1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理)

基础巩固强化

1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛0

1(x 2－x )d x

B ．S ＝⎠⎛0

1(x －x 2)d x

C ．S ＝⎠⎛0

1(y 2－y )d y

D ．S ＝⎠⎛0

1(y －y )d y

[答案] B

[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0

1(x －x 2)d x .

2．如图，阴影部分面积等于(

)

A ．2 3

B ．2－ 3 C.323 D.353

[答案] C

[解析] 图中阴影部分面积为

S ＝⎠

⎛-3

1

(3－x 2

－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝32

3. 3.⎠⎛0

24－x 2d x ＝( )

A ．4π

B ．2π

C ．π D.π2

[答案] C [解析] 令y ＝

4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，

由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，

∴S ＝1

4×π×22＝π.

4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )

A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面

B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面

C ．在t 0时刻，两车的位置相同

D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A

[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后

的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：

车在某段时间内行驶的路程就是该时

间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.

5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π

4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )

A.π4

B.12

C.π

2－1 D.2π

[答案] D

[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π

2，在这个区

6．的值是( )

A ．0 B.π

4 C ．2 D ．－2 [答案] D

[解析] 2

(cos sin )

2x x π

π---＝2(cos sin )2

x x π

π---

＝－2. 7．⎠⎛0

2(2－|1－x |)d x ＝________.

[答案] 3 [解析]

∵y ＝⎩⎨

⎧

1＋x 0≤x ≤1

3－x 1

，

∴⎠⎛0

2(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛0

1(1＋x )d x ＋⎠⎛1

2(3－x )d x

＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21

＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20

(sin cos )x x dx π+⎰

，则二项式(a x －

1x

)6

的展开式中含x 2项的系数是________．

[答案] －192

[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π

+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π

2

－cos π

2)－(sin0－cos0)＝2，

(2x －1x

)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r

×x 3－r ，令

3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25

＝－192.

10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛

物线所围成图形的面积恒等于4

3，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．

[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a

则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a

2b －a

(x －a )，

即y ＝(a ＋b )x －ab .

则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a

b [(a ＋b )x －ab －x 2]d x

＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝1

6(b －a )3，

∴16(b －a )3

＝43，

解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝a ＋b 2，y ＝a 2

＋b 2

2.

将b －a ＝2代入得⎩

⎨⎧

x ＝a ＋1，

y ＝a 2

＋2a ＋2.

消去a 得y ＝x 2＋1.

∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.

能力拓展提升

11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛0

34x d x ，则公比q 的

值为( )