两点之间线段最短PPT课件

初三一班 原静雯
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前言
阅读完两点之间线段最短那篇文章，相
信大家对于两点之间线段最短这个简单的公
理有了更加深入地了解，应用上，也找到了
些方法与思路了吧。又经过了近一年的学习，
回过头我们再看两点之间线段最短这个公理，
看看我们能不能再发现它的精华。
这是上学期的一道周测题目，不知大家还 有没有印象。
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探究问题一
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探究问题四
同探究问题一、探究
问题二一样，我把探究
问题三变形，大家再看
看。
如图，在边长为2的
A
等边三角形ABC中，M
为AB的中点, N是BC上
M
的一动点，求AN+MN
的最小值。
B
C N
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解题过程
解：以BC为轴翻转△ABC到△DBC，
A
连接MD、ND作DE⊥AB交AB的延长线于E。
∴ AB=BD=2 ∠1=∠2=60º
有了上一题的铺垫这道题现在让你做就非常简
单了。
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探究问题二
如图，在等腰直角
三角形ABC中，
A
AB=AC=8，
M
∠A=90º，M为AC
上的一点, 且AM=2， B N
C
N是BC上的一动点，
求AN+MN的最小
值。
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思路
观察图形，它恰好是上一图形的一半，考
虑到要应用对称性，转移线段，从而利用两点
之间线段最短这个公理，我们需要翻转三角形
M
∵DE⊥AE
∴∠AED=90º ∴∠BDE=30º
2
B1 F
N
C
∴BE= BD=1 E
∴ED= ∵N为AB的中点
∴BN=1
∴EN=2
D
根据勾股定理
NE2+ED2=ND2
∴ND= ∴AM+MN的最小值 为
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回顾与总结
通过以上的探究和思考，我们发现，两点之间
线段最短这个公理，已不只停留在一个简单的公理
A
D
2 1
N
M
E
B
C
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解题过程
解：连接 NB、BM
∵四边形ABCD为正方形
∴∠1=∠2、AB=AD=DC=8cm=BC ,
∠DCB=90º
在△BAN与△DAN中 AB=AD
A
D
2 1
N
M
∠1=∠2
AN=AN
E
∴△ABN≌△AND(SAS)
B
C
∴BN=DN
即求DN+MN的最小值，则为求NB+NM的最 小值
ABC，使得构成一个正方形，从而利用上一题
的思路解题。
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解题过程
解：以BC 为轴翻转△ABC到
△DBC
A
连接 ND，MD交BC于E
M
∴AC=DC=8，∠ABC=∠DCB
在△ACN与△DCN中 AC=DC
B
N
E
C
∠ABC=∠DCB
CN=CN
∴△ACN≌△DCN(SAS)
∴AN=DN
如图，在边长为
8cm的正方形
A
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ABCD中，M为
M N
DC上的一点，且
DM=2，N是AC
B
C
上的一动点，求
DN+MN的最小
值。
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解答
首先，我想先说一说我拿到这道题
时的一些想法和思路。观察已知条件，
要求的是DN+MN的最小值，观察图形，
这两条线段在同一边，这就很别扭，显
得无从下手，于是我便想到了线段等量
解析式。 （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上
即求AN+NM的最小值则为求 MN+ND的最小值
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解题过程
根据两点之间线段最短
∴当N在E点时,MN+ND
A
的值最小
M
∵△ABC为等腰三角形，
AM=2
∴∠ABC=∠BCD=45º MC=6
B
N
E
C
∴∠MCD=90º
根据勾股定律
MC2+DC2=MD2
∴MD=10
即AN+MN的最小值为 10。
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步骤思路
（1）利用对称，转移其中一条线段。（若不是 对角线为对称轴的图形，通过翻折，补形）——移
（2）利用两点之间线段最短这个公理，寻找两 线段和最短时动点所在的位置。——找
（3）利用已知条件求线段的值——求。求解前 的过渡的写法很重要，举个例子（例：∴AM=DM 即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD的最小 值 根据两点之间线段最短 当M为ND与BC交 点F时，MN+MD的最小值）大概内容如此即可。
（4）最后下结论。（例：∴AM+MN的最小值 为）
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题目
说了这么多，大家对这方面的知识也有所了解了吧， 那么，让我们一同看看这道中考题，看看能不能轻松的 解决。
题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0， 3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。
（1）求此抛物线的解析式。 （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的
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探究问题三
在边长为6的菱
形ABCD中， ∠DAB=60º，E为
D
C F
AB的中点，F是
AC上一动点，求
A
E
B
EF+BF的最小值。
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解答
这也是我们周测的一道题目，大家还 有印象吗？它与探究问题一大致一样，只 是换作了菱形的情景，依旧是利用对称性 转移线段，再利用两点之间线段最短的公 理。 解题过程略
在△ABM与△DBM中
M
AB=DB
∠1=∠2
BM=BM
2
B1 F
N
C
∴△ABM≌△DBM(SAS)
E
∴AM=DM
即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD
的最小值
D
根据两点之间线段最短
当M为ND与BC交点F时，MN+MD的最小
值。
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解题过程
∵∠1=∠2=60º
A
∴∠ABD=120º
∴∠EBD=60º
的转化，由于正方形是轴对称图形，对
角线又是它的对称轴，因此，我连接NB，
利用全等，把DN转移到BN。于是，便
变为了求NB+NM的最小值。
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解答
如图，NB与NM，显然 是折线，不难想到，只有 运动N点，使得B.M.N三 点共线时，NB+NM的值 最小，而这一块的思考， 我们就利用了两点之间线 段最短的公理。确定了N 点的位置，下面就是简单 的求解了。
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解题过程
由两点之间线段最短得
连接BM时与AC的交点为最小 值
设交于E ∵DM=2cm
A
D
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N
M
∴MC=6cm
E
根据勾股定理 BC2+CM2=BM2
B
C
∴BM=10cm
即DN+MN的最小值为10cm。 7
总结
理解了上一题，我们看看这道题，这道题
就是上一题简单的变形。它与上一题极为相似，
上，它已成为求两个线段和最短或几条线段和最短
的一种手段和技巧.
通过探究，我们发现，这一类问题解题的大概步 骤是一样的，唯一不同在于它们赋予的图形不同， 也就是已知条件不同。它可以以正方形、菱形为依
托，也可以以等腰三角形和等边三角形为依托。但 我发现它的本质是不变的，也就是万变不离其中，
因此，我们只需以不变应万变。下面是我总结的这 一类问题的基本思路和步骤。