数理统计第5章部分习题解答

第五章习题

5.1．假设X 和Y 为随机变量，且满足E [X ]=-2, E [Y ]=2, Var[X ]=1, Var[Y ]=9, X 与Y 的相关系数,X Y r =-0.5．试由切比雪夫不等式确定满足不等式{6}P X Y +≥c ≤的最小正数c 之值.

解： 因为

{][][]220

[][][]2cov(,)

[][]2(,E X Y E X E Y Var X Y Var X Var Y X Y Var X Var Y r X Y +=+=-+=+=++=++

192(0.5)7=++⨯-=.

2[]

(()[]6)6Var X Y P X Y E X Y ++-+≥≤由切比雪夫不等式：,有

2

77 (6)=636

P X Y +≥≤

. 得 7

36

c =.

5.2．设12,X X 为随机变量且0, []1(1,2)i i EX Var X i ===. 证明：对任意的0,λ>有2

2

121

{2}P X X λλ

+≥≤

．

证明： 不妨设12(,)X X 为二维连续型随机变量，其密度函数为12,X X f . 由于1222221

2

,[]()(,)X X E X X x y f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

+=

+⎰⎰

，

1212222222

221

2,,22(2)(,)(,)2X X X X x y x y x y P X X f x y dxdy f x y dxdy λ

λ

λλ

+≥+≥++≥=

≤

⎰⎰

⎰⎰

1222

,22221212221122(,)2111[][][]22211([]([]))([]([]))22X X x y f x y dxdy E X X E X E X Var X E X Var X E X λλλλλλ+∞

+∞

-∞-∞+≤=+=+=+++⎰⎰ 111

(10)(10)22λλλ

=+++=.

5.3．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点. 现将该四面体重复投

掷，(1,2,)i X i =为第i 次投掷向下一面的点数，试求当n ∞→时，21

1

n i i X n =∑依概率收敛

的极限．

解: 已知 (1,2,3,

)i X i =的分布列为

1

234

1/41/41/41/4

i

X P

4

4

22

21

1

115

[]() , 1,2,3,.42

i

i k k E X k P X k k i ===⋅==⋅

==∑∑

可见，2

2

2

123,,,

X X X 是独立同分布的随机变量序列，且有相同的数学期望

15

2

，满足辛钦大数定律，因此对任意0ε>，有 21115lim 02n i n i P X n ε→+∞=⎛⎫-

≥= ⎪⎝⎭

∑,即2

11n i i X n =∑依概率收敛的极限为15

2

.

5.4．设{n X }

是独立的随机变量序列，且假设

{{0.5, 1,2,

n n P X P X n ====，

问{n X }是否服从大数定律？

解

: []0.5(0.50,i E X +⨯=

22

2

2

2

[][]([]) 0.5(0.50ln , 1,2,3,.

i i i Var X E X E X i i =-=⨯+⨯-==

则1111[][]0, n n

i i i i E X E X n n ====∑∑

22111

111[][]ln , 1,2,3,.n n n

i i i i i Var X Var X i n n n n ======∑∑∑

利用切比雪夫不等式：对任意0ε>，由

1

2

111[]

11([])n

i n n i i i i i Var X n P X E X n n εε

===-≥≤∑∑∑, 得

221

1

2

2

21

11ln ln 1ln (0)n

n

n

i i i i i n n

n n P X n n εεεε===-≥≤≤

=

∑∑∑，

从而有

211ln 0lim (0)lim 0n i n n i n

P X n n εε→+∞→+∞=≤-≥≤=∑,

得 1

1lim (0)0n

i n i P X n ε→+∞=-≥=∑.

即随机变量序列{}n X 服从大数定律.

5.5．设{n X }是独立同分布的随机变量序列，且假设[]2, []6n n E X Var X ==，证明：

22212345632313,P

n n n X X X X X X X X X a n n --++++++−−→→∞，并确定常数a 之值．

解:2

32313 1,2,3,k k k k Y X X X k --=+=令.

由于{}k X 是独立同分布的随机变量序列，所以{}k Y 也是独立同分布的随机变量序列,且

223231332313[][][][]

k k k k k k k E Y E X X X E X E X X ----=+=+

232323132

([]([]))[][]

(62)2214, 1,2,.

k k k k Var X E X E X E X k ---=++=++⨯==

可见，序列{}k Y 满足辛钦大数定律的条件. 根据辛钦大数定律，得

1214, P

n Y Y Y n n

+++−−→→+∞

即

22

21234563231314, P n n n

X X X X X X X X X n n

--++++

++−−→→+∞

所以，a =14.

5.6．设随机变量X ~B(100,0.8)，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求{80100}P X ≤<的近似值．

解:由~(100,0.8)X B 知[]1000.880, []1000.80.216E X Var X =⨯==⨯⨯=. 根据棣莫弗-拉普拉斯定理作近似计算，有

(80100)(8099)P X P X ⎛⎫⎛⎫

≤<=≤≤≈Φ-Φ

()()4.75010.5=0.5=Φ-Φ=Φ-Φ=-.

5.7．一仪器同时收到50个信号k X ，k =1,2,……,50. 设150,,X X 相互独立，且都

服从区间[0，9]上的均匀分布，试求50

1

(

250)k

k P X

=>∑的近似值．

解：由~(0,9) , 1,2,

,50k X U k =，有

[]92k E X =，[]()2

12790124

k Var X =-=.

根据林德伯格-莱维定理作近似计算，有

5050112501250k k k k P X P X ==⎛⎫⎛⎫

>=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑

1≈-Φ

()1 1.3610.9130.087=-Φ=-=.