方差计算公式的证明
相互独立随机变量加法方差的证明
相互独立随机变量加法方差的证明相互独立随机变量加法方差的证明在概率论与数理统计领域，我们常常遇到需要计算随机变量之间的加法方差的情况。
在本文中，我们将讨论相互独立随机变量加法方差的证明，深入探索这一概念的基本原理和详细推导过程。
1. 引言方差是描述随机变量离其均值的离散程度的度量。
在研究多个随机变量之间的关系时，我们常常需要计算这些变量之和的方差。
对于相互独立的随机变量X和Y，我们有如下公式：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)这个公式是非常有用且重要的，因为它为我们提供了一种通过求和的方式计算方差的方法。
2. 证明过程为了证明与推导这个公式，我们首先需要明确的是，当X和Y相互独立时，它们的协方差为0，即Cov(X, Y) = 0。
这一点是独立性的基本特征。
根据方差的定义，我们可以将Var(X + Y)展开为：Var(X + Y) = E[(X + Y - E(X + Y))^2]= E[(X + Y - (E(X) + E(Y)))^2]= E[(X - E(X))^2 + 2(X - E(X))(Y - E(Y)) + (Y - E(Y))^2]= E[(X - E(X))^2] + 2E[(X - E(X))(Y - E(Y))] + E[(Y - E(Y))^2]现在，我们只需要计算上述展开式中的三个部分：第一部分：E[(X - E(X))^2]，即X的方差Var(X)。
第二部分：2E[(X - E(X))(Y - E(Y))]，由于X和Y相互独立，所以E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = Cov(X, Y) = 0。
第三部分：E[(Y - E(Y))^2]，即Y的方差Var(Y)。
通过上述计算，我们得到了Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)，这就证明了相互独立随机变量加法方差的公式。
3. 主题理解和个人观点相互独立随机变量加法方差的证明是概率论与数理统计领域中一个重要且基础的结果。
方差
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差 , 记 为σ ( X ).
3. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量 X 取 值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果
D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以
E(X) 作为随机变量的代表性好.
2
D( X ) D(Y ). 显然 D（X C） D（X） .
推广: 若 X1 , X 2 ,, X n 相互独立, 则有
D( X 1 X 2 X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) D( X n ).
D( a i X i ) a D( X i )
2
2
1 2σ 2 ( x μ) e d x. 2 πσ ( x μ )2 2 x x 2 2σ 2 ( )e d( ). 2π
( x μ )2
σ 2π 2
2
t2 2 2
t e
σ dt 2π 2π
2
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
(教材P317附表8)
分 布 参数
0 p1 n 1,
数学期望
方差
p(1 p ) np (1 p )
两点分布
二项分布 泊松分布 均匀分布
p
np
0 p1
0
ab
0
1/
1 / 2
(a b) 2 (b a )2 12
第二节 方
差
一、随机变量方差的概念及性质
二、重要概率分布的方差
三、例题讲解 四、小结
方差的计算公式概率论
方差的计算公式概率论方差是概率论中一种常见的统计指标，用于衡量一组数据的离散程度。
它能告诉我们数据的分散程度，是评估数据集中趋势的重要工具。
比如我们要统计一群学生的成绩，方差可以帮助我们了解这些成绩的分布情况。
如果学生的成绩都比较接近，方差就会比较小，说明学生之间的成绩差异不大；而如果学生的成绩相差较大，方差就会比较大，说明学生之间的成绩差异较大。
方差的计算公式如下：首先求出每个数据与平均值的差值，然后将差值平方，再对所有结果求平均值。
这个平均值就是方差。
方差的单位是原数据的单位的平方。
方差的计算过程可以用一个简单的例子来说明。
假设我们有一个班级的英语成绩数据如下：85, 90, 92, 88, 87。
首先，我们需要计算这些成绩的平均值。
将这五个成绩相加得到442，再除以5得到88.4。
然后，我们计算每个成绩与平均值的差值，并将差值平方：(85-88.4)² = 12.96(90-88.4)² = 2.56(92-88.4)² = 12.96(88-88.4)² = 0.16(87-88.4)² = 1.96将这些差值的平方相加并除以5，得到方差的值为 6.12。
这个方差值告诉我们学生之间的成绩差异较大。
方差在实际问题中有着广泛的应用。
比如在金融领域，方差可以用来衡量资产投资组合的风险；在工程领域，方差可以用来评估产品的质量稳定性；在医学研究中，方差可以用来分析不同药物对疾病治疗效果的差异等等。
通过计算方差，我们可以更好地了解数据的分布情况，从而做出更准确的判断和决策。
方差的概念和计算方法在概率论中扮演着重要的角色，对于统计分析和决策科学都具有重要的意义。
方差定理公式
方差定理公式方差定理公式是一种用于描述随机变量的离散程度的数学工具，它可以帮助我们分析数据的变化情况，评估统计模型的拟合效果，以及进行假设检验等。
方差定理公式有多种形式，本文将介绍其中的几种，并给出相应的证明和应用。
什么是方差方差是一种衡量随机变量或者一组数据与其均值之间的距离的度量，它反映了数据的波动程度。
方差越大，说明数据越分散，越不稳定；方差越小，说明数据越集中，越稳定。
方差的定义有多种方式，其中最常见的一种是：V ar(X)=E[(X−E(X))2]其中，X是一个随机变量，E(X)是它的期望值，E[(X−E(X))2]是它与期望值之差的平方的期望值。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能的输出值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
另一种常见的定义是：V ar(X)=E(X2)−[E(X)]2这个定义可以通过展开上面的定义得到，也可以记忆为“期望平方内减外”。
这个定义可以理解为：方差等于随机变量的平方的期望值减去随机变量的期望值的平方。
还有一种常见的定义是：V ar(X)=n∑i=1(x i−μ)2f(x i)其中，x i是随机变量X的第i个可能取值，μ=E(X)是它的期望值，f(x i)是它取该值的概率。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能取值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
以上三种定义都是等价的，可以根据不同的情况选择合适的形式来计算或推导方差。
方差定理公式方差定理公式是一些关于方差运算或性质的公式，它们可以帮助我们简化计算或推导过程，也可以帮助我们理解方差背后的含义或规律。
以下介绍几种常用的方差定理公式。
方差线性性质如果X,Y是两个随机变量，a,b是两个常数，则有：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)+2abCov(X,Y)其中，Cov(X,Y)是X,Y之间的协方差，它表示两个随机变量之间的线性相关程度。
如果X,Y相互独立，则协方差为零，上式就简化为：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)这个公式说明了方差具有线性性质，即两个独立随机变量之和或者差的方差等于它们各自方差乘以系数后求和。
方差概念及计算公式
trapz梯形法定积分
cumtrapz梯形法区间积分
sum等宽矩阵法定积分
cumsum等宽矩阵法区间积分
fnint样条的不定积分
多重数值积分
dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method) 定积分
问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ；
问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？
下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数
我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。
积分限为函数时 先求G(y)={x2(y),x1(y)}f(x,y)dx 再求I={y2,y1}G(y)dy 这里用{}表示豆芽符
数值微分
多项式求导 polyder
差分算积分 diff(X)
6.符号微积分
约定变量x 系数a,b
极限
limit(f,x,a)求x->a时f值、
limit(f,x,a,'right') 右极限 limit(f,x,a,'left')左极限
超定求最小二乘解 用A\B %基于奇异值分解；用pinv(A)*B %基于householder变换
欠定由qr分解求得
非负最小二乘解 X=nnls(A,b,TOL) TOL指定误差，可缺省
零点法求解方程
fzero一元 fsolve多元
x=fzero(fun,x0)
[x,fval,exitflag]=fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)
二项分布的期望和方差的详细证明简版
二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差的详细证明1. 概述二项分布是概率论中的一个重要分布，描述了一次试验中成功次数的离散分布。
在概率论和统计学中，我们通常会对二项分布的期望值和方差进行研究。
在本文档中，我们将详细证明二项分布的期望值和方差的计算公式。
2. 二项分布的定义二项分布是指在一次独立重复试验中，成功事件的概率为p，失败事件的概率为q=1-p，试验次数为n的离散概率分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) p^k q^(n-k)其中，X表示成功次数，k表示具体成功的次数，C(n, k)表示组合数，可以表示为n个元素中取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)3. 二项分布的期望值的证明二项分布的期望值是指在一次试验中成功事件发生的平均次数。
我们可以通过数学的方法来证明二项分布的期望值的计算公式：E(X) = np。
首先，我们可以将二项分布的期望值表示为：E(X) = Σ(k P(X=k))其中，Σ表示求和符号，k为成功次数。
代入二项分布的概率质量函数公式，可以得到：E(X) = Σ(k C(n, k) p^k q^(n-k))利用组合数的性质，我们可以将上式进行变形，得到：E(X) = Σ([n (n-1)! q^(n-1)] / [(k-1)! (n-k)!] p^k q^(n-k))继续变形，得到：E(X) = np Σ(C(n-1, k-1) p^(k-1) q^(n-1-(k-1)))再次利用组合数的性质，可以将上式继续变形为：E(X) = np Σ(C(n-1, k-1) (p q)^(k-1) q^(n-k))我们知道Σ(C(n-1, k-1) (p q)^(k-1) q^(n-k))是一个从k=0到k=n-1的二项式展开形式，根据二项式定理我们可以得到：E(X) = np [p q + q]^(n-1)利用(p q + q) = 1的性质，可以简化上式为：E(X) = np所以，二项分布的期望值的计算公式为：E(X) = np。
方差计算公式的证明
方差计算公式的证明方差是统计中常用的一个概念，用于衡量数据的离散程度。
方差的计算公式是几乎所有统计学教材和资料中都会提到的，它告诉我们如何计算一个数据集的方差。
下面我将详细介绍方差计算公式的证明。
假设我们有一个包含 n 个数据点的数据集 x1, x2, ..., xn，这些数据点的均值为μ。
方差的计算公式如下：var = 1/n * [(x1-μ)^2 + (x2-μ)^2 + ... + (xn-μ)^2]要证明这个公式，我们可以从两个方面来推导。
首先，我们推导出方差计算公式中的每一项，然后将它们组合在一起。
第一步是推导出公式中单个项的形式：(x1-μ)^2=(x1-μ)(x1-μ)=x1*x1-μ*x1-μ*x1+μ*μ=x1*x1-2*μ*x1+μ*μ根据推导，我们可以得出每个项的形式如下：(x1-μ)^2=x1*x1-2*μ*x1+μ*μ(x2-μ)^2=x2*x2-2*μ*x2+μ*μ...(xn-μ)^2 = xn*xn - 2*μ*xn + μ*μ接下来，我们将这些项相加，并乘以1/n：1/n * [(x1-μ)^2 + (x2-μ)^2 + ... + (xn-μ)^2]= 1/n * (x1*x1 - 2*μ*x1 + μ*μ + x2*x2 - 2*μ*x2 + μ*μ + ... + xn*xn - 2*μ*xn + μ*μ)在上式中，我们可以看到每个数据点 xk 的平方项都出现了一次，每个数据点 xk 与均值μ 的乘积都出现了两次。
我们可以合并这些项并简化上面的表达式：1/n * (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn - 2*μ*(x1 + x2 + ... + xn) + n*μ*μ)我们知道均值μ的定义是数据集中所有数据点的和除以数据点的数量n：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n可以看出，2*μ*(x1 + x2 + ... + xn) = 2*(x1 + x2 + ... + xn)*((x1 + x2 + ... + xn) / n) = 2/n * (x1 + x2 + ... + xn)^2将均值的定义代入方差公式中的对应项中，我们有：1/n * (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn - 2/n * (x1 + x2 + ... + xn)^2 + n*μ*μ)= 1/n * (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn - 2/n * (x1 + x2 + ... + xn)^2 + n * (x1 + x2 + ... + xn)^2 / n^2)= 1/n * (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn - 2/n * (x1 + x2 + ... + xn)^2 + (x1 + x2 + ... + xn)^2 / n)= 1/n * (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn - 2 * (x1 + x2 + ... + xn)^2 / n + (x1 + x2 + ... + xn)^2 / n)= 1/n * (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn - (x1 + x2 + ... + xn)^2 / n)最后一步的计算过程即为证明方差计算公式的过程。
两层样本方差公式证明
两层样本方差公式证明首先，让我们定义两个随机变量X和Y，分别表示两个不同随机样本的观测值。
我们假设样本X有n个观测值，样本Y有m个观测值。
样本X 的均值为μX，样本Y的均值为μY。
我们可以使用以下两个公式计算样本方差：1.样本X的方差：sX² = Σ(xi - μX)² / (n-1)，其中xi为样本X的观测值，μX为样本X的均值，n为样本X的观测值数量。
2.样本Y的方差：sY² = Σ(yi - μY)² / (m-1)，其中yi为样本Y的观测值，μY为样本Y的均值，m为样本Y的观测值数量。
为了证明两层样本方差的公式，我们首先需要假设样本X和样本Y是相互独立的。
我们使用以下公式计算两个样本合并后的方差：s²=[(n-1)sX²+(m-1)sY²]/(n+m-2)首先，让我们计算两个样本合并后的总均值：总均值= (Σxi + Σyi) / (n+m)我们可以重写上述公式为：s² = Σ[(xi - 总均值)² + (yi - 总均值)²] / (n+m-2)接下来，让我们将每个观测值差异的平方展开：s² = Σ[(xi - 总均值)²] + Σ[(yi - 总均值)²] / (n+m-2)将总均值展开为各个样本的均值：s² = Σ[(xi - x均值)²] + Σ[(yi - y均值)²] / (n+m-2)将每个观测值差异的平方分别展开：s² = Σ[(xi² - 2xi*x均值 + x均值²)] + Σ[(yi² - 2yi*y均值+ y均值²)] / (n+m-2)将观测值差异的平方展开后，我们可以分别对各项进行求和：s² = Σxi² - 2x均值Σxi + x均值²Σ(1) + Σyi² - 2y均值Σyi + y均值²Σ(1) / (n+m-2)将均值展开为总和的平均值：s² = Σxi² - 2x均值Σxi + n*x均值² + Σyi² - 2y均值Σyi + m*y均值² / (n+m-2)我们可以将Σxi²和Σyi²合并在一起：s² = Σxi² - 2x均值Σxi + n*x均值² + Σyi² - 2y均值Σyi + m*y均值² / (n+m-2)现在，让我们重新审视每个样本的方差公式。
二项分布方差公式推导过程
二项分布方差公式推导过程二项分布是统计学中非常重要的概率分布，它可以用来描述独立试验中发生成功次数的分布。
该分布具有两个参数，即成功概率p和试验次数n。
二项分布的方差表达式如下：VAR(X)=np(1-p)现在，让我们来看看二项分布方差公式的推导过程。
首先，我们需要讨论该分布的期望值。
期望值的计算公式如下： E(X) = np从这一式子可以看出，二项分布的期望值等于试验次数乘以成功概率。
其次，我们考虑二项分布的方差。
由于方差的定义：VAR(X)=E[(X-E(X))^2]所以，可以得出：VAR(X)=E[X^2] - [E(X)]^2接下来，我们推导出X的平方期望值。
由于独立试验的假设，我们可以得出：E[X^2] = (E[X])^2 + VAR(X)将期望值E(X)带入上式，即可得到：E[X^2] = np + np(1-p)将平方期望值带入方差定义中，得出：VAR(X)=np + np(1-p) - [np]^2计算结果为：VAR(X)=np(1-p)最后，我们需要检验推导的结果是否正确。
我们将以下参数带入推导的结果中：p=0.5， n=10VAR(X)=10 * 0.5 * (1-0.5)检验结果为：2.5因此我们可以确认推导的结果是正确的，二项分布的方差公式为：VAR(X)=np(1-p)。
通过这一推导，我们可以明确了二项分布的平方期望值、期望值以及方差之间的关系，有助于我们进行更全面深入的研究。
另外，了解二项分布的方差也可以帮助我们更好地分析数据，估算变量之间的相似性和变化情况，从而辅助决策过程。
总之，二项分布的方差公式是非常重要的，它可以用来定量描述随机变量变化情况，从而帮助我们更有效地进行数据分析和决策。
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1方差概念及计算公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
二．方差的性质1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）；证：特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
三．常用分布的方差1．两点分布2．二项分布X ~ B( n, p )引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布），3．泊松分布（推导略）4．均匀分布另一计算过程为5．指数分布（推导略）6．正态分布（推导略）~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。
均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。
S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
方差计算公式的证明培训讲学
方差计算公式的证明（1）用新数据法求平均数当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：=+a.其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，=-a,=-a,…,=-a ○1=(+)是新数据的平均数（通常把,,…,,，,,…,,叫做新数据）。
把○1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式：+=-a+-a+…+-a+=++…+-na=—a ○2亦即=+a（2）方差的基本公式方差的基本公式由方差的概念而来。
方差的概念是：在一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用“”表示，即:=[+](3) 方差的简化计算公式=[++…+)-n]也可写成=[++…+)]-此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
证明：=[+]=[++++…++]=[++…+)-2++…++n]=[++…+)-2n=[++…+)-2n=[++…+)-n]=++...+)-.. (I)根据○1，有=+a,=+a,…=+a,和=+a(详见（1）的证明)代入简化公式（I）,则有：=[++…-=[(++…+)+2a(++…+)+n]-(+2a+)=(++…+)+2a+-2a-=(++…+)+ 2a+=(++...+). (II)此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方差都相同。
基本公式和简化公式（I）按原数据,,…,计算方差；简化公式（II）按新数据,,…,计算方差，计算出的方差相同。
(4) 用新数据法计算方差原数据,,…,的方差与新数据=-a,=-a,…,=-a的方差相等。
也就是说，根据方差的基本公式，求得的,,…,就等于原数据,,…,证明：把○1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有：-=(-a)-(-a)=--=(-a)-(-a)=-…………-=(-a)-(-a)=-再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2：==…………=最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：[++…+]=[+] 这就是根据方差的基本公式，求得的,,…,就等于原数据,,…,。
证明方差公式
证明方差公式方差是统计学中一个非常重要的概念，用于衡量一组数据的离散程度。
方差公式为：$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i -\overline{x})^2$ ，其中 $x_i$ 表示第 $i$ 个数据，$\overline{x}$ 表示这组数据的平均数，$n$ 表示数据的个数。
咱们先来说说为啥要有方差这个东西。
想象一下，你和小伙伴们一起参加了一场数学考试，老师想知道大家的成绩分布得怎么样，是都差不多呢，还是参差不齐。
这时候方差就派上用场啦！比如说有两组数据：A 组是 60、70、80、90、100，B 组是 75、75、75、75、75。
A 组的数据有高有低，B 组的数据都一样。
那很明显，A 组的数据更分散，B 组的数据更集中。
那怎么用数学的方法来准确地表示这种分散或者集中的程度呢？这就轮到方差登场啦！咱们来一步一步证明这个方差公式。
假设我们有一组数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，它们的平均数是$\overline{x}$ 。
首先，我们计算每个数据与平均数的差值：$(x_1 - \overline{x}),(x_2 - \overline{x}), \cdots, (x_n - \overline{x})$ 。
然后把这些差值平方：$(x_1 - \overline{x})^2, (x_2 - \overline{x})^2, \cdots, (x_n - \overline{x})^2$ 。
为啥要平方呢？这是因为如果只是用差值，正负会抵消，就不能准确反映数据的离散程度啦。
接下来，把这些平方后的差值加起来：$\sum_{i=1}^{n}(x_i -\overline{x})^2$ 。
最后，再除以数据的个数 $n$ ，就得到了方差 $S^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- =( -a)-( -a)= …………
- =( -a)-( -a)= 再把以上每一个新生成等式左右两边平方把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以 n,即有：
[
+
+…+
]= [
+
]
这 就 是 根 据 方 差 的 基 本 公 式 ， 求 得 的 , ,…,
根据○1 ，有 = +a, = +a,… = +a,和 = +a(详见（1）的证明) 代入简化公式（I）,则有：
=[
+
+…
-
= [( + +…+ )+2a( + +…+ )+n ]-( +2 a+ )
= ( + +…+ )+2a = ( + +…+ )+ 2 a+
+ - 2 a-
= ( + +…+ )
+
= -a+ -a+…+ -a
+
= + +…+ -na
=
—a
○2
亦即 = +a （2） 方差的基本公式
方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据
中，
各数据与他们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“ ” 表示，即:
=[
+
]
(3) 方差的简化计算公式
= [ + +…+ )-n ]
就等于原数据
, ,…,
…………………….(II)
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行 等量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算
出的方差 都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据 , ,…, 计算方差；
也可写成 = [ + +…+ )]此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明：
=[
+
]
=[
++
+ +…+
+]
= [ + +…+ )-2 + +…+ +n ]
= [ + +…+ )-2n = [ + +…+ )-2n = [ + +…+ )-n ]
= + +…+ )- ………………..(I)
简化公式（II）按新数据 , ,…, 计算方差，计算出的方差相同。
(4) 用新数据法计算方差 原数据 , ,…, 的方差与新数据 = -a, = -a,…, = -a 的方差相等。
也就是说，根据方差的基本公式，求得的 , ,…,
就等于原数据
, ,…, 证明： 把○1 式里的每一个式子的两边，减去○2 式的两边（左边-左边，右边-右边）有：
方差计算公式的证明
（1） 用新数据法求平均数
当所给的数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式： = +a.其中，常
数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， = -a, = -a,…, = -a ○1
=( +
) 是新数 据的平 均数（ 通常把 , ,…, ,
，
, ,…, , 叫做新数据）。 把○1 左边的数据相加，把○1 右边的数据相加，得到一个等式：