复数的三角形式及运算

（3）2 2i
（5） 7
（7） 3 i
（9） 6i
（2）10
（4） 5i
（6） 1 3i
（8） 8
（10） 3 3i
作业: 求下列复数的模和幅角主值：
（1） 2i （2） 5
（3） 3 3i 1 （4） i
(5) 5 (6) 3i 1
复数的三角形式
由右图可以看出，对于复数Z a bi 有
r1 r2
[cos(1
2
)
i
sin(1
2
)]
这就是复数三角形式的除法法则，即：
模数相除，幅角相减
例 计算下列各式
(1) 6(cos4 i sin 4 ) 2(cos5 i sin 5 )
3
3
6
6
(2) 3(cos270 i sin 270) 1 [cos(90) i sin(90)] 3
时，则有
[(cos i sin )]n cos n i sin n
这个公式叫做棣美弗公式。
例 计算下列各式：
（1） 2(cos i sin ) 3(cos5 i sin 5 )
12 12
6
6
（2） 3(cos i sin ) 7(cos3 i sin 3 )
6
6
4
4
（3）[2(cos i sin )]4
作业：
1、将下列复数化为三角形式
(1) z1 3i (2) z2 2 2i
(3) z3 6
(4)
z4
5 2
2、将下列复数化为代数形式
(1)
z1
3(cos
6
i
sin
6
)
(2)
(3) z3 3[cos( 2 ) i sin( 2 )]
(4) z4 5(cos72 i sin 72)
z2
（2）规定，满足条件 的幅角 叫做幅角的主值。通常记为arg Z ，
即 arg Z 。
（3）对于复数0，它所对应的向量缩成一个点（零向量）， 这样的向量没有确定的方向，所以复数0没有确定的幅角。
坐标轴上的复数的幅角主值
设a 是一个正实数，那么有：
1、复数a 是正实数，它对应的点在实轴的正半轴上，
（1） 3i
（3）2 2i
（5） 7
（7） 3 i
（9） 6i
（2）10
（4） 5i
（6） 1 3i
（8） 8
（10） 3 3i
复数的幅角
把从 ox 轴的正半轴到向量OM 的角
叫做复数Z a bi 的幅角（如图）
说明：
（1）不等于0的复数的幅角 有无数 多个，这些值相差 2 的整数倍。
（2）10
（4） 5i
（6） 1 3i
（8） 8
（10） 3 3i
例 将下列复数的三角形式转化为代数形式
（1）
10(c
os
3
i
sin
3
)
（2） 14(cos7 i sin 7 )
5
5
（3） 8 ∠ 30
（4）58 ∠ 68
（5）4(cos5 i sin 5 )
6
6
（6） 15 ∠ 36
(3) [ 2(cos i sin )]12
6
6
巩固练习：
（1）12(cos7 i sin 7 ) 6(cos2 i sin 2 )
4
4
3
3
（2）8(cos
2
3
i sin
2
3
)
2(cos
6
i sin )
6
（3） [2(cos 50 i sin 50 )]4
（4）[cos( ) i sin( )]8
4
4
课堂小结
1、复数的模r a bi a2 b2
2、复数的幅角及幅角主值 arg Z 3、复数的三角形式 r(cos i sin )
4、复数三角形式与代数形式的互化 5、复数三角形式的乘法法则：模数相乘，幅角相加 6、复数三角形式的乘方法则：模数乘方，幅角 n 倍 7、复数三角形式的除法法则：模数相除，幅角相减
3 2
复数三角形式的乘法
设 Z1 、Z2的三角形式分别是： Z1 r1 (cos1 i sin1 ) Z2 r2 (cos2 i sin2 )
于是 Z1 Z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 ) r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
即是说，两个复数相乘，积还是一个复数，它的模 等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角 的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：
模数相乘，幅角相加
复数的三角形式乘法法则有如下推论
（1）有限个复数相乘，结论亦成立。即 Z1 Z2 Zn r1(cos1 i sin1) r2 (cos 2 i sin 2 ) rn (cosn i sin n ) r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]
(4) [3(cos i sin )]6
6
6
(5) [2(cos 36 i sin 36)]5
复数三角形式的除法
设有复数 Z1 r1(cos1 i sin1)，Z2 r2 (cos2 i sin2 ) ，
且设 Z 2 0 ，那么
Z1 Z2
r1 (cos1 i sin1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
OM 表示（如图）
把向量 OM 的长度 r 叫做复数的模数，
简称模（或绝对值）， 记作 或a bi Z
由直角三角形的知识可得：
Z a bi r a2 b2
Z a bi a2 b2
Z Z r
且有 Z Z (a bi)(a bi) a2 b2 Z 2 Z 2
例 求下列复数的模（或绝对值）
所以 arg（a） 0
2、复数 a 是负实数，它对应的点在实轴的负半轴上，
所以 arg(a)
3、复数 ai 是纯虚数，它对应的点在虚轴的正半轴上， 所以 arg(ai)
2
4、复数 ai 是纯虚数，它对应的点在虚轴的负半轴上，
所以 arg(ai)
2
例 求下列复数的幅角主值：
（1） 3i
（2）当 Z1 Z 2 Z n Z 时，即 r1 r2 rn r , 1 2 n ，有
Z n [r(cos i sin )]n r n (cos n i sin n )
这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，幅角 n 倍
在复数三角形式的乘方法则中，当 r 1
a r cos
b
r
sin
所以a bi r cos ir sin r(cos i sin )
其中，r为复数的模，为复数的幅角。
定义：把r(cos i sin ) 叫做复数的三角形式
为了同三角形式相区别，把 a bi 叫做复数的代数形式
说明
1、在电工学中，可以将复数的三角形式写成：r∠ ， 即 r ∠ r(cos i sin )
3
3
（4）(cos 36 i sin 36)5
巩固练习：
(1) 8 (cos i sin ) 2(cos i sin )
44
66
(2) 2 (cos4 i sin 4 ) 4 (cos5 i sin 5 )
3
3
6
6
(3) 3(cos18 i sin18) 2(cos 54 i sin 54) 5(cos108 i sin108 )
2、在复数的三角形式中，幅角 的值可以用弧度表示，
也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加
2k 或 k 360（ k 为整数）。但为了简单起见，复
数的代数形式化为三角形式时，一般将 写成主值。
例 将下列复数转化为三角形式：
（1） 5i
（3百度文库2 2i
（5） 20
（7） 3 i
（9） 6i
任务目标
知道复数的模和幅角的定义 会求复数的模和幅角主值 能求出复数的三角形式 会进行复数三角形式的乘除运算
学习内容
复数的模的定义 复数的幅角的定义 复数的模和幅角主值的求解 复数的三角形式及其求解 复数三角形式的乘法 复数三角形式的除法
复数的模
由于不等于0的复数z a bi 可以用向量
作业：
(1) 1 (cos i sin ) 6(cos i sin )
23
3
6
6
(2) 8(cos i sin ) 2(cos2 i sin 2 )
3
3
(3) [2(cos 60 i sin 60)] 3
(4) [cos( ) i sin( )]16
8
8