武大-金融工程-常微分方程讲义(九)-马理
常微分方程基本概念PPT讲稿
的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
语言. 2020/8/21
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一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
2020/8/21
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二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.
2020/8/21
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例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2 y 2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.
武大-金融工程-常微分方程讲义（五）-马理
武大-金融工程-常微分方程讲义（五）-马理常微分方程讲义（五）应用举例例：关于供需分析静态分析——均衡解b h gc p hp g Q bp c Q sd --=+=+=_动态分析——价格的变化率与超额需求成正比例关系=-==)0(|)(0p p Q Q m dt dp t s d _)(_))0(()(p ep p t p t b h m +-=-- 时间路径例：货币的供给与需求、通货膨胀若所需货币只是用来交易， Q t kp M d )(=货币的供给由金融机构根据市场的均衡价格水平决定，Q kp M e s = 通货膨胀率dtdp 与货币的超额供给成正比例关系，则 )(d s M M b dtdp -=，令~p 是市场价格水平对均衡价格水平的偏离，则~~)(p bkQ p p bkQ dt p d e -=--= 形成价格及平稳条件为e bkQt e p Ce p p p +=+=-~例：人们的通膨期望是否会动摇经济的稳态？若通货膨胀期望是关于通膨率的正比函数（意味着现在的通货膨胀率越高，人们认为将来的通货膨胀率越高），dt dp h dt dp E =??且通胀预期会降低人们持有货币的愿望（因为所有人都愿意持有物品，而不愿意持有不断贬值的钞票），则-=dt dp gE kpQ M d 推导得--=dt t dp gE Q t kp b Q bkp dt t dp e )()()( 于是得到bgh bkQtCe p --=1~正因为保持均衡态的条件非常苛刻，所以政府的干预可能是必要的。
理论与现实的差距：经济到底需不需要干预？“长期是什么？在长期中我们都死了！”——凯恩斯例：企业广告费用投入与纯利润曲线广告费用投入的双重效应建模：=-=021)0()(R R a K M a K da dR 实证：秦池酒业。
常微分方程的通解结构定理
常微分方程的通解结构定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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武大-金融工程-常微分方程讲义(六)-马理
常微分方程讲义（六）线性微分方程的解法：常系数线性微分方程（特征方程）变系数线性微分方程（欧拉方程）N 阶线性齐次微分方程：0)()()(1111=++++---y x a dx dyx a dxy d x a dx y d n n n n n n （A ） N 阶线性非齐次微分方程：)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- （B ） 特解的初始条件限制：)(),(''),('),(01000x y x y x y x y n -引入记号：kkkdxd D =；)(D L ：N 阶线性微分算子)()()()(1111x a dx dx a dx d x a dx d D L n n n n n n ++++=---y x a dx dyx a dxy d x a dx y d y D L n n n n n n )()()()(1111++++=---A 式可简写为0)(=y D L ，B 式可简写为)()(x f y D L =2121)()())((y D L y D L y y D L +=+，即可写成])()()([])()()([))(()()()()()(2211211211111111212111211121y x a dx dy x a dx y d x a dx y d y x a dx dyx a dxy d x a dx y d y y x a dx y y d x a dxy y d x a dx y y d n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++++=++++++++--------- y D cL cy D L )())((=，即可写成])()()([)()()(11111111y x a dx dyx a dxy d x a dx y d c cy x a dx dcyx a dxcy d x a dx cy d n n n n n n n n n n n n ++++=++++------若)(x y i 是A 或B 的解，则∑)(x y c i i 也是A 或B 的解定理1：0)(=y D L 与)()(x f y D L =的解存在 定理2：0)(=yD L 有n 个线性无关解定理3：设i y 是0)(=y D L 的n 个线性无关解，则0)(=y D L 的通解是∑=ni i i y c 1定理4：设Y 是0)(=y D L 的通解，而*y 是)()(x f y D L =的特解，则*y Y y +=是)()(x f y D L =的通解定理4揭示了线性微分方程与线性微分方程组的解题三部曲：第一步：求“齐次”的通解三部曲 第二步：求“非齐次”的特解第三步：相加，得到“非齐次”的通解常系数线性微分方程的求解（特征方程的方法）————三部曲之一：求“齐次”的通解x x a Ce y Ce y y a dxdy λ=−→−=−→−=+-101解x n x x n n n n n n n e C e C e C y y a dx dy a dxy d a dx y d λλλ++=−→−=++++--- 212111110猜因此，求“齐次”通解的关键是求i λ，引入特征方程：0111=++++--n n n n a a a λλλ特征方程的解分成四种情况：① 1、单的实根21λλ≠，则0)(=y D L 的通解为x x e C e C Y 2121λλ+=2、单的复根⎩⎨⎧-=+=βαλβαλi i 21，则0)(=yD L 的通解为)sin cos (21x C x C e Y x ββα+=3、重的实根21λλ=，则0)(=y D L 的通解为x e x C C Y λ)(21+=4、重的复根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=βαλβαλβαλβαλi i i i 4321，则0)(=yD L 的解]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e Y x ββα+++=例：01823622=-+y dxdy dx y d ①为书写方便，仅仅考虑特征方程只有2个解或2组解。
常微分方程讲义++很详细
定值.方程(1.12)的初值问题常记为
(1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若已求出通解 ，只要把初值条件
代入通解中，得到方程
从中解出 C，设为
，代入通解，即得满足初值条件的解
.
对于 n 阶方程，若已求出通解 得到 n 个方程式
后，代入初值条件(1.15)，
(1.17)
2 讲 变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什
么是 21．什么是变量可分离方程？ 什形如
1． 或
（1.18）
（1.19） 的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微 分形式变量可分离方程． 方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x 的函数，另一个因式是只含 y 的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方 程
是未知函数对 t 导
数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为
(1.2) 将上式对 t 积分两次得
(1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.
一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所 介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程
（1.4）
（1.5）
(· =
)
（1.6）
(′=
)
（1.7）
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常 微分方程的一般形式可表为 （1.8） 如果在(1.8)中能将 y′解出，则得到方程 （1.9） 或 （1.10）
常微分方程课件奇解和包络.ppt
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络 结果: Clairaut方程
dy dy y x f dx dx
此直线族的包络
的通解
y cx f( c )是一直线族,
或
x f '(p) 0 y xp f (p)
x f '(c) 0 y xc f (c)
是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.
例4: 解:
求解方程
1 y xy' . y'
其中
这是Clairaut方程,
因而它有通解: 因为
f (c) , 所以 c 1 x 2 0 从 c 1 y cx c
注:
p 判别曲线是否为方程的 奇解 , 尚需进一步 .
例3:
解:
dy 2 求微分方程 y 10 dx p2 y2 1 0, 从 2p 0.
消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即
2
的奇解.
y 2 1,
y 1.
y sin( x c ), c 为任常数
现在l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 l c 上. 由于
l与 l c
在M点有相同的切线, 而
l 与 lc
常微分方程常见形式及解法课件PPT
2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
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常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如 ： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
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简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
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01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
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02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况 ，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
武汉大学金融工程学课件——金融工程-文档资料
2019/3/31 14
金融经济学的主要内容
投资组合理论 资产定价理论 CAPM(capital asset pricing model) ICAPM CCAPM APT SFD(stochastic discount factor) 衍生证券的定价 市场有效性理论 公司金融 公司的资本结构、公司治理结构 金融计量
发与实施 “创造性”——金融问题的解决
2019/3/31 6
Lawrence的定义：
“金融工程是应用金融工具，将现在的金 融结构进行重组以获得人们所希望的结 果。”
——《金融工程学----管理金融风险的工具和技巧》1994年
重点是对已有的工具进行重组，重点在衍生
金融工具
2019/3/31
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Smith & Smithson的定义：
“金融工程创造的是导致非标准的现金流的金融 合约，它主要指用基础的资本市场工具组合而 成新金融工具的工程。标准的金融工程一般包 括：诊断、分析、开发、定价和交付使用等几 个运作步骤，其基本过程程序化。”
——《金融工程手册》
非标准化的现金流的金融合约
2019/3/31 8
2019/3/31 4
在美国，一些大的投资银行（如高盛、美林） 专门设有金融工程师职务，专门从事投资组合 管理、新产品开发、风险管理等业务。 一些大的公司也开始设置金融工程师从事与公 司财务相关的业务、风险管理业务 商业银行的投资银行业务部设置金融工程师， 为公司客户提供服务
2019/3/31
2019/3/31 15
公司金融又包含两个方面的内容： 以莫迪格利亚和米勒的资本结构理论为基 础的公司融资问题，它讨论公司股权 / 债 权结构、公司并购等问题； 公司治理问题，它讨论的是公司组织结构 和激励机制等问题。公司金融在国内往往 被译为公司财务，实际上其内容远远超出 了公司的财务问题。
常微分方程PPT讲稿
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
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例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
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§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
高等数学武大社教案08第八章常微分方程
第八章常微分方程一、教学目标1.熟悉微分方程的基本概念及其求解方程的基本思路；2.掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、常系数齐次线性微分方程的求解方法；3.了解高阶线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程的解法.二、课时分配本章节4共个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.可分离变量的微分方程；2.一阶线性微分方程的解法；3.可降阶的二阶微分方程；4.二阶常系数齐次线性微分方程.四、教学难点1.伯努利方程；2.齐次方程；3.二阶常系数非齐次线性微分方程.五、教学内容第一节微分方程的基本概念一、微分方程的引例【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程.【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件，得y′=x2.两边积分，得y=1/3x3+C.式中，C为任意常数.由于所求曲线过原点，即将y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲线方程为y=1/3x3.二、微分方程的基本概念1. 微分方程和微分方程的阶定义1 若在一个方程中涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程.定义2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.一般地,设x为自变量，y为未知函数，n阶微分方程有如下形式：F(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))=02.微分方程的解与通解定义3 某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程，满足微分方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解.若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数，则称此解为方程的通解. 当通解中各任意常数都取定值时所得的解，称为方程的特解. 用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件.一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解.【例3】验证函数y=C1e−x+C2xe−x是微分方程y″+2y′+y=0的通解，并求出满足初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2的特解.【解】容易求得y=C1e−x+C2xe−x的一阶导数和二阶导数为y′=(C2−C1)e−x−C2xe−xy′′=(C1−2C2)e−x+C2xe−x代入方程中，得(C1−2C2)e−x+C2xe−x+2[(C2−C1)e−x−C2xe−x]+C1e−x+C2xe−x=[(C1−2C2)+2(C2−C1)+C1]e−x+(C2−2C2+C2)xe−x≡0因此，y=C1e−x+C2xe−x是原微分方程的解.又因为其中含有两个独立的任意常数，因而是方程的通解.将初始条件y|x=0=4，y′|x=0=-2代入，可得C1=4，C2-C1=-2从而解出C1=4，C2=2因此，满足初始条件的特解为y=4e−x+2xe−x第二节一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程在一阶微分方程中，形如dy=f(x)∙g(y)的方程，称为可分离变量的方程.其中，函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)≠0.将方程变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式两边分别积分，得∫1dy=∫f(x)dx+C若设G(y)及F(x)依次为1/g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C可以证明，G(y)=F(x)+C就是两个方程的通解.值得说明的是，对方程求解时，总假设g(y)≠0.如果g(y)=0，则可由方程求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.综上所述，求解可分离变量的微分方程的步骤如下：(1) 分离变量；(2) 两边积分.【例1】求方程dydx =−xy的通解.【解】分离变量，得ydy=-xdx两边积分，得∫ydy=∫(−x)dx+C11 2y2=−12x2+C1所以通解为x2+y2=C(2C1=C)其中,C为任意常数.二、一阶线性微分方程如果一阶微分方程可化为y′+P(x)y=Q(x)(8-11)的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此方程为一阶线性微分方程.【例4】求方程(1+x2)y′−2xy=(1+x2)2的通解.【解】原方程可化为y′−2x1+x2y=1+x2所以原方程是线性非齐次的，即P(x)=−2x1+x2,Q(x)=1+x2对应齐次方程y′−2x1+x2y=0，分离变量，得dy dx =2x1+x2dx两边积分，得ln y=ln(1+x2)+ln C 所以齐次方程通解为y=C(1+x2)设y=C(x)(1+x2)，代入原方程，得C′(x)(1+x2)+2xC(x)−2x1+x2C(x)(1+x2)=1+x2整理得C′(x)(1+x2)=(1+x2)C′(x)=1C(x)=x+C由此得到原方程的通解为y=(x+C)(1+x2).第三节可降阶的高阶微分方程一、y″=f(x)类型的方程这种类型的方程特点是其左端为未知函数y的高阶导数，而右端不含y，两边积分得y′=∫f(x)dx+C1再积分，得方程通解y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2其中，C1,C2为任意常数.【例1】求方程y″=x+sinx满足初始条件y|x=0=1，y′|x=0=2的解.【解】对方程两端积分，得y′=12x2−cos x+C1将初始条件y′|x=0=2代入，得C1=3,即y′=12x2−cos x+3再次对方程两端积分，可得y=16x3−sin x+3x+C2将初始条件y|x=0=1代入，得C2=1.所以原方程解为y=16x3−sin x+3x+1二、y″=f(x,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含未知函数y，则可以通过变量代换，降为一阶微分方程求解.将y′看作未知函数p(x)，即令y′=p(x)，则y″=dp/dx，代入原方程得到关于x 和未知函数p(x)的一阶微分方程dpdx=f(x,p)设其通解为p=φ(x，C1)或y′=φ(x，C1),积分得原方程通解y=∫φ(x,C1)dx+C2三、y″=f(y,y′)类型的方程若二阶微分方程中不显含自变量x，此时可将y′看作未知函数p(y)，即令y′=p(y)，两边对x求导得y′′=dpdy∙dydx=pdpdy代入原方程得到关于y和未知函数p(y)的一阶微分方程p dpdy=f(y,p)设其通解为p=φ(y,C1)或dy=φ(y,C1)这是关于x和未知函数y(x)的可分离变量的一阶微分方程，若φ(y，C1)≠0，分离变量dyφ(y,C1)=dx 积分得原方程的通解∫dyφ(y,C1)=x+C2其中，C1,C2是任意常数.第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程通解的结构y′′+py′+qy=f(x)(p,q为常数)的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.定理1 (齐次线性方程解的叠加性)若函数y1，y2是齐次线性方程的两个解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)也是方程的解.定理2 (齐次线性方程通解的结构)若函数y1,y2是方程的两个线性无关的特解,则y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)是方程的通解.由此可见,求二阶常系数齐次线性方程通解的关键是求它的两个线性无关的特解.定理3 (非齐次线性方程通解的结构)设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,Y是对应的齐次方程的通解,则y=Y+y∗是非齐次方程的通解.定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和.二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法设二阶常系数齐次线性微分方程为y′′+py′+qy=0由于方程左端是未知函数y及y′，y″的线性代数和，所以函数y必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入左端整理后才可能为零.因此，我们猜测y=e rx可能是方程的解，其中常数r需要待定，它表示了该解的特征.将y=e rx，y′=re rx，y″=r2e rx代入方程(8-19)中，得(r2+pr+q)e rx=0.由于e rx≠0，所以r2+pr+q=0.若函数y=e rx是方程的解，则r必须满足方程，称方程为微分方程.【例1】求微分方程y′′−y′−2y=0的通解.【解】微分方程的特征方程为r2−r−2=0即(r+1)(r-2)=0其根为r1=-1，r2=2，故通解为y=C1e−x+C2e2x三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法1. f(x)=P m(x)eλx型其中，P m(x)为m次多项式P m(x)=a0x m+a1x m-1+…+a m-1x+a m，λ为常数.这时，微分方程为y″+py′+qy=P m(x)eλx.根据方程两端的特征，可以猜想方程有形如y*=Q(x)eλx的特解，其中Q(x)是需待定的多项式.将y*的一阶、二阶导数y*′，y*″及y*代入方程中，得Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).式的左端应是m次多项式.2. f(x)=eλx p m(x)cosωx或f(x)=eλx p m(x)sinωx型设方程y″+py′+qy=eλxpm(x)cosωx，或y″+py′+qy=eλx p m(x)sinωx.其中，p，q，λ，ω＞0均为常数，pm(x)为m次多项式，可以证明(从略)方程具有形如y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］.的特解，其中Q m(x)，R m(x)为待定m次多项式，而k的取值根据λ±iω是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0.【例4】求微分方程y″+5y′+4y=3-2x的特解.【解】与所给方程对应的齐次方程为y″+5y′+4y=0它的特征方程为r2+5r+4=0即(r+1)(r+4)=0它的根为r 1=-1，r 2=-4.因为所给方程中λ=0不是特征方程的根，而且P m (x)=3-2x 是一次多项式，所以它的特解应为y*=b 0x+b 1(也是一次多项式).将y*=b 0x+b 1，y*′=b 0，y*″=0代入原方程中，得5b 0+4b 1+4b 0x=3-2x比较两端同次项的系数，得{5b 0+4b 1=34b 0=−2解得b 0=−12,b 1=118，于是，所求特解为y ∗=−12x +118。
常微分方程课件
常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在物理、生物、经济等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。
二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，解的存在唯一性定理告诉我们，在一定条件下，该方程存在唯一的解。
这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理，该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么解是存在且唯一的。
三、常见的解法方法1. 可分离变量法：当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程，然后分别对x和y进行积分得到解。
2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。
通过找到一个合适的积分因子，将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x)，然后对两边进行积分得到解。
3. 齐次方程：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式，然后进行积分得到解。
4. 变量代换法：当方程形式复杂或者无法直接求解时，我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式，然后再进行求解。
四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。
以生物学为例，常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，从而帮助我们研究生物种群的动态变化。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律，从而帮助我们预测和分析经济现象。
武汉大学2016-2017学年第二学期《常微分方程》期末考试
u(t, x) = h(t − β, x) sin β dβ. 0
习题三 (30’). 假设 y(t) 满足非线性微分方程
y′′ = f (y),
(6)
其中 f (y) 是一个连续函数，它不依赖于 y′ 和 t. 假设 F (y) 满足
F ′(y) = f (y).
令 (i) 证明
E(t)
U (s, x) = A(s)e− sx + B(s)e sx,
其中 A(s), B(s) 为关于 s 的任意函数。
(iv) 利用 (i) 中的结论证明 B(s) = 0. 利用方程 (2) 求解 A(s).
(v) 假设已知
L
{ h(t,
} x) (s,
x)
=
√
e− sx.
证明方程 (1)-(4) 的解为
习题二 (50’). 利用 Laplace 变换求解如下热方程初边值问题
∂u
∂2u
∂t
(t,
x)
−
(t, ∂x2
x)
=
0,
t > 0, 0 < x < +∞,
(1)
u(t, 0) = sin t, t > 0,
(2)
u(0, x) = 0, 0 < x < +∞,
(3)
lim u(t, x) = 0, t ≥ 0.
(4)
x→+∞
假设 u(t, x) 是有界函数并且满足上述方程 (1)-(4)。给定 x 我们定义
{
}
U (s, x) = L u(t, x) (s, x) =
+∞ e−stu(t, x)dt.
0
即 L 是关于 t 的 Laplace 变换。在如下的讨论中我们始终假设 U 的定义域为 s > 0 以及 x ≥ 0.
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常微分方程讲义（九）
关于“差分方程”——
“差分”与“微分”的差异：t 的离散性与连续性
t y dt dy t ∆∆=→∆0lim t t y y y t
y
-=∆⇒∆∆+1
什么时候需要“差分”？当我们面对着固定了“期”的长度后的离散型随机变量时，怎么处理
“差分”与“微分”联系的紧密：高频数据的获取 差分方程的定义 差分方程的阶
k 阶：k 期时滞的相关性
回顾两类最常见的递推数列： 等比数列：
2，4，8，16，32，64，……
t t y y 21=+，且21=y
1
)2(2-⨯=t t y ，21)
21(21
--⨯==∑=t t
i i t y S
一般公式：1
1-=t t q
y y ，q q y y S t t
i i t --==∑=1)
1(11。
q 是公比。
等差数列：
2，4，6，8，10，12，……
21+=+t t y y ，且21=y )1(22-⨯+=t y t ，2
)(11
t
y y y S t t
i i t +=
=
∑= 一般公式：)1(1-+=t p y y t ，2
)(11
t
y y y S t t
i i t +=
=∑=。
p 是公差。
一阶线性齐次差分方程： 01=++t t ay y 一阶线性非齐次差分方程：b ay y t t =++1 一阶非线性差分方程： )1(1t t t y uy y -=+
二阶线性齐次差分方程： 011=++-+t t t by ay y 二阶线性非齐次差分方程：c by ay y t t t =++-+11
差分方程的特点：迭代性（递推性）
解差分方程也有特征方程与待定系数法。
由于不是常微分方程课程的主要内容，不赘述，有兴趣的同学请参阅相关文献。
迭代法：解差分方程的最原始、然而有时却可能是最有效的方法。
关于“一阶线性非齐次差分方程：b ay y t t =-+1”的解法
a
a b y a y t
t
t --+=110
蛛网模型（线性差分模型）
需求由本期价格决定，而本期价格决定下期的供给。
⎪⎩⎪
⎨⎧+-=-==-1t st
t dt st dt dP
c Q bP a Q Q Q ，其中0,,,>
d c b a b c a P b d P t t +=+
-1 )())((0d
b c
a b d d b c a P P t t +++-++-=⇒
令d b c a P ++=，则P b
d P P P t
t +--=))((0
结论分析：长期价格会否趋于定值？（即当+∞→t 时，t P 会否存在极限？）
t P 是振荡图形
当b d <，t P 衰减振荡，蛛网图形： 当b d =，t P 循环振荡，蛛网图形： 当b d >，t P 放大振荡，蛛网图形： 将t P 抽象为振子运动，则其时间路径为
收敛，图形：
简谐，图形： 发散，图形：
市场混沌的外部约束与金融监管的发展创新（非线性差分模型）
何谓混沌：中文的语意、数学的定义①、通俗的表达 为何在对现实情况进行分析时，要引入混沌理论？ 牛顿力学→拉普拉斯的机械决定论→混沌理论
天气预报长期预报的不可能性：股市走势能否预测？ 金融监管的规制效果：基于确定性模型的局限性
（一）)1(1t t t x ux x -=+的函数变化特性与图像：其中[]1,0∈x ，[]4,0∈u 。
（变量t x 在另一个变量u 引导之下的变化特性）
表1：u=4 表2：不同的u 导致的分岔情况 0 X 0=0.1 X 0=0.10000001 1 0.3600000000 0.3600000032 2 0.9216000000 0.9216000358 3 0.2890137600
0.2890136391
… … … 10 0.1478365599
0.1478244449
… … … 50 0.2775690810 0.4350573997 51 0.8020943862 0.9831298346 52 0.6349559274
0.0663422515
…
…
…
（二）)1(1t t t x ux x -=+模拟金融监管：其中[]1,0∈x ，[]4,0∈u 。
（市场秩序t x 在监管者努力u 的引导之下的变化特性） 第一步：量化u ；
第二步：量化x ；“市场有序”＝“)1,3.0(∈x ” 第三步：模拟。
结论：
当()1,0∈u 时，有1个稳定点n X ＝0，不属于区间()1,3.0，不符合要求；
当()3,1∈u 时，有1个稳定点n X ()667.0,0∈，有部分取值不落在区间()1,3.0内，不符合要求； 当()449.3,3∈u 时，有2个稳定点1n X ()85.0,667.0∈，2n X ()667.0,44.0∈均落在区间()1,3.0内，符合要求；
①
Li 和Yorke （1975）的定义：设I 为实数内的一个连续自映射，如果存在不可数集合S 属于I 且满足a ）S 不包含周期
点；b ）任给S 中的点X 1不等于X 2，有0)()(sup lim 21>-∞
→X f X f t t t 和0)()(inf lim 21=-∞
→X f X f t t t ；c ）任
给S 内的点X 与I 内的周期点P ，有0)()(sup
lim >-∞
→P f X f t t t ，则称该自映射是混沌的。
Devaney R L （1989）的定义：设X 是一个度量空间，一个连续的自映射称为X 上的混沌，如果它满足a ）拓扑传递；b ）周期点在X 中稠密；c ）具有对初始条件的敏感依赖性。
分岔情况 分岔值n μ
1－2 3 2－4 3.449487743 4－8 3.544090359 8－16 3.564407266 16－32 3.568759420 32－64 3.569691610 64－128 3.569891259 128－256 3.569934019 ……… ……… 周期解－混沌
3.569945672
当()544.3,449.3∈u 时，有4个稳定点1n X ()44.0,3365.0∈，2n X ()52.0,44.0∈，
3n X ()85.0,82.0∈，4n X ()883.0,85.0∈均落在区间()1,3.0内，符合要求；
当()57.3,544.3∈u 时，有稳定点不落在区间()1,3.0内，不符合要求； 当()4,57.3∈u 时，n X 进入混沌，与监管目标相悖，不予考虑。
因此，只有区间()544.3,3符合要求，它即监管的合理区间，当调控参数u 在该区间内任取一值时，都能保证任何初值的市场秩序经过多次迭代后步向有序。
简而言之，它从理论上预言了这样的一种可能性：任何市场秩序，都能通过监管的干预，最终实现有序。
以上差分方程为金融监管提供了新思路：
前瞻性 外生性 审慎性 时滞性
从“机械决定论”的一一对应：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t X X X u u u 2121，
过渡到“混沌论”的迭代对应：⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛tn t t n n t X X X X X X X X X u u u
2
1
22221
1121121。