03.汇交力系--几何法与解析法

e
C
a.画已知力 b.画未知力作用线 c.标出未知力指向
θ TB g
G
i
θθ
d.用量规量出未知力长度 按比例尺算得：
θ
h
TA
TA
TB TA = TB = 3.45 kN
f
A
B 讨论： θ角对钢丝绳张力的影响
G
例2-2 几何法求解汇交力系
杆 AB 由固定铰链 A 和双铰
1m
刚杆 CD 支承在水平位置，尺寸
F Fx Fy Fz
当坐标轴相互正交时，各分力 z Fz
与相应投影的关系为
Fx Xi, Fy Yj, Fz Zk
Z
F
则力 F 在直角坐标系中的
O Fx
解析表达式为
X
Fy
Y y
F Xi Yj Zk
x
若已知力F 在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为：
F X2 Y2 Z2
试画出梯子的受力图。
步骤：
A
A
NA
1. 取隔离体 2. 画主动力 3. 画约束反力
C
C
G DE
G D
T
B
B
NB
例2：已知圆轮B重P，物块 D 重P1 试作圆轮B 的受力图。
（1）取分离体； （2）画主动力；
（3）再画约束反力。
F
例3：图示水平简支梁，试作
出其受力图。
A
B
C
方法一： 方法二：
FAx A FAy
（4）必须明确每个力的施加者。
（5）内力在受力图上不画。
（6）正确标注各力的符号：FA 、 FAx 、 FAy
作业
第21页：思考题1-1至1-5 习题1-1( a, d, f, i )；习题 1-2( b, e, i, k, o)。
第二章 汇交力系与平面力偶系
参考：哈工大《理论力学》第七版 §2-1， §2-2， §3-1
y
P
FA
FA
P
x
FD
FD
例： 起重装置如图。已知：铅垂支柱AB=3m，
AE=AF=4m，拉索BE、 BF相对于吊臂平面 ABC对称布置，且 DAE DAF 45 。
如吊起的重物G=200kN，其余部件重量不计。
试求拉索和支柱的受力。
解：
（1）节点C
受力为：平面汇交力系，且FT = G 。
Fyi
也可应用三角公式计算。由图可知
45, tan BO BC tan 2 , 所以 331', 1119'
AB AB 3
对三角形abc应用正弦定理
FC
FA
P
sin(90 ) sin(90 ) sin
得：FC
P cos sin
2 0.8321 8.486 0.1961
力系的分类
平面力系 —— 各力作用线分布在同一平面内的力系。 空间力系 —— 各力作用线不在同一平面内的力系。
共线力系 —— 各力作用线相互重合的力系。 汇交力系 —— 各力作用线汇交于一点的力系。 平行力系 —— 各力作用线相互平行的力系。 任意力系—— 各力作用线即不汇交也不平行的力系。
§2-1 汇交力系 合成与平衡的几何法
i 1
i 1
n
FRz Zi
i 1
即合力在任意轴上的投影等于其各分力在同 一轴上投影的代数和。
4. 汇交力系的平衡方程
汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 合力等于零。
FR n Fi n X i i n Yi j n Zi k 0
i 1
i1 i1 i1
1. 汇交力系合成的几何法、力多边形法则
F4F4 F2
F3
F3 FR
F2 A
FF11
FR2 FR1
简化方法
F3
F4
F2
A
=
FR
F4 FR2
F1
FR1
F3
F1
F2
力多边形法则
F3
F4
FR
F4
F2
A
= F1
F3
F1
F2
力多边形法则 —— 将力系中各力矢首尾相连，则连接第一个
分力矢始端与最后一个分力矢末端的矢量
建立图示坐标系。 列平衡方程：
X 0, P FA cos 0
FA
P
cos
20 4/4
5
22.4kN
方向如图
Y 0, FD FA sin 0
FD
FA
sin
P
cos
sin
P tan
P
4 8
10kN
二、几何法
方向如图
作平衡的力多边形：
由三角关系得：
P
FA cos 22.4kN FD P tan 10kN
n
n
n
X i 0 , Yi 0 , Zi 0
i 1
i 1
i 1
汇交力系平衡的必要与充分条件是：各力在三 个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
上式称为汇交力系的平衡方程
例：简易起重装置。已知：起吊重物的重量为 P=2kN，杆 AB 处于 水平位置，其余几何关系如图，不计滑轮尺寸。试求重物匀速 提升时杆 AB 和 AC 的受力。
FR FRxi FRy j FRzk
n
n
FR Fi X ii Yi j Zik
i 1
i 1
n X i i n Yi j n Zi k
i1 i1 i1
汇交力系合成的解析法
所以合力FR 在各坐标轴上的投影与各分力在坐标轴 上的投影有如下关系：
n
n
FRx X i , FRy Yi ,
A FA
F
B C
FB
F
B C
FB
例4：图示水平梁AB用斜杆支撑，受 力如图。试作出梁AB 受力图。
类似情形1：
F FAx
FAy
FC
类似情形2：
例5：三铰拱结构。试分别作出右半拱、左半拱、 整体的受力图。
方法一：
几点注意：
（1）先作二力构件的反力：
（2）C点必须按作用力与 反作用力画；
（作用力与反作用力
解： 一、解析法
（1）选取研究对象 —— 滑轮A连同重物；
（2）受力分析:P、F、FAB、FAC ； （近似视为汇交力系，
F=P=2kN
杆AB、AC
） 为二力杆
（3）建立图示坐标系: Axy；
（4）列平衡方程求解
X 0, FAB FAC cos 30 F sin 30 0 Y 0, FAC sin 30 F cos 30 P 0
A
如图，单位为米。设作用于杆端 1 m
C
的垂直载荷 P ＝ 2 kN，杆重不计。
求铰链 A 和杆 CD 作用于杆 AB
D
的反力。
解：以杆AB为研究对象，受力如下图所示。
选定比例尺，画出此自封闭力多边形
FC ＝ 8.5 kN，FA ＝ 7.2 kN O
2m B P
a P
FC
b
FA
FC
P
FA
A
C
B
c
例2-2 几何法求解汇交力系
二、几何法
（1）适当选取研究对象 —— 滑轮A连同重物； （2）受力分析:P、F、FAB、FAC ；
（近似视为汇交力系，F=P=2kN） （3）取一适当的比例尺，作平衡的力多边形；
①作力多边形的顺序：先主动，后约束反力。
②按力多边形首尾相接、自行封闭的条件确定未 知反力的指向。
（4）按比例尺量取未知力的大小。
Fzi 0, FAB FS cos 60 F1 sin F2 sin 0
F1
F2
FS
sin
2 cos
60 cos 45
418.3kN
FAB (F1 F2 )sin FS cos 60 228.8kN 支柱受压力
FS FT
FS
例： 简易压榨机。汽缸活塞给水平推杆的力为P，几何
上次课要点
静力学公理 公理1 力的平行四边形法则 公理2 二力平衡条件 公理3 加减平衡力系原理 公理4作用与反作用定律 公理5 刚化原理
两个推论 力的可传性原理 三力平衡汇交定理
上次课要点
约束的概念 位移受到限制的物体称为非自由体。 对非自由体的某些位移起到限制作用的周围物 体称为约束。
常见典型约束 光滑接触面约束 柔索约束 光滑铰链约束
（1）必须明确研究对象，正确取分离体。 （2）正确分析约束反力的方位（或方向）。
① 须按约束的类型（或性质）确定反力的方位，切忌凭 直观任意猜想。
② 两物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析。
③ 光滑铰链约束反力的三种情况（按铰链约束的性质、二 力构件、三力平衡汇交定理分析）。
（3）必须画出研究对象上全部受力，包括：主动力和约束反力。 每解除一个必须有相应的约束反力代替。
（1） （2）
x
FAB
FAC
由（2）式可求得
1 cos 30 FAC P sin 30
7.464kN
（压）
F P
y
再由（1）式可求得
负号说明FAC实际方向与图中相反。
FAB FAC cos 30 P sin 30 (7.464) cos 30 2 sin 30 5.464kN （拉）
正值说明FAB实际方向与图中相同。
量得：
FAB 5.45kN FAC 7.45kN
1kN
30°
FAC
P
30°
F
x
FAB
FAC
F P
y
FAB
对于二力杆需说明：其拉压性质。杆AB受拉，杆AC受压。
例： 图示刚架，在B点受一水平力P作用。P=20kN，刚架重量不
计。求A、D处的约束反力。
解： 一、解析法
取刚架为研究对象，受力如图所示。
cosF, i X ,
F cos(F , j) Y ,
F
cosF, k Z
F
3.汇交力系合成的解析法
设由 n 个力组成的汇交力系作用在一个刚体上，
以汇交点 O 为坐标原点，建立直角坐标系 Oxy。以
Xi、Yi、Zi表示力 Fi 在坐标轴上的投影，FRx、FRy和
FRz表示合力FR 在各坐标轴上的投影，则：
就是该力系的合力矢。这样做成的多边形
称为该力系的力多边形。合力矢是力多边
形的封闭边。
注意：
1. 力三角形法则和力多边形法则求得的合力矢，仅仅表 明合力的大小和方向，而合力的作用线应该通过原汇 交力系的汇交点A。
2. 力多边形中各分力矢沿着同一指向首尾相接，合力矢 则沿相反指向封闭此多边形。
3. 由矢量加法的交换律，在合成的过程中任意变换力的 次序，可得到不同的力多边形，但合力矢量保持不 变。
§1-3 受力分析与受力图
受力分析的一般步骤：
1. 选定研究对象，画出隔离体图。 2. 在隔离体图上标出所有主动力。 3. 解除研究对象的所有约束，根据约束性质，
在隔离体图上标出所有约束反力。
例1-1：重量为G的梯子AB，放在水平地面和铅直墙
壁上。在D点用水平绳索DE与墙相连。若略去摩擦，
0, Fs
FTsFisnSin1s5i4n51 5
G
FT
sin
sin
45
45
0
sin 15 546.4kN
（2）节点B （受力：空间汇交力系。）
Fxi 0, F1 cos sin 45 F2 cos sin 45 0
Fyi 0, FS sin 60 F1 cos cos 45 F2 cos cos 45 0
FR
F4
F3
F1
F1
F3
F2
F4
FR
F2
结论：
汇交力系一般可简化为一合力，合力的作用线 通过力系的汇交点，合力矢等于力系各力的矢量和， 即：
n
FR F1 F2 Fn Fi
（2-1）
i 1
合力FR对刚体的作用与原力系对刚体的作用等 效。
2. 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 合力等于零。
n
Fi 0
i 1
（2-2）
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是力系 的力多边形自行封闭。
例2-1：几何法求解汇交力系
钢管重G = 6 kN，用两根钢丝绳起吊，已知钢丝绳与铅垂线的
夹角为θ = 30°，试求平衡时钢丝绳的张力。
解：1）选钢管为研究对象，画受力图
2）作力多边形，求未知量
确定比例尺：1kN/cm
z
ZF
Y
XO
y
x
二次投影法
也可先把力 F 投影到坐标平面Oxy上，得到Fxy，
然后再把它投影到x、y轴上
z
X F sin cos
Y
F sin sin
Z F cos
ZF
O
X
x
Y y
Fxy
2. 力的解析表达式
按平行六面体法则，可将力F 沿坐标轴方向分解为 三个分力Fx、Fy、Fz，即力矢F 可表示为：
整体的受力图
杆AB：
杆CD与物块
例8：指出下列受力图中的错误，并予以改正。
（1） （2）
FAx FAy FB
F1 FA
F2 FB
FA
FB
F1
FAx FAy
FB
（3）
FA
FB
FAx FAy FBx FBy
（4）
FA FB
FA
FC
FAy FAx
P
FBy
FAy
FBx
FAx
FCy
FCx
P
受力分析小结：
的表示，FC 、 FC ）
F
FC
（3）内约束反力不画；
（4）固定铰链约束反力 画法；
FAx FAy
左半拱
右半拱 FC
FB
F FAx
FAy
FB
整体
方法二：按三力平衡汇交定理确定A点的反力
FC FB
右半拱
F
FC
FA
左半拱
F
FB FA
整体
例6：
作图示系统的受力图。
（1）整体； （2）杆Aຫໍສະໝຸດ Baidu； （3）杆CD与物块。
FA
P cos sin
2 0.7071 0.1961
7.211
O
90- a
P
FA
FC
A
C
FC
b
P
FA 90+
B
c
§2-2 汇交力系 合成与平衡的解析法
1. 力在正交坐标轴系的投影
若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别
为、、。则力在三轴上的投影为：
X F cos
Y
F
cos
Z F cos