与△DAN中 AB=ADΒιβλιοθήκη AD2 1
N
M
∠1=∠2
AN=AN
E
∴△ABN≌△AND(SAS)
B
C
∴BN=DN
即求DN+MN的最小值，则为求NB+NM的最 小值
（4）最后下结论。（例：∴AM+MN的最小值 为）
19
题目
说了这么多，大家对这方面的知识也有所了解了吧， 那么，让我们一同看看这道中考题，看看能不能轻松的 解决。
题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0， 3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。
（1）求此抛物线的解析式。 （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的
ABC，使得构成一个正方形，从而利用上一题
的思路解题。
10
解题过程
解：以BC 为轴翻转△ABC到
△DBC
A
连接 ND，MD交BC于E
M
∴AC=DC=8，∠ABC=∠DCB
在△ACN与△DCN中 AC=DC
B
N
E
C
∠ABC=∠DCB
CN=CN
∴△ACN≌△DCN(SAS)
∴AN=DN
M
∵DE⊥AE
∴∠AED=90º ∴∠BDE=30º
2
B1 F
N
C
∴BE= BD=1 E
∴ED= ∵N为AB的中点
∴BN=1
∴EN=2
D
根据勾股定理
NE2+ED2=ND2
∴ND= ∴AM+MN的最小值 为
17
回顾与总结
通过以上的探究和思考，我们发现，两点之间
线段最短这个公理，已不只停留在一个简单的公理
在△ABM与△DBM中
M
AB=DB
∠1=∠2
BM=BM
2
B1 F
N
C
∴△ABM≌△DBM(SAS)
E
∴AM=DM
即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD
的最小值
D
根据两点之间线段最短
当M为ND与BC交点F时，MN+MD的最小
值。
16
解题过程
∵∠1=∠2=60º
A
∴∠ABD=120º
∴∠EBD=60º
14
探究问题四
同探究问题一、探究
问题二一样，我把探究
问题三变形，大家再看
看。
如图，在边长为2的
A
等边三角形ABC中，M
为AB的中点, N是BC上
M
的一动点，求AN+MN
的最小值。
B
C N
15
解题过程
解：以BC为轴翻转△ABC到△DBC，
A
连接MD、ND作DE⊥AB交AB的延长线于E。
∴ AB=BD=2 ∠1=∠2=60º
18
步骤思路
（1）利用对称，转移其中一条线段。（若不是 对角线为对称轴的图形，通过翻折，补形）——移
（2）利用两点之间线段最短这个公理，寻找两 线段和最短时动点所在的位置。——找
（3）利用已知条件求线段的值——求。求解前 的过渡的写法很重要，举个例子（例：∴AM=DM 即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD的最小 值 根据两点之间线段最短 当M为ND与BC交 点F时，MN+MD的最小值）大概内容如此即可。
初三一班 原静雯
1
前言
阅读完两点之间线段最短那篇文章，相
信大家对于两点之间线段最短这个简单的公
理有了更加深入地了解，应用上，也找到了
些方法与思路了吧。又经过了近一年的学习，
回过头我们再看两点之间线段最短这个公理，
看看我们能不能再发现它的精华。
这是上学期的一道周测题目，不知大家还 有没有印象。
2
探究问题一
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探究问题三
在边长为6的菱
形ABCD中， ∠DAB=60º，E为
D
C F
AB的中点，F是
AC上一动点，求
A
E
B
EF+BF的最小值。
13
解答
这也是我们周测的一道题目，大家还 有印象吗？它与探究问题一大致一样，只 是换作了菱形的情景，依旧是利用对称性 转移线段，再利用两点之间线段最短的公 理。 解题过程略
如图，在边长为
8cm的正方形
A
D
ABCD中，M为
M N
DC上的一点，且
DM=2，N是AC
B
C
上的一动点，求
DN+MN的最小
值。
3
解答
首先，我想先说一说我拿到这道题
时的一些想法和思路。观察已知条件，
要求的是DN+MN的最小值，观察图形，
这两条线段在同一边，这就很别扭，显
得无从下手，于是我便想到了线段等量
即求AN+NM的最小值则为求 MN+ND的最小值
11
解题过程
根据两点之间线段最短
∴当N在E点时,MN+ND
A
的值最小
M
∵△ABC为等腰三角形，
AM=2
∴∠ABC=∠BCD=45º MC=6
B
N
E
C
∴∠MCD=90º
根据勾股定律
MC2+DC2=MD2
∴MD=10
即AN+MN的最小值为 10。
6
解题过程
由两点之间线段最短得
连接BM时与AC的交点为最小 值
设交于E ∵DM=2cm
A
D
2 1
N
M
∴MC=6cm
E
根据勾股定理 BC2+CM2=BM2
B
C
∴BM=10cm
即DN+MN的最小值为10cm。 7
总结
理解了上一题，我们看看这道题，这道题
就是上一题简单的变形。它与上一题极为相似，
解析式。 （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上
的转化，由于正方形是轴对称图形，对
角线又是它的对称轴，因此，我连接NB，
利用全等，把DN转移到BN。于是，便
变为了求NB+NM的最小值。
4
解答
如图，NB与NM，显然 是折线，不难想到，只有 运动N点，使得B.M.N三 点共线时，NB+NM的值 最小，而这一块的思考， 我们就利用了两点之间线 段最短的公理。确定了N 点的位置，下面就是简单 的求解了。
有了上一题的铺垫这道题现在让你做就非常简
单了。
8
探究问题二
如图，在等腰直角
三角形ABC中，
A
AB=AC=8，
M
∠A=90º，M为AC
上的一点, 且AM=2， B N
C
N是BC上的一动点，
求AN+MN的最小
值。
9
思路
观察图形，它恰好是上一图形的一半，考
虑到要应用对称性，转移线段，从而利用两点
之间线段最短这个公理，我们需要翻转三角形