第三节、期权套期保值

The geometric interpretation of the partial derivative
Option Price and Delta
2、The Gamma
Gamma()表示当期权标的物价格发生很小变动时，对期
权delta变化的影响程度。
例如一个期权的 gamma是 0.1，说明标的物价格上升
1$，期权的delta上升0.1。
一般地，
Γ Δ 2C S S2
• 无收益资产欧式看涨和看跌期权的gamma为（long position）：
Δ 2C Γ
N ' (d1)
S S2 (fSor cTallt and put options)
根据计算公式，平价期权Gamma最大，同时，当有效期 很短时[（T-t）越小， Gamma越大）
因为F = Se (r -q)(T-t)
• 证券组合的delta
n
Δ wii i1
Where wi denotes the weight coefficient of the ith asset, and i denotes the delta of ith asset.
当一个证券组合的delta为0时，我们称之为 delta 中性组合


C r

K

(T

t)er(T t) N (d2
)
这两个公式对于支付连续收益率和期货期权同样适用（对 N(d2)做适当的调整即可）
• 对应于国外利率的欧式外汇看涨期权的Rho 为： • 对应于国外利率的欧式外汇看跌期权的Rho 为：


C r

S
(T

t)erf
(T t) N (d1 )
1、 The Delta (∆)
• 有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的delta 为：
for call option：
Δ

C S

eq(T t) N (d1)
Δ

C S

eq(T t)[(N (d1)
1]
for put option：
• 期货欧式看涨和看跌期权的delta 为：
for call option： for put option：
∆问c(题S,K：,τ你,σ应, r)当=购0.5买54多. 少份股票可实现Delta 套期保值? 设们这我选样n们我s 购，们买使n应sn得×当s 股：1购+票(买−,10因).×为550股4.5份票54股的=票∆0 是. 1, 对于Delta 套期保值,我
Question: Can we use a bond to Delta-hedge an option?
常用的“Greeks”有： delta (∆), gamma ( Γ), vega (Λ), 和 theta (θ)，pho
1、 The Delta (∆)
• Delta(∆)表示期权标的物价格的变动对期权价格的影响程度。 例如一个期权的delta 是 0.5，说明标的物价格上升1$，期权 价格上升50 美分。
的。在Delta hedging的基础上，再进行Gamma hedging 可以改进 hedging的质量。
为此，我们应用Taylor expansion:
( C(S

δS)

C(S)

ΔCδS

1 2
ΓC
s)2
0.554 ΔS 1 0.0361 (S)2 2
购买0.554份股票可以帮助我们保值第一项，但不能保值第二项，Gamma
一般地，
Δ C S
• 无收益资产欧式看涨和看跌期权的delta 为：
Δ

C S

N (d1 )
Δ

C S

N (d1)
1
• 无收益资产欧式看涨期权的delta : 0 <∆<1 ，
无收益资产欧式看跌期权的delta: -1 <∆<0
• 无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权 的delta也越高。（根据N(d1)的公式分析）。
Example
Large change:
当S从50 to 60, 根据 B-S公式，看涨期权空头的价值变化（减少了）为： $11.577-4.492=$7.09,股票的价值则上升了 5.54 ，总的损失为 ： $7.09-
5.54=$1.55 ,是股票价格变化的15.5%.
从上例可以看出， Delta hedging的效果只有在股票价格变化微小时才是好
• Rho与权利期间有关，且同方向变化。一般权利期间越长， Rho的绝对值越大，权利期间越短， Rho的绝对值越小；在 到期日， Rho为0。
其它资产的Rho
• 标的资产本身的Rho为0（认为标的资产与利率无关） • 标的资产远期合约的Rho为:
rho=(T-t) Ke-r(T-t) [f = S- Ke-r(T-t) ， f =(S-I)-Ke-r(T-t) f = Se - q(T-t) – Ke - r(T-t) • 对各种期货的Rho为： rho=(T-t)F ( F = Ser(T-t) ，F =(S-I)er(T-t) ，F = Se (r -q)(T-t）) 当一个证券组合的Rho为 0时，我们称之为 Rho中性组合
Δ

C S

er(T t) N (d1)
Δ

C S

er(T t)[(N (d1)
1]
∆ 0，期权价格与标的物价格同向变动 ∆ 0，期权价格与标的物价格反向变动
-1 ∆ 1，期权价格变动小于标的物价格变动
其它资产的delta
• 标的资产本身的delta为1 • 债券的delta为0（假设与股票市场无关） • 股票远期合约的delta：
2、The Gamma
• 有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Gamma 为：
Γ

Δ S

2C S2

N ' (d1)eq(T t) S T t
• 期货欧式看涨和看跌期权的Gamma 为：
Γ

Δ S

2C S2

N ' (d1 )er(T t)
S T t
(for call and put option)
underlying Asset Price • A negative gamma example
Negative Gamma
Underlying Asset Price
3、Vega
Vega反映标的物价格的波动性对期权价格的影响程度，即标 的资产的价格波动性的微小变化导致期权价格的变化。
例如，一个期权vega 是2，则说明当标的资产的价格波动性 增加1%，期权的价格增加2美分。
A2 S

n3
A3 S
• 对于标的资产价格 S的一个微小变化，组合价值基本上为常
数的基本条件为：
例如，卖δV出≈∆股po票rtfo的lio 一δS份=0看涨期权，假设 S=50, K=50, T=10weeks (time to maturity), σ=0.5,and r=0.03, 则：
无收益资产与支付已知现金收益资产的delta为1，因为： f = S- Ke-r(T-t) ， f =(S-I)-Ke-r(T-t)
Δ f 1 S
对于支付已知收益率的资产，其股票远期合约的delta为： e - q(T-t)，因为 f = Se - q(T-t) – Ke - r(T-t) • 对各种期货的delta 无收益资产与支付已知现金收益资产，其期货的delta为e r(T-t) ， 因为：F = Ser(T-t) ，F =(S-I)er(T-t) 对于支付已知收益率的资产，其期货的delta为： e (r– q）(T-t)


C r

S
(T

t)erf
(T t) [1
N (d1 )]
Rho的特点
• 看涨期权的Rho一般为正，看跌期权的Rho一般为负（说明 利率对看涨期权的价格有正的影响，对看跌期权有正负的影 响）；
• Rho与S-X有关，一般越是实值的期权， Rho的绝对值越大， 越是虚值的期权， Rho的绝对值越小；
• 债券的Vega为0 当一个证券组合的vega为0时，我们称之为vega中性组合
4、Rho
• Rho反映的是利率变化对期权价格的影响程度。其计算公
式为：
•
无收益资产欧式看涨期权的Rho
为


C r
K (T
t)er(T t) N (d2 )
• 无收益资产欧式看跌期权的Rho 为：
一般地，
Λ C σ
当一个证券组合的vega为 0时，我们称之为 vega 中性组 合
Vega的计算
• 无收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega 为
C S
T tN ' (d1)
• 有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega为：
C S
T t N ' (d1)eq(T t)
因为各类资产的远期合约价值均与与标准差无关 f = S- Ke-r(T-t) ， f =(S-I)-Ke-r(T-t) f = Se - q(T-t) – Ke - r(T-t)
• 对各种期货的Vega为0 因为各类资产的期货价值均与与标准差无关： F = Ser(T-t) ，F =(S-I)er(T-t) ，F = Se (r -q)(T-t）
• Example（ previous example ）
1份看涨期权的空头+ 0.554 份的股票，此组合为Delta hedged. 我 们看一下股票价格的不同变化对组合的影响。
Small change:
当S 从 50 to 51,根据 B-S公式，看涨期权空头的价值变化（减少了） 为： $5.064-4.492=$0.572,股票的价值则上升了 0.554 ，总的损失为 ： 0.572-0.554=$0.018,仅是股票价格变化的1.8% .
行套期保值。 例如，可以用3个资产构成的组合对股票价 格和利率两个风险因子进行套期保值。
（2）Delta套期保值
• 含义：当一个组合的∆为0时，称为 ∆套期保值的组合。例如,
可以用3个资产构成的组合对股票价格和利率两个风险因子
进行套期保值。
portfolio
V S

n1
A1 S
n2
• 其它资产的Gamma
标的资产、债券、远期合约、期货的Gamma 值均为0（根 据它们的delta 值求得）
当一个证券组合的为Gamma 0时，我们称之为 Gamma中性组 合
The curvature of the curves in the figures
• A positive gamma example Positive Gamma
(3) Gamma 套期保值
• 含义：当一个组合的Γ为0时，称为 Γ套期保值的组合。例如, 3个资产 构成的组合，其Γ值为：
Γ portfolio

2V S2

ΔBaidu Nhomakorabeaportfolio S

n1
Δ1 S

n2
Δ2 S

n3
Δ3 S
n1Γ1 n2Γ2 n3Γ3
• 如果一个组合已经delta-hedged，即S的微小变化，其价值基本上是常数， 为什么还需要Gamma-hedge ？
第三节、期权对价格变化的敏感性指标 (The “Greeks”) 及期权套期保值
一、期权对价格变化的敏感性指标(The “Greeks”)
期权价格的敏感性（“Greeks”）是指期权价格决定因 素的变动对期权价格的影响程度，即当影响期权价格 因素发生一个微小变化时，期权价格的变动程度，或 是期权价格对其决定因素变动的反应程度。
• 期货欧式看涨和看跌期权的Vega 为：
C S
T t N ' (d1)er(T t)
(for call and put option)
当一个证券组合的vega为 0时，我们称之为 vega 中性组 合
其它资产的Vega
• 标的资产本身的Vega为0（认为标的资产与标准差无关） • 标的资产远期合约的Vega为0
二. Greeks 在风险管理中的应用
（1）一般方法 组合套利的基本思想是组合的净值必须与风险因子（如标的
资产的价格）之间没有敏感性。 如果我们的证券组合由三个资产组成， 记：
V：证券组合的价值； ni ：第i个资产的数量 Ai ：第i个资产的市场价值
化影保时响值，资的证产目券价标组格是合的求的因n价素i ，值x变使不化得变时当。，影即证响，券资求组产n1合价, n的格2 a价的nd值因n基素3 ，本发使不生得变变当。 一般地，我们可以用n 个资产构成的组合对n-1个风险因子进