高中数学概率与统计知识点

.

高中数学之概率与统计

求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

card(A)

m

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝card(I)

＝n; 等可能事件概率的计算步骤：计算

一次试验的基本事件总数n;

设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m;

m

P(A)

n求值;依公式

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);

特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);

特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝

kknk

C n p(1p).其中P为事件A在一次试验中发生的

概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

等可能事件

互斥事件

独立事件

n次独立重复试验

第一步，确定事件性质

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

和事件

积事件

第二步，判断事件的运算

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

等可能事件: P(A) m

n

互斥事件：P(AB)P(A)P(B)

独立事件：P(AB)P(A)P(B)

第三步，运用公式n次独立重复试验:P(k)Cp(1p)求解

kknk

nn

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．

P

1

C33

3

3

54

C10

5

.

2[解答过程]0.3提示:

例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，...

. 则指定的某个个体被抽到的概率为．

1

. [解答过程

]20提示: P

51

10020

.

例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）

[考查目的]本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决

问题的能力，以

及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

3324455

C50.800.20C50.800.20C50.800.94.

故填0.94.

离散型随机变量的分布列

1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连

续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1，x，⋯，

2 x

i

，⋯⋯，取每一个值x i（i1，

2，⋯⋯）的概率P（x i）= P，则称下表.

i

xx2⋯x i⋯

1

PP1P2⋯P i⋯

为随机变量的概率分布，简称的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：

（1）P0，i1，2，⋯;（2）

i P⋯=1. 1P

2

②常见的离散型随机变量的分布列：

（1）二项分布

n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，⋯

n，并且

kknk

P k P(k)Cpq，其中0kn，q1p，随机变量的分布列如下：

n

01⋯k⋯n

P

00n11n1

C n pqC n pq⋯C

kkn

n pq

k n

n

C

n0

pq

称这样随机变量服从二项分布，记作~B(n,p)，其中n、p为参数，并记

：

kknk

Cpqb(k;n,p)

n.

（2）几何分布

...

.

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散

型随机变量，“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量的概率分布为：

123⋯k⋯Ppqp

2

qp⋯

k1

qp⋯

例1．

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机

抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行

检验,求至少有1 件是合格的概率；

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件. 都进行

检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数

的分布列及期望E,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有

4 PA1PA10.20.9984

（Ⅱ）可能的取值为0,1,2．

P0

2

C

136 17

2

C，

190 20

P1

11 CC51 317

2

C190，

20

P2

2

C

3

2

C

20

3

190

012

P

136

190

51

190

3

190

E 1365133

012

19019019010 ．

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

P1PB1 13627

19095

．

27

95．所以商家拒收这批产品的概率为

例12．

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考

核

，

否则即被