60.离散型随机变量的期望和方差(答案)

数学导学案

【2014年高考会这样考】

1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】

均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．

基础梳理

1．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量X (1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差 称D (X )＝为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．

2．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．

两个防范

在记忆D (aX ＋b )＝a 2D (X )时要注意：D (aX ＋b )≠aD (X )＋b ，D (aX ＋b )≠aD (X )． 三种分布

(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )； (2)X ～B (n ，p )，则

E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； (3)若X 服从超几何分布，

则E (X )＝n M

N

.

六条性质

(1)E (C )＝C (C 为常数)

(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数) (3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2

(4)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)E (X 2) (5)D (X )＝E (X )－(E (X ))(6)D (aX ＋b )＝a 2·D (X )

考点自测

1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．

班 级： 姓 名：

s 2＝(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)25

＝2. 答案 D

2．已知X 的分布列为

设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.7

3

B ．4

C ．－1

D ．1 解析

E (X )＝－12＋16＝－1

3

，

E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝7

3

.

答案 A 3．(2010·湖北)

已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①

又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A

4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，

D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎪⎨⎪⎧

n ＝8，

p ＝0.2.

答案 A 5．(2010·上海)随机变量ξ

该随机变量ξ的均值是解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2

考向一 离散型随机变量的期望和方差

【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3

(1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．

[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．

解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.

P (X ＝3)＝23×25×25＝8

75

，

P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝28

75，

P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝2

5，

P (X ＝0)＝13×35×35＝3

25

；

根据题意X ＋Y ＝3，所以

P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝28

75，

P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝3

25

.

X 的分布列为

Y 的分布列为

(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝22

15

；

因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝23

15

.

(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．

(2)由X 的期望、方差求aX ＋b 的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解． 【训练1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，1

4；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．

解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，1

4

.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则

P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516

.