第八章空间解析几何与向量代数PPT课件
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x 2 y 2 a 2 x 2 z 2 a 2
例4．如果空间一点M在圆柱面
x2 y2 a2 上以角速度 绕Z
轴旋转，同时又以线速度V沿平行
于Z轴的正方向上升（其中 , v
都是常数），那么点M构成的图形
叫做螺旋线，试建立其参数方程。
例5．将曲线
x2 y2 z2 9 yx
化成参数方程。
0z a2x2y2
与圆柱体 x2y2axa0
的公共部分在 x o y 面和 xoz 面
上的投影。
§8-5 平面及其方程 例1．已知一个平面通过点
p3,2,1 并且垂直于 p 1 与
点 p2 6,2,7 的连线，求平面方程。
例2．求过三点
M 1 2 , 1 ,4 ,M 2 1 ,3 , 2 和 M 3 0 ,2 ,3
例6．已知两球面的方程为
x2y2z21 （1）和
x2y12z121（2）
x o y 求它们的交线C在
面上
的投影方程。
例7．设一个立体由上半球面
Z 4x2 y2 和锥面
Z 3 x2y2 所围成，求它
在 x o y 面上的投影。
例8．求旋转抛物面
Zx2y20z4
在三坐标轴上的投影。
例9．求上半球
的平面的方程。
例3．一个平面过两点
A 1 ,1 ,1和 B 0,1 , 1
且垂直于平面 xyz0，
求此平面方程。
例4．求通过 x 轴和点
M4,3,1
的平面的方程。
wenku.baidu.com
例5．一平面通过原点，而且与 平面 2 x y 5 z + 3 0 和 x 3 y z 7 0
都垂直，求此平面方程。
例6．求两平面 x y 2 z 6 0 和 2 x y z 5 0 的夹角。
表示的曲面
例8．说明下列旋转曲面是怎样形 成的？
1 x2 y2 +z2 1
4
2 za2x2y2
§8-4 空间曲线及其方程
例1．方程组 x 2 y 2 1 2 x 3 z 6
表示怎样的曲线。
例2．方程组 z a2x2 y2
x
a 2
2
y
2
a 2
2
表示怎样的曲线。
例3．画出下列曲线在第一卦限 内的图形
y x 限，向径 o A 与
轴、
轴夹角依次为
3
和
4
，且
o A 6 ，求点 A 的坐标。
o u 例13．在 轴上取定一点 作
为坐标原点，设 A , B 是 u 轴上
e 坐标依次为 u 1 , u 2 的两个点，
u 是与 轴同方向的单位向量。
例14．设立方体一条对角线为 O M
一条棱为 O A ，且 O A a ，
例7．证明：
（1）xyz1与平面
2x2y2z30平行。
（2）平面
x y z 0 与 x y 2 z 3 0
垂直。
例8．设 p0x0,y0,z0 是平面
AxB yC zD 0
外一点，求 p 0 到这平面的
距离。
例9．试求平行平面
3x6y2z70
3x6y2z140
间的距离。
§8-6 空间直线及其方程
第八章 空间解析几何与向量代数 §8-1 向量及其线性运算
例1．已知 a5 b8 a,b
的夹角为
3
，求
ab
例2．在平行四边形 ABCD 中，
设 ABa,ADb ，试用
a和 b 表示向量
M A, M B, M C 和 M D 。
例3．求解以向量为未知元的线性方
程组 5 x 3 y a 3x2 yb
例1．用对称式方程及参数方程 表示直线
x y z10 2x y3z40 。
例2． 试求通过点 M01,0,4
且平行平面 3x4yz100
又与直线 x1 y3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
A4,0,5和 B7,1,3
求与 A B 方向相同的单位
向量 e 。
例10．设已知两点
M 12 ,2 , 2和 M 21 ,3 ,0
计算向量 M 1M 2 的模，方向
余弦和方向角。
例11．设已知两点
A 4,0,5和 B7,1 ,3
求方向和 A B 一致的单位
向量。
例12．设点 A 位于第 I 卦
功（长度单位m）
例4．已知三点
M 1 ,1 ,1 A 2 ,2 ,1 和 B 2 ,1 ,2 ，
求 AMB 。
例5．设
a 2 ,1 , 1 b = 1 , 1 ,2 ，
计算 a b 。
例6．已知 ABC 的顶点分别为
A 1 ,2 ,3 B 3 ,4 ,5 和 C 2 ,4 ,7
求三角形 A B C 的面积。
其中
a = 2 ,1 ,2 b = 1 ,1 ,-2
例4．已知两点
A x1,y1,z1和 B x2,y2,z2
以及实数 1 ，在直线 A B
上求点 M ,使 AMMB。
例5．已知空间一点 M 的坐
标为 3, 4, 5 ，试在直角
坐标系 o x y z 中描出它
的位置。
例6．已知空间一点 M 的坐标
求 OA在OM 方向上的投影
prj OA OM
。
§8-2 数量积 向量积 混合积
例1．试用向量证明三角形的余弦
定理。
例2．在 X O Y 坐标面上，求出与
向量 R=-4， 3， 7 垂直的单位
向量。
例3．设质量为100kg的物体从点
M13,1,8 沿直线移动到点
M2 1，4，2 ，计算重力所作的
为 3, 3, 2 ，试描出它关于坐标
面 o x y ，坐标轴 o y 和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M 1 4 ,3 ,1 M 2 7 ,1 ,2 M 3 5 ,2 ,3
三点为顶点的三角形是一个等
腰三角形。
例8．在 Z 轴上求与两点
A 4,1 ,7和 B3,5,2
等距离的点。
例9．已知两点
例6．已知不在一平面上的四
点 A x1,y1,z1 Bx2,y2,z2 C x3,y3,z3 Dx4,y4,z4
求四面体 ABCD 的体积 。
§8-3 曲面及其方程 例1．建立球心在点
M0x0,y0,z0
半径为R的球面方程。
例2．设点 A1, 2, 3 和
B2,1,4 ，求线段 A B
的垂直平分面的方程。
例3．方程
x2y2z22x4y0
表示怎样的曲面。
例4．试建立顶点在坐标原点O
旋转轴为Z轴，半顶角为 的
圆锥面的方程。
例5．将XOZ坐标面上的双曲线
x x 2
a2
z2 c2
1
分别绕
轴和Z轴
旋转一周，求所生成的旋转曲面的
方程。
例6．方程
x2 y2 R2
表示怎样的曲面？
例7．画出方程 z2 y 0 所
例4．如果空间一点M在圆柱面
x2 y2 a2 上以角速度 绕Z
轴旋转，同时又以线速度V沿平行
于Z轴的正方向上升（其中 , v
都是常数），那么点M构成的图形
叫做螺旋线，试建立其参数方程。
例5．将曲线
x2 y2 z2 9 yx
化成参数方程。
0z a2x2y2
与圆柱体 x2y2axa0
的公共部分在 x o y 面和 xoz 面
上的投影。
§8-5 平面及其方程 例1．已知一个平面通过点
p3,2,1 并且垂直于 p 1 与
点 p2 6,2,7 的连线，求平面方程。
例2．求过三点
M 1 2 , 1 ,4 ,M 2 1 ,3 , 2 和 M 3 0 ,2 ,3
例6．已知两球面的方程为
x2y2z21 （1）和
x2y12z121（2）
x o y 求它们的交线C在
面上
的投影方程。
例7．设一个立体由上半球面
Z 4x2 y2 和锥面
Z 3 x2y2 所围成，求它
在 x o y 面上的投影。
例8．求旋转抛物面
Zx2y20z4
在三坐标轴上的投影。
例9．求上半球
的平面的方程。
例3．一个平面过两点
A 1 ,1 ,1和 B 0,1 , 1
且垂直于平面 xyz0，
求此平面方程。
例4．求通过 x 轴和点
M4,3,1
的平面的方程。
wenku.baidu.com
例5．一平面通过原点，而且与 平面 2 x y 5 z + 3 0 和 x 3 y z 7 0
都垂直，求此平面方程。
例6．求两平面 x y 2 z 6 0 和 2 x y z 5 0 的夹角。
表示的曲面
例8．说明下列旋转曲面是怎样形 成的？
1 x2 y2 +z2 1
4
2 za2x2y2
§8-4 空间曲线及其方程
例1．方程组 x 2 y 2 1 2 x 3 z 6
表示怎样的曲线。
例2．方程组 z a2x2 y2
x
a 2
2
y
2
a 2
2
表示怎样的曲线。
例3．画出下列曲线在第一卦限 内的图形
y x 限，向径 o A 与
轴、
轴夹角依次为
3
和
4
，且
o A 6 ，求点 A 的坐标。
o u 例13．在 轴上取定一点 作
为坐标原点，设 A , B 是 u 轴上
e 坐标依次为 u 1 , u 2 的两个点，
u 是与 轴同方向的单位向量。
例14．设立方体一条对角线为 O M
一条棱为 O A ，且 O A a ，
例7．证明：
（1）xyz1与平面
2x2y2z30平行。
（2）平面
x y z 0 与 x y 2 z 3 0
垂直。
例8．设 p0x0,y0,z0 是平面
AxB yC zD 0
外一点，求 p 0 到这平面的
距离。
例9．试求平行平面
3x6y2z70
3x6y2z140
间的距离。
§8-6 空间直线及其方程
第八章 空间解析几何与向量代数 §8-1 向量及其线性运算
例1．已知 a5 b8 a,b
的夹角为
3
，求
ab
例2．在平行四边形 ABCD 中，
设 ABa,ADb ，试用
a和 b 表示向量
M A, M B, M C 和 M D 。
例3．求解以向量为未知元的线性方
程组 5 x 3 y a 3x2 yb
例1．用对称式方程及参数方程 表示直线
x y z10 2x y3z40 。
例2． 试求通过点 M01,0,4
且平行平面 3x4yz100
又与直线 x1 y3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
A4,0,5和 B7,1,3
求与 A B 方向相同的单位
向量 e 。
例10．设已知两点
M 12 ,2 , 2和 M 21 ,3 ,0
计算向量 M 1M 2 的模，方向
余弦和方向角。
例11．设已知两点
A 4,0,5和 B7,1 ,3
求方向和 A B 一致的单位
向量。
例12．设点 A 位于第 I 卦
功（长度单位m）
例4．已知三点
M 1 ,1 ,1 A 2 ,2 ,1 和 B 2 ,1 ,2 ，
求 AMB 。
例5．设
a 2 ,1 , 1 b = 1 , 1 ,2 ，
计算 a b 。
例6．已知 ABC 的顶点分别为
A 1 ,2 ,3 B 3 ,4 ,5 和 C 2 ,4 ,7
求三角形 A B C 的面积。
其中
a = 2 ,1 ,2 b = 1 ,1 ,-2
例4．已知两点
A x1,y1,z1和 B x2,y2,z2
以及实数 1 ，在直线 A B
上求点 M ,使 AMMB。
例5．已知空间一点 M 的坐
标为 3, 4, 5 ，试在直角
坐标系 o x y z 中描出它
的位置。
例6．已知空间一点 M 的坐标
求 OA在OM 方向上的投影
prj OA OM
。
§8-2 数量积 向量积 混合积
例1．试用向量证明三角形的余弦
定理。
例2．在 X O Y 坐标面上，求出与
向量 R=-4， 3， 7 垂直的单位
向量。
例3．设质量为100kg的物体从点
M13,1,8 沿直线移动到点
M2 1，4，2 ，计算重力所作的
为 3, 3, 2 ，试描出它关于坐标
面 o x y ，坐标轴 o y 和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M 1 4 ,3 ,1 M 2 7 ,1 ,2 M 3 5 ,2 ,3
三点为顶点的三角形是一个等
腰三角形。
例8．在 Z 轴上求与两点
A 4,1 ,7和 B3,5,2
等距离的点。
例9．已知两点
例6．已知不在一平面上的四
点 A x1,y1,z1 Bx2,y2,z2 C x3,y3,z3 Dx4,y4,z4
求四面体 ABCD 的体积 。
§8-3 曲面及其方程 例1．建立球心在点
M0x0,y0,z0
半径为R的球面方程。
例2．设点 A1, 2, 3 和
B2,1,4 ，求线段 A B
的垂直平分面的方程。
例3．方程
x2y2z22x4y0
表示怎样的曲面。
例4．试建立顶点在坐标原点O
旋转轴为Z轴，半顶角为 的
圆锥面的方程。
例5．将XOZ坐标面上的双曲线
x x 2
a2
z2 c2
1
分别绕
轴和Z轴
旋转一周，求所生成的旋转曲面的
方程。
例6．方程
x2 y2 R2
表示怎样的曲面？
例7．画出方程 z2 y 0 所