一般锐角的三角函数
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
中考数学三角函数公式汇总与解析
中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。
锐角三角函数知识点归纳总结
锐角三角函数知识点归纳总结锐角三角函数是中学数学中的一门重要概念，涵盖了三角函数的绝大部分知识点。
掌握锐角三角函数是解决三角函数问题的关键，也是解决初等三角方程的基础。
本文将就锐角三角函数的相关知识点进行归纳总结，便于读者进行系统地学习和掌握。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，在锐角三角函数中有着重要的地位。
正弦函数在数学中的表达式为sinx，其定义域为实数集合R，值域为闭区间[-1,1]。
具体来说，正弦函数在锐角三角形中，它的值等于对边长度与斜边长度的比值。
正弦函数在锐角三角函数中的性质：1. 周期性：sin(x+2kπ)=sinx，其中k为任意整数。
2. 对称性：sin(-x)=-sinx。
3. 奇偶性：sin(-x)=-sinx，sin(x+π)=-sinx。
4. 增减性：在区间[0,π/2]上，sinx单调递增；在区间[π/2,π]上，sinx单调递减。
5. 值域：正弦函数在[-π/2,π/2]上单调递增，值域为[-1,1]。
在求解三角函数的数值计算时，使用正弦函数的一般方法是将角度转换为弧度，然后采用计算器进行计算。
二、余弦函数余弦函数是一种最为常见的三角函数之一，通常在三角函数的解题中被广泛应用。
余弦函数在数学中的表达式为cosx，其定义域为实数集合R，值域为闭区间[-1,1]。
具体来说，余弦函数在锐角三角形中，它的值等于邻边长度与斜边长度的比值。
余弦函数在锐角三角函数中的性质：1. 周期性：cos(x+2kπ)=cosx，其中k为任意整数。
2. 对称性：cos(-x)=cosx。
3. 奇偶性：cos(-x)=cosx，cos(x+π)=-cosx。
4. 增减性：在区间[0,π/2]上，cosx单调递减；在区间[π/2,π]上，cosx单调递增。
5. 值域：余弦函数在[0,π]上单调递减，值域为[1,-1]。
三、正切函数正切函数是三角函数中的一种，通常用于解决三角函数运算或求解空间中的几何问题。
23.一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)
B C = C D 4 .2 5 .9 (千 米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直 角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔 尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组 算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到 与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
锐角三角函数公式
• 利用正弦函数和余弦函数，计算电场强度和磁场强度 • 利用正切函数和余切函数，计算电场强度和磁场强度
04
锐角三角函数的计算器法与编程实现
计算器法求解锐角三角函数
利用科学计算器直接计算锐角三角函数的值
• 输入角的大小，直接计算正弦值、余弦值、正切值和余切值 • 利用计算器的其他功能，进行角度的转换和运算
角度和差公式
• 通过角度和差公式，将任意角与锐角联系起来 • 利用锐角三角函数的性质，推导出角度和差公式的三角函数表达式
03
锐角三角函数的应用
测量问题中的应用
测量高度
• 利用正切函数，计算物体的高度 • 利用余切函数，计算物体的高度
测量距离
• 利用正弦函数和余弦函数，计算物体的距离 • 利用正切函数和余切函数，计算物体的距离
解题技巧
• 利用三角函数的性质，简化计算过程 • 通过角度的转换，将复杂问题转化为简单问题
锐角三角函数的学习方法与建议
学习方法
• 理解锐角三角函数的定义与性质，掌握公式的推导过程 • 熟练掌握锐角三角函数的应用，解决实际问题
学习建议
• 多做练习，提高计算能力和解题技巧 • 注重归纳总结，形成完整的知识体系
余弦函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：[-1, 1] • 特殊值：cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = -1
余切函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：实数集 • 特殊值：cot(0) = ∞, cot(π/2) = 0, cot(π) = -1
02
锐角三角函数的公式推导
正弦公式与余弦公式的推导
正弦公式的推导
• 利用单位圆的性质，将圆周角与弧度制联系起来 • 通过正弦函数的定义，将正弦值与单位圆上的点联系起 来
锐角三角函数
锐角三角函数锐角三角函数指的是在单位圆上，与单位圆心的射线所夹角度小于90°的三角函数。
常见的锐角三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。
锐角三角函数在数学、物理、工程等领域具有重要的应用。
正弦函数 (sin)正弦函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的纵坐标。
可以用以下公式表示：sin(θ) = 对边 / 斜边正弦函数图示正弦函数图示在三角函数中，正弦函数具有以下特点： - 值域在[-1,1]之间； - 奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)； - 周期为2π，即sin(θ + 2π) = sin(θ)。
余弦函数 (cos)余弦函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的横坐标。
可以用以下公式表示：cos(θ) = 邻边 / 斜边余弦函数图示余弦函数图示在三角函数中，余弦函数具有以下特点： - 值域在[-1,1]之间； - 偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)； - 周期为2π，即cos(θ + 2π) = cos(θ)。
正切函数 (tan)正切函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的纵坐标与横坐标的比值。
可以用以下公式表示：tan(θ) = 对边 / 邻边正切函数图示正切函数图示在三角函数中，正切函数具有以下特点： - 值域为全体实数； - 周期为π，即tan(θ + π) = tan(θ)。
倒数函数 (csc、sec、cot)在锐角三角函数中，除了正弦函数、余弦函数和正切函数，倒数函数也是常见的。
倒数函数分别为余弦函数的倒数 (csc)、正弦函数的倒数 (sec) 以及正切函数的倒数 (cot)。
倒数函数的定义如下：csc(θ) = 1 / sin(θ)sec(θ) = 1 / cos(θ)cot(θ) = 1 / tan(θ)这些倒数函数在数学中常用于简化关系式、求解方程等。
应用领域锐角三角函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
大学常用三角函数公式
大学常用三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA/(1-tanA^2(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A三倍角公式sin3α=4sinα²sin(π/3+αsin(π/3-αcos3α=4cosα²cos(π/3+αcos(π/3-αtan3a = tan a ² tan(π/3+a² tan(π/3-a三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t,其中sint=B/(A^2+B^2^(1/2cost=A/(A^2+B^2^(1/2tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t,tant=A/B 降幂公式sin^2(α=(1-cos(2α/2=versin(2α/2cos^2(α=(1+cos(2α/2=covers(2α/2tan^2(α=(1-cos(2α/(1+cos(2α推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2^2=2sina(1-sin²a+(1-2sin²asina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1cosa-2(1-sin²acosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a=4sina[(√3/2²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a=4sina(sin60°+sina(sin60°-sina=4sina*2sin[(60+a/2]cos[(60°-a/2]*2sin[(60°-a/2]cos[(60°-a/2]=4sinasin(60°+asin(60°-acos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4=4cosa[cos²a-(√3/2²]=4cosa(cos²a-cos²30°=4cosa(cosa+cos30°(cosa-cos30°=4cosa*2cos[(a+30°/2]cos[(a-30°/2]*{-2sin[(a+30°/2]sin[(a-30°/2]} =-4cosasin(a+30°sin(a-30°=-4cosasin[90°-(60°-a]sin[-90°+(60°+a]=-4cosacos(60°-a[-cos(60°+a]=4co sacos(60°-acos(60°+a上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-atan(60°+a半角公式tan(A/2=(1-cosA/sinA=sinA/(1+cosA;cot(A/2=sinA/(1-cosA=(1+cosA/sinA.sin^2(a/2=(1-cos(a/2cos^2(a/2=(1+cos(a/2tan(a/2=(1-cos(a/sin(a=sin(a/(1+cos(a三角和sin(α+β+γ=sinα²cosβ²cosγ+cosα²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²sin γcos(α+β+γ=cosα²cosβ²cosγ-cosα²sinβ²sinγ-sinα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²cos γtan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα²tanβ²tanγ/(1-tanα²tanβ-tanβ²tanγ-tanγ²ta nα两角和差cos(α+β=cosα²cosβ-sinα²sinβcos(α-β=cosα²cosβ+sinα²sinβsin(α±β=sinα²cosβ±cosα²sinβtan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα²tanβtan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα²tanβ和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ/2] cos[(θ-φ/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ/2] sin[(θ-φ/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ/2] cos[(θ-φ/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ/2] sin[(θ-φ/2]tanA+tanB=sin(A+B/cosAcosB=tan(A+B(1-tanAtanB tanA-tanB=sin(A-B/cosAcosB=tan(A-B(1+tanAtanB 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β-cos(α+β] /2cosαcosβ = [cos(α+β+cos(α-β]/2sinαcosβ = [sin(α+β+sin(α-β]/2cosαsinβ = [sin(α+β-sin(α-β]/2诱导公式sin(-α = -sinαcos(-α = cosαtan (—a=-tanαsin(π/2-α = cosαcos(π/2-α = sinαsin(π/2+α = cosαcos(π/2+α = -sinαsin(π-α = sinαcos(π-α = -cosαsin(π+α = -sinαcos(π+α = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α=-cotαtan(π/2-α=cotαtan(π-α=-tanαtan(π+α=tanα诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2/[1+tan^(α/2]cosα=[1-tan^(α/2]/1+tan^(α/2]tanα=2tan(α/2/[1-tan^(α/2]其它公式(1(sinα^2+(cosα^2=1(21+(tanα^2=(secα^2(31+(cotα^2=(cscα^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα^2,第二个除(cosα^2即可(4对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B=tan(π-C (tanA+tanB/(1-tanAtanB=(tanπ-tanC/(1+tanπtanC 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6cot(A/2+cot(B/2+cot(C/2=cot(A/2cot(B/2cot(C/2 (7(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC (8（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC (9sinα+sin(α+2π/n+sin(α+2π*2/n+sin(α+2π*3/n+……+sin[α+2π*(n-1/n]=0cosα+cos(α+2π/n+cos(α+2π*2/n+cos(α+2π*3/n+……+cos[α+2π*(n-1/n]=0 以及sin^2(α+sin^2(α-2π/3+sin^2(α+2π/3=3/2 tanAtanBtan(A+B+tanA+tanB-tan(A+B=0。
23.1.3一般锐角的三角函数值课件沪科版数学九年级上册
2
已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
知2－讲
已知锐角三角函数值求锐角的度数
如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，
可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数
值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 2nd F
键，再按 sin-1 、cos-1 或 tan-1 键. 当三角函数值为分数时，
知2－练
，
课堂新授
(3)tan A＝0.189 0.
解：按键顺序为：
显示结果为10.702 657 49，
再按
，得∠A ≈ 10°42'10″.
知2－练
，
2-1.如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10 m 知2－练 高的天桥两端分别修建了 50 m 长的斜道，用科学 计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正Fra bibliotek课堂新授
2. 求非整数度数的锐角的三角函数值
知1－讲
(1)若度数的单位是用度表示的，则按整数度数的按键
步骤操作即可.
(2)若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用科学计
算器计算三角函数值时，同样先按 sin 、cos 或 tan
键，然后依次按数字键、
(度)键、数字键、
(分)键、数字键、
(秒)键，最后按 = 键，
确的是( B )
归纳总结
一般锐角的三角函数值
计算器
任意一个锐角 工具
三角函 数值
(精确到0.000 1)
解题秘方：按计算器的使用说明求值.
课堂新授 解：求值过程如下表所示.
三角函数
按键顺序
sin 26° cos 42° tan 75°
知1－练
锐角三角函数公式sinα
锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式cos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1sin2A=2sinA•cosA tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin&s up2;a)sina =3sina-4sin³acos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos& sup2;a)cosa =4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin&s up2;a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3 /2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2co sαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=t an(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
锐角三角函数公式大全
锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。
锐角三角函数
锐角三角函数一、定义正弦：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦。
余弦：在直角三角形中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做锐角A 的余弦。
正切：在直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切。
知识拓展：（1）正弦，余弦，正切都是一个比值，是没有单位的数值。
（2）正弦，余弦，正切只与角的大小有关，而与三角形的大小，两边的长短无关。
（3）A 2sin 表示2)(sin A ，而不能写成2sin A 二、特殊三角函数值30°45°60°αsinαcos αtan例1．求出下图中sinD ，sinE 的值．例2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ． 不能确定例3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 43例4． 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．例5． 计算：sin30°·sin60°+sin45°例6．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB例7. 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC 等于（ ） A ．32B ．55C ．510D ．31例8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA=例9． 计算：（1）计算：()130tan 200745sin 23︒︒--+-85F E D 25247CB A（2）先化简，再求值:()11222++÷-xxx x ，其中，︒=60tan x三、三角函数的性质1. 0<sinA<1 0<cosA<1 tanA>02. 增减性：y=sinA y 随A 的增大而增大 y=cosA y 随A 的增大而减小 y=tanA y 随A 的增大而增大3. 同角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）商数关系 AAA cos sin tan =4. 互为余角的三角函数关系 当A+B=90° sinA=cosB例1：已知α是锐角，且43cos =α，求ααtan ,sin 的值 例2． 若α为锐角，试证明：αααcos sin tan =解直角三角形 第一节一、解直角三角形的概念由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形。
一般锐角的三角函数值
随着科技的发展，三角函数的应用领 域越来越广泛，特别是在信号处理、 图像处理、通信等领域，三角函数的 应用前景非常广阔。
THANKS
感谢观看
等问题的求解。
三角函数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，三角函数用于解决各种实际问题，如结 构设计、机械运动等。
经济学
在经济学中，三角函数可以用于统计分析、成本效益 分析等方面。
计算机图形学
在计算机图形学中，三角函数用于生成二维和三维图 形、进行图像处理等。
05
总结
锐角三角函数的特性与计算方法
极坐标系中的点表 示
在极坐标系中，三角函数可以用 于表示点，并解决与极坐标相关 的问题。
三角函数在物理学中的应用
振动和波动
01
在物理学中，三角函数常用于描述振动和波动现象，如简谐振
动和波动方程。
电磁学
02
在电磁学中，三角函数用于描述交流电、磁场等物理量的变化
规律。
力学
03
在力学中，三角函数可以用于描述力的合成与分解、运动轨迹
勾股定理是直角三角形的一个重要性 质，可以用于推导三角函数值。例如 ，在45度直角三角形中，利用勾股定 理可以推导出$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$。
三角函数之间存在一些基本关系式，如 $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$和 $tan theta = frac{sin theta}{cos theta}$。通过这些关系式，可以进一 步推导出特殊角度的三角函数值。例如， 利用$tan 60^circ = sqrt{3}$，可以 推导出$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$和$cos 60^circ = frac{1}{2}$。
锐角三角函数3
如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点，且AE:EB=4:1，EF⊥AC与F，连结FB.
求BC的长. 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13,
A点在直角坐标系中如图所示,
5
变二：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠， sinB= 3 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13,
B D
A
C
在本节课中,我们……
∠α的正弦 学习了一个重要概念：锐 Nhomakorabea三角函数 ∠α的余弦
∠α的正切 经历了一个探究过程：特殊到一般
体现了一种数学思想：数形结合
体验到一种学习方法：猜想 证明 归纳 应用
锐角三角函数(1)
Ａ 30°
M Ｂ
BC = 1 AB 2
CN
是一个确定的值.
当∠A=45 °呢？ 当∠A=70 °呢？
直角三角形中对边与斜边的比值，是锐角的函数
∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine). 记做sinA
如图，在Rt∆ABC中，∠C=90度，当锐角A确定， ∠A的邻对边与斜邻边是否也是一个固定值呢？为什么？ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine)
记做cosA ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent)
记做tanA
锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为 ∠A的三角函数.
注意
1.sinA,cosA,tanA是一个比值，没有单位.
2它的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的大小无关.
3.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号，单独的 sin没有意义，不能看成sin·A,cos ·A,tan ·A， 其中表示∠A的前面的 “∠”一般省略不写；
锐角三角函数
A
A的 对 边 1 斜边 2
A的 邻 边 3 斜边 2
3
cos30°=
A的 对 边 3 tan30°= A的 邻 边 3
新知探索:45°角的三角函数值
B
2
1
45.0
A的 对 边 2 sin45°= 斜边 2
A
1
C
cos45°= A的 邻 边 2
斜边 2
A的 对 边 tan45°= 1 A的 邻 边
a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正 弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”。
A
3、如图所示，在△ABC中，∠ACB B ＝90°，AC=12，AB=13， ∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和 M 点B到直线MC的距离．
C
4、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 2 求证： C
BC AB BD.
A D B
B
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC 7 , AC 21 ，
BC B' C' 即 . AB A' B '
直角三角形中，当锐角A的度数一定时，∠A的 对边与斜边的比是一个固定值．
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作 B sinA， 即
初中数学 锐角三角函数有哪些主要函数
初中数学锐角三角函数有哪些主要函数在初中数学中，主要的锐角三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）和它们的倒数函数，即余割函数（csc）、正割函数（sec）和余切函数（cot）。
下面我将详细介绍这些函数及其性质。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是指锐角三角形中某一角的对边与斜边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的对边为a，斜边为c，则正弦函数可以表示为sin(A) = a/c。
正弦函数的定义域是锐角，即0°到90°之间。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数是指锐角三角形中某一角的邻边与斜边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的邻边为b，斜边为c，则余弦函数可以表示为cos(A) = b/c。
余弦函数的定义域也是锐角，即0°到90°之间。
3. 正切函数（tan）：正切函数是指锐角三角形中某一角的对边与邻边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的对边为a，邻边为b，则正切函数可以表示为tan(A) = a/b。
正切函数的定义域是所有不等于90°的角。
4. 余割函数（csc）：余割函数是正弦函数的倒数，即csc(A) = 1/sin(A)。
它表示锐角三角形中某一角的斜边与对边的比值的倒数。
5. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，即sec(A) = 1/cos(A)。
它表示锐角三角形中某一角的斜边与邻边的比值的倒数。
6. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，即cot(A) = 1/tan(A)。
它表示锐角三角形中某一角的邻边与对边的比值的倒数。
这些锐角三角函数在数学中有广泛的应用。
通过它们，我们可以计算锐角三角形中的各个边长和角度，解决与三角形相关的问题。
此外，这些函数具有一些重要的性质，例如：-正弦函数和余弦函数的值都在-1到1的范围内。
-正切函数的值可以是任何实数，除了90°的整数倍角。
-正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为360°或2π弧度。
23.1.3一般锐角的三角函数值
解析:由于余弦函数在角为锐角时,函数值随着角度的增大而减小,所以 cos 60° <cos 40° ;正切函数在角为锐角时,函数值随着角度的增大而增大,所 以 tan 44° <tan 88° .
答案:(1)<
(2)<
余弦函数的增减性与正弦函数、 正切函数的增减性不一样,容易将余弦函数 看成和正弦函数一样而出现错误 cos 60° >cos 40° .
<
tan 68° > tan 43° . 6.已知 α,β 为锐角,若 cos α>cos β,则 α
β(填“>”“=”或“<”).
2
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
1.用计算器求一般锐角的三角函数值 【例 1】 用计算器计算 cos 44° 的结果(精确到 0.01)是( A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
������������ ������ = = ������������ ( 2+1)x
2-1.
答案
12
着角度的增大而 增大 ,余弦函数值随着角度的增大而 减小 . 3.已知一个角的三角函数值,求这个锐角,也可用 计算器 来解决. 4.用计算器求值:sin 23° 5'+cos 66° 55'≈ 0.784 1 . 5.比较大小: sin 36° < cos 54° > sin 72° ; cos 83° ;
解析:不同的计算器的操作方法不同. 答案:B
)
3
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 5 题
4
课前预习 1 2
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☆ 用科学计算器求锐角的三角函数值 例如,求 sin16°,cos42°, tan85°和 sin72° 38′25″的按键盘顺序如 下:
按键的顺序
显示结果
sin16°
ssiinn
11
66
0.275 637 355
cos42°
ccooss
44
22
0.743 144 825
tan85°
ttaann
88
的比值也随之确定.
sin A a ,
学
sin
B
c b
,
c
cos A b , c
cosB a , c
tan A a b
tan B b a
B
c
a
A
b
C
特殊角的三角函数值表 过
三角函数锐角α 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα
程
30°
1
3
3
2
2
3
45° 60°
2
2
1
2
2
3 2
1
2
3
2、探究新知： 问题：由上可知 sinA 和 cosB 有什么关系? sinB 和 cosA 又有什么关系? 回答：sinA=cosB, sinB=cosA, 即：任意锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。 sinA=cos（90°-A）, cosA=sin(90°-A) (∠A 是锐角)
课
一般锐角三角函数值
题
教 1、理解任意两个锐角角度互余时，正、余弦之间的关系。
学 目
2、利用这个性质进行简单的三角变换和相应的计算。
标
重 重点：两个锐角角度互余时正、余弦之间的关系
点 难
难点：运用性质进行三角变换和简单的运算
点
1、复习回顾：
教
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间
那么如果已知三角函数值能利用计算器求出角的度数吗？
已知三角函数值求角度,要用到
ssiinn ccooss 键tt的aan第n 二功能
ssiinn---111 ccooss---111 ttaann---11和1 22nnd键dff
例：已知三角函数值，用计算器求锐角 A:
sinA=0ห้องสมุดไป่ตู้9816 ,cosA=0.8607 ,tanA=0.1890 ,tanA=56.78
3、例题： 在△ABC 中，∠C=90°,sinA=0.25,求 cosA 的值。 解：∵ ∠C=90° ∴ sin2A+cos2A=1 ∴cos2A=1-0.252= 15 16
4、练习: 课本习题的两题
5、小结：
B
cos A 15
A
C
4
本节课从我们应该熟记的三个特殊角的三角函数值开始进行探究，找 出两个互余锐角的正余弦之间的关系，并应用这个性质可以进行一些简单的
tanA=56.78 22nnddff ttaann 55 66 .. 77 88 ==
★ 老师提示:上表的显示结果是以度为单位的,再按 以“度,分,秒”为单位的结果.
88.991 020 49
DD键...M即M...可SS 显示
3、练习 （1）用计算器求下列各式的值:
(1)sin56°,(2) sin15°49′,(3)cos20°,(4)tan29°, (5)tan44°59′59″,(6)sin15°+cos61°+tan76° (2)根据下列条件求∠θ 的大小: (1)tanθ =2.9888; (2)sinθ =0.3957; (3)cosθ =0.7850; (4)tanθ =0.8972 （3）一个人由山底爬到山顶,需先爬 40°的山坡 300m,再爬 30° 的山坡 100m,求山高(结果精确到 0. 1m). （4）求图中避雷针的长度(结果精确到 0.01m).
按键的顺序
显示结果
sinA=0.9816 22nnddff ssiinn 00 .. 99 88 11 66 == 78.991 840 39
cosA=0.8607 22nnddff ccooss 00 .. 88 66 00 77 == 30.604 730 07
tanA=0.1890 22nnddff ttaann 00 .. 11 88 99 00 == 10.702 657 49
比如这样的问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时,它走过 了 200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α =16°,那么缆车垂直上 升的距离是多少?
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=ABsin16° 你知道 sin16°等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？ 怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的
用计算器求三角函数值时,结果一般有 10 个数位.本书约定,如无特别声 明,计算结果一般精确到万分位
请同学们计算：sin0°,cos0°,tan0°,sin90°,cos90°,tan90°的值， 并观察其正余弦数值的特点。
特点：正余弦值都在 0 到 1 之间
注意：0°，90°的三角函数值我们也要牢记，
运算。
板 一、
复习
书
设 二、 新课讲授
计
三、课堂练习 四、课堂小结
课
第二课时 用计算器求三角函数值
题 教 1、熟练运用计算器，求出锐角的三角函数值，或是根据三角函数值求出相
学 应的锐角。 2、能够进行简单的三角函数式的运算，理解正弦值与余弦值都在 0 与 1 之
目 间。
标 重 1、学会应用计算器求三角函数值。
问题:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是 a,b,c. 求证:sin2A+cos2A=1,
注意：
tan A sin A , c os A
B
c
a
A
b
C
sin2A+cos2A=1,它反映了同角之间的三角函数的关系,且它更具有
灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益于智力开发.
sin72 ° 38 ′ ssiinn
25″
88
77 22 DD..MM..SS 22
55 DD..MM..SS
55
11.430 052 3
33
0.954 450 312
DD..MM..SS
对于本节一开始提出的问题,利用科学计算器可以求得: BC=ABsin16°≈200×0.2756≈55.12
当缆车继续从点 B 到达点 D 时,它又走过了 200m.缆车由点 B 到点 D 的行 驶路线与水平面的夹角为∠β =420,由此你还能计算什么? ★老师提示:
点 2、能够进行简单的三角函数式的运算。
难
点
1、复习回顾： 教 特殊角 30°,45°,60°角的三角函数值：
三角函数锐角α 正弦 sinα 余弦 cosα
学
30°
45°
过
60°
1
3
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
正切 tanα 3 3 1
3
程 2、新课探究：
特殊三角函数值我们都已熟记，那不是特殊角三角函数我们该怎么去求 呢？