基本不等式练习题及答案

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1

x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab

≤2；③x 2＋1

x 2＋1≥1，其中正确的个数是

( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1

2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋

1

x －2

(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t 的最小值为________．

考向一 利用基本不等式求最值

【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝

2x

x 2＋1

的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋

1

x －1

的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2

5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．

(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

考向二 利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c . ．

【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1

c ≥9.

考向三 利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x

x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是

________．

【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．

考向三 利用基本不等式解实际问题

【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝

80

n ＋1

.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1

ab ＋1

a (a －

b )

的最小值是( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

双基自测

D ．(2，＋∞) 答案 C

2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋

1x 2＋1＝(x 2

＋1)＋1x 2＋1

－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1

2.答案 A

4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1

x －2＋2≥2

(x －2)×1

x －2

＋2

＝4，当且仅当x －2＝

1

x －2

(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C

5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋

1

t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2

【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，

∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x

y 时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝

2x x 2＋1

＝2x ＋1x

≤22＝1，当且仅当x ＝

1

x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1

【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋

1

x －1

＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜2

5，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝

⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22

＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8

x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4y x ＋x y ≥10＋2×2×

4y x ·x

y ＝18，

当且仅当4y x ＝x

y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. 答案 (1)3 (2)1

5 (3)18

【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca

b ≥2 b

c a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab

c ≥2

bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2

ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c .