第7章标准期权定价方法

股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年， 无风险利率为2%。计算欧式期权的 值。
解：无风险利率每增加 0.2
d2 d1 T 0.2 0.2 1 0
N (d2 ) N (0) 0.5
是期权价值对无风险利率求一阶偏导数。
r cE

cE r
TXerT N (d2 ) 0
r pE

pE r
TXerT N (d2 ) 0
欧式看涨期权的Rho值大于零，看跌期权的 Rho值小于零。无风险利率增加，看涨期权的 价值增加，看跌期权的价值降低。
例题7-3 计算不派息股票欧式期权的 值
7.2.1 标的资产价格的变化
希腊字母 (Delta)是期权的价值对标的资产求一阶
偏导数，表示期权的价值与标的资产价值关系曲线的 斜率。 Delta值越大，衍生证券价值的变化对标的资 产的变化越敏感。下面仅介绍派息股票欧式期权的 Delta值。 （1） 派息率为 q 股票（或股票指数）欧式期权的 Delta值 派息率为 q 股票指数欧式看涨期权的 值为：
cE erT [FN (d1) XN (d2 )]
pE erT [ XN (d2 ) FN (d1)]
作者（2008）认为美式期货期权定价模型为：
cA FN (d1) XN (d2 )
pA XN (d2) FN (d1)
其中
d1

ln( F
/
X)

利率减去外币无风险利率。Garman和 Kohlhagen(1983) 以及Biger和Hull（1983）提出欧 式外汇期权定价模型。
cE Serf T N (d1) XerdT N (d2 )
pE XerdT N (d2 ) Serf T N (d1)
作者（2009）认为美式外汇期权定价模型为：
cE SN (d1) XerT N (d2 )
pE XerT N (d2 ) SN (d1)
作者（2006）认为不派息美式期权的价值是欧式期权 价值的erT 倍。
cA SerT N (d1) XN (d2 )
pA XN (d2 ) SerT N (d1)
r cE

XTerT N(d2) 101 e0.021 0.5 5.10
7.2.5 收益变化对期权价值的影响
美式期权价值对收益率变化的偏导数为：
q cE

cE q
TSeqT N (d1) 0
q pE

pE q
TSeqT N (d1) 0
cE

cE S
eqT N (d1) 0
pE

pE S
eqT N (d1) 0
其中：
N(d1)
1
d1
e

x2 2
dx
2
欧式看涨期权的Delta值大于零，表示标的资产价格越 大，欧式看涨期权的价值越大
欧式看跌期权的Delta值小于零，表示标的资产价格越 大，欧式看跌期权的价值越小。
如果标的资产价格增加1元，欧式看涨期权价格上涨
cE ，欧式看跌期权下跌 pE 元。 美式期权也有类似的性质。
例题7-1 计算不派息股票欧式看涨期权的 值
股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年， 无风险利率为2%。求欧式看涨期权的 值。
cA Se(rd rf )T N (d1) XerdT N (d2 )
pA XN (d2 ) Se(rd rf )T N (d1)
其中：
d1

ln(S / X ) (rd

rf T
2 / 2)T
d2 d1 T
7.1.4 期货期权定价
根据风险中性假设，Black (1976)给出欧式期货期权 定价模型。
（2）派息率为 q 股票指数欧式看跌期权的 值
pE

Se
qT
n(d1
)

2T
qSeqT N (d1) rXerT N (d2 )

看跌期权的 值也由三部分组成，第一项为正，随着
期权期限的延长，波动率会引起看跌期权价值的增加。
如果标的资产派息，标的资产的现值下降，看跌期权
的重要指标。
cE

dcE / cE dS / S
cE
S cE

e qT
N
(d1)
S cE
1
pE
dpE / pE dS / S
pE
S pE

eqT
N (d1)
S pE
1
如涨果期权cE的价15值%上，涨相1当5于%标。的资产每增加1%，欧式看
看涨期权价值的变化方向与标的资产的变化方向相同。
期权价值对标准差求一阶偏导数。
E SeqT n(d1) T
根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，看涨期权
和看跌期权的 值相等。
期权的值为正，说明无论是看涨期权还是看跌期权， 波动率越大，期权的价值越大。因为标的资产的波动 越大，标的资产的到期价格上涨（或下降）越大，看 涨(或看跌)期权的价值越大。
解：股票价格每增加1元，欧式看涨期权的价值增加
0.391元；相反股票价格下跌1元，期权的价值也下跌
0.391元。
d1

ln( S
/
X
)

(r
T
2
/
2)T
ln(10 /10) (0.02 0.22 / 2) 1 0.2 0.2 1
cE N (d1) N (0.2) 0.391
n(d1)
d1 0.2
1
d12
e 2 0.1561
2
E

n(d1)
S T
0.1561 10 0.2
0.078 1
（2） 外汇欧式期权的 值
E

erf T n(d1)
S T

（3）期货欧式期权的 值
E

erT n(d1)
S T
7.2.4 利率变化对期权价值的影响 利率变化对期权价值的影响用 r（Rho）表示，
作者（2008）认为美式期权定价模型为：
cA Se(r q)T N (d1) XN (d2 )
pA XN (d2 ) Se(rq)T N (d1)
d1

ln(S
/
X
)
(r

q T


2
/
2)T
d2 d1 T
7.1.3 外汇期权定价 根据风险中性定价原则，外汇预期收益率等于本币无风险
cE

SeqT
n(d1)

2T
qSeqT N (d1) rXerT N (d2 )
看涨期权的 值由三项组成。第一项表示期权的期限 越长，波动率会越大，期权的价值上升。第二项可正 可负，当标的资产派息时，第二项为负，期权的价值 下降。当标的资产需要支付持有成本时，第二项为正， 看涨期权的价值增加。第三项为正，表示时间越长执 行价格越小。
(
T
2
/
2)T
d2 d1 T
7.2 欧式期权风险度量
影响欧式期权价值的因素有六个，即标的资产
的当前价格 S 、期权的执行价格 X 、到期时
间 T 、无风险利率 r 、标的资产对数收益率 的标准差 和标的资产的收益率q 。如果执 行价格为常数，我们想知道当五个因素变化时， 期权的价值如何变化。欧式看涨和看跌期权定 价模型对五个因素求偏导，就可以考察五个因 素变化对期权价值的影响。
看涨期权价值的变化与收益率的变化方向相反，也就 是说收益率越高，标的资产的现值越小，看涨期权的 价值越小。
看跌期权价值的变化与收益率的变化方向相同，也就 是说收益率越高，标的资产的现值越大，看跌期权的 价值越大。
7.2.6 波动率变化对期权价值的影响
波动率变化对期权价值的影响用 （Vega）表示。是
7.3 美式期权风险度量
由于美式期权是欧式期权的 erT 倍，标的资产价格对
美式期权价值的影响 、期权价值变化率 、 对标
（2） 欧式外汇期权的 值
cE erf T N(d1) 0
pE erf T N(d1) 0
（3）欧式期货期权的 值
cE erT N(d1) 0
pE erT N(d1) 0
7.2.2 期权价格变化百分比
期权的 （Eta）值是期权价格的变化率与标的资产价 格变化率之比，是反映标的资产风险对期权风险影响
第7章 标准期权的定价方法
期权的定价关系给出了期权价值的上下限，并 没有给出期权的精确价值。本章将给出股票期 权、外汇期权、期货期权定价模型，它们的推 导过程在以后章节介绍。
7.1 期权定价模型 7.1.1 不派息股票期权定价 有很多股票不派息，对于不派息股票期权定价
使用Black-Scholes(1973)期权定价模型。 因为标的资产股票不派息，股票的预期增长率 等于无风险利率。欧式期权定价模型为：
当期权盈亏平衡时， 达到最大值，也就是说平价期 权最难套期保值。
例题7-2 计算不派息股票欧式期权的 值
股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年， 无风险利率为2%。计算欧式期权的 值。
解：股票价格每增加1元，参数 增加0.078。