卡尔曼滤波器及matlab代码

信息融合大作业

——维纳最速下降法滤波器，卡尔曼滤波器设计及Matlab仿真

时间：2010-12-6

专业：信息工程

班级：09030702

学号：71

姓名：马志强

1.滤波问题浅谈

估计器或滤波器这一术语通常用来称呼一个系统，设计这样的系统是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的，接近规定质量的信息。由于这样一个宽目标，估计理论应用于诸如通信、雷达、声纳、导航、地震学、生物医学工程、金融工程等众多不同的领域。例如，考虑一个数字通信系统，其基本形式由发射机、信道和接收机连接组成。发射机的作用是把数字源(例如计算机)产生的0、1符号序列组成的消息信号变换成为适合于信道上传送的波形。而由于符号间干扰和噪声的存在，信道输出端收到的信号是含有噪声的或失真的发送信号。接收机的作用是，操作接收信号并把原消息信号的一个可靠估值传递给系统输出端的某个用户。随着通信系统复杂度的提高，对原消息信号的还原成为通信系统中最为重要的环节，而噪声是接收端需要排除的最主要的干扰，人们也设计出了针对各种不同条件应用的滤波器，其中最速下降算法是一种古老的最优化技术，而卡尔曼滤波器随着应用条件的精简成为了普适性的高效滤波器。2．维纳最速下降算法滤波器

最速下降算法的基本思想

考虑一个代价函数，它是某个未知向量的连续可微分函数。函数

将的元素映射为实数。这里，我们要寻找一个最优解。使它满足如下条件

这也是无约束最优化的数学表示。

特别适合于自适应滤波的一类无约束最优化算法基于局部迭代下降的算法：

从某一初始猜想出发，产生一系列权向量，使得代价函数在算法的每一次迭代都是下降的，即

其中是权向量的过去值，而是其更新值。

我们希望算法最终收敛到最优值。迭代下降的一种简单形式是最速下降法，该方法是沿最速下降方向连续调整权向量。为方便起见，我们将梯度向量表示为

因此，最速下降法可以表示为

其中代表进程，是正常数，称为步长参数，1/2因子的引入是为了数学上处理方便。在从到的迭代中，权向量的调整量为

为了证明最速下降算法满足式，在处进行一阶泰勒展开，得到

此式对于较小时是成立的。在式中设为负值向量，因而梯度向量也为负值向量，所以使用埃尔米特转置。将式用到式中，得到

此式表明当为正数时，。因此，随着的增加，代价函数减小，当时，代价函数趋于最小值。

最速下降算法应用于维纳滤波器

考虑一个横向滤波器，其抽头输入为，对应的抽头权值为。抽头输入是来自零均值、相关矩阵为的广义平稳随机过程的抽样值。除了这些输入外，滤波器还要一个期望响应，

以便为最优滤波提供一个参考。在时刻抽头输入向量表示为，滤波器输出端期望响应的估计值为,其中是由抽头输

所张成的空间。空过比较期望响应及其估计值，可以得到一个估计误差，即

这里是抽头权向量与抽头输入向量的内积。可以进一步表示为

同样，抽头输入向量可表示为

如果抽头输入向量和期望响应是联合平稳的，此时均方误差或者在时刻的代价函数是抽头权向量的二次函数，于是可以得到

其中，为目标函数的方差，抽头输入向量与期望响应的互相关向量，及为抽头输入向量的相关矩阵。从而梯度向量可以写为

其中在列向量中和分别是代价函数对应第个抽头权值的实部和虚部的偏导数。对最速下降算法应用而言，假设式中相关矩阵

和互相关向量已知，则对于给定的抽头权向量为

它描述了为那滤波中最速下降法的数学表达式。

3.卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波器的基本思想

卡尔曼滤波器是用状态空间概念描述其数学公式的，另外新颖的特点是，他的解递归运算，可以不加修改地应用于平稳和非平稳环境。尤其是，其状态的每一次更新估计都由前一次估计和新的输入数据计算得到，因此只需存储前一次估计。除了不需要存储过去的所有观测数据外，卡尔曼滤波计算比直接根据滤波过程中每一步所有过去数据进行估值的方法都更加有效。

+ +

图线性动态离散时间系统的信号流图表示

“状态”的概念是这种表示的基础。状态向量，简单地说状态，定义为数据的最小集合，这组数据足以唯一地描述系统的自然动态行为。换句话说，状态由预测系统未来特性时所素要的，与系统的过去行为有关的最少的数据组成。典型地，比较有代表性的情况是，状态是未知的。为了估计它，我们使用一组观测数据，在途中用向量表示。成为观测向量或者简称观测值，并假设它是维的。

在数学上，图表示的信号流图隐含着一下两个方程：

(1)过程方程

式中，向量表示噪声过程，可建模为零均值的白噪声过程，且其相关矩阵定义为

(2)测量方程

其中是已知的测量矩阵。向量称为测量噪声，建模

为零均值的白噪声过程，其相关矩阵为

测量方程确立了可测系统输出与状态之间的关系，如图所示。新息过程

为了求解卡尔曼滤波问题，我们将应用基于新息过程的方法。根据之前所述，用向量表示时刻到时刻所有观测数据过去值给定的情况下，你时刻观测数据的最小均方估计。过去的值用观测值表示，他们张成的向量空间用表示。从而可以定义新息过程如下：

其中向量表示观测数据的新息。

应用新息过程进行状态估计

下面，我们根据信息过程导出状态的最小均方估计。根据推导，这个估计可以表示成为新息过程序列的线性组合，即

其中是一组待定的矩阵。根据正交性原理，预测状态误差向量与新息过程正交，即

将式代入式，并利用新息过程的正交性质，即得

因此，式两边同时右乘逆矩阵，可得的表达式为

最后，将式带入式，可得最小军方差估计

故对于，有

然而，时刻的状态与时刻的状态的关系式由式可以推导出对于，有

其中只与观测数据有关。因此可知，与彼此正交(其中)。利用式以及当时的计算公式，可将式右边的求和项改写为

为了进一步讨论，引入如下基本定义。

卡尔曼增益

定义矩阵

其中是状态向量和新息过程的互相关矩阵。利用这一定义和式的结果，可以将式简单重写为

式具有明确的物理意义。它标明：线性动态系统状态的最小均方估计

可以由前一个估计求得。为了表示对卡尔曼开创性贡献的认可，将矩阵称为卡尔曼增益。

现在剩下唯一要解决的问题是，怎样以一种便于计算的形式来表示卡尔曼增益。为此，首先将与乘积的期望表示为