山东省泰安市新泰市新泰中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于Oxy平面的对称点为B，则( )A. B. C. 4 D. 102.若圆：和：相交，则m的取值范围是( )A. B.C. 或D. 或3.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于( )A. B.C. D.4.已知，，，则点A到直线BC的距离为( )A. B. 1 C. D.5.若圆与圆有三条公切线，则m的值为( )A. 2B.C. 4D. 66.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )A. B. 或C. D.以上都不对7.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则( )A. C的焦距为B. C的离心率为C. 圆D在C的内部D. 的最小值为10.已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是( )A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最大值为D. 的最大值为11.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是( )A. 线段上存在点F，使得B. 平面ABCDC. 的面积与的面积相等D. 三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.四棱锥的底面是一个正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是__________.14.在长方体中，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为__________.15.已知、是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B 两点，且，，则椭圆C的离心率为__________；若，则椭圆方程为__________.16.给出下列命题：直线与线段AB相交，其中，，则k的取值范围是；点关于直线的对称点为，则的坐标为；圆C：上恰有3个点到直线的距离为1；直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切．其中正确的命题有__________把所有正确的命题的序号都填上四、解答题：本题共6小题，共70分。
山东省泰安市新泰一中2020-2021学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题
（2）求线段AB的长．
20．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， ，AD＝CD＝ ，O是AC的中点，E是BD的中点．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
21．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为 万元，已知 为等差数列，相关信息如图所示.
A． B． C． D．
3．在R上定义运算 ，若 成立，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则 =（ ）
A． B． C．17D．5
5．设向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，若 三点共线，则 的最小值为（ ）.
A．4B．6C．8D．9
6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
易知当 共线，即 时， 取得最小值，由已知 ，圆半径为 ，准线为 ，
所以 的最小值是 ，所以当 是线段 与圆的交点时， 取得最小值 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．C
【解析】
向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，
∴ ， ，
∵ 三点共线，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当且仅当 ， 取等号，故 的最小值为8，故选C.
点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得 ，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
山东省新泰一中2020学年高二数学上学期期中试题(实验班)
山东省新泰一中2020学年高二数学上学期期中试题（实验班）（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）2 21.将命题"x +y >2xy ”改写成全称命题为( )2 2A. 对任意x , y € R,都有x +y > 2xy 成立B. 存在 x , y € R,使 x 2+y 2> 2xy 成立C. 对任意x >0, y >0，都有x 2+y 2>2xy 成立2 2D. 存在 x v 0, y v 0,使 x +y < 2xy 成立 2. 若向量,i_.「 I ，「 —匚，则丨—=（） A. - -B.禺.汨C. 33.设0 v a v b v1, c € R,则下列不等式成立的是( )A. a 3> b 3B.丄 v 二C. ac > bea b4. 在等差数列｛a n ｝中，a i +2a 3+a 5=12，贝U 3a 4- a 6的值为()5.已知q 是等比数列｛a n ｝的公比，则“数列｛a n ｝是递增数列”是“ 口>1”的（）A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点，P 是抛物线上的一个动点，点A 的坐标为（5,3）,则|PA|+|PF| 的最小值为（ ） A. 5B. 6C. 7D. 87. 在空间直角坐标系中，已知△ABC 顶点坐标分别是 A（- 1 , 2, 3）, B （2,- 2, 3）,）三角形&如果关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+c > 0的解集为｛x|x v- 2或x >4｝，那么对于函数应有（ ）•选择题。
D.I i i2D. (a - b ) c <0A. 6B. 12C. 24D. 48A.等腰B.锐角C.直角D.钝角B.必要不充分条件 A. f (5)v f (2)v f (- 1) B. f (2)v f (5 )v f (- 1)，则△ ABC >(C. f (- 1)v f (2 )v f ( 5)D. f (2)v f (- 1)v f (5)9. 《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日行七百里，问末12.过双曲线 =1 (a > 0 b > 0）右焦点 F 作渐近线的垂线.设垂足为 P （P 为第2象限的点），延长FP 交抛物线y=2px （ p > 0）于点Q 其中该抛物线的焦点与双曲线的P 为FQ 中点，则双曲线的离心率的平方为（B. ■'2右焦点重合，若 A..- 二.填空题（每题 2C .n+1满分20分，将答案填在答题纸上）13. 抛物线y = 2x 的焦点坐标是 __________ .214. _________________________________________________________________ 若命题“ ？ x € R, x - x+a v 0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ________________________ . 15. 等比数列｛a“的前n 项和 片二3^"1 +七，贝U t+a 3的值为 __________ .16. 已知椭圆 一；.一=1（ a > b >0）的左焦点F 1,过点R 作倾斜角为30°的直线与圆 x 2+y 2=b 2I ，b 2|三.解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）2 X2 y 3-tt+1=1所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆；q :实数t 满足不等式 t 2 -（ a - 1） t- a v 0 . （1 ）若p 为真命题，求实数t 的取值范围;日行几何•”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的 一半，连续行走7天，共走了 700里，问最后一天行走的距离是多少？ ”依据上述记载, 计算第7天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数） .（） A. 10 里B. 8 里C. 6 里D. 4 里 10. “双曲线的渐近线互相垂直”是“双曲线离心率 e 「二”的（）A.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件11. 已知不等式（x+2） （x+1）v 0的解集为｛x|a v x v b ｝，点A （a , b ）在直线 mx+nx+仁0, 其中m>0, n >0,则一_二的最小值为（） m nA. 4B. 8C. 9D. 12C.必要不充分条件 17 . （10分）已知p ：方程(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18. (12分)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S, n € N+, a2=3, S=25.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足b n= - ，数列｛b n｝的前n项和为T n,证明：T n V 1.19. (12分)如图，在三棱锥S ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC 平面ABC, SA SC 2 2 , M为AB的中点•(1)证明：AC SB ;20. (12分)2020年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为(2)求二面角S CM A的余弦值；一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级•最近北斗三号工程耗资a 元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元(a、b 是常数)，用t 表示设备使用的年数，记y=(设备单价+ 设备维修和消耗费用)十设备使用的年数. (1 )求y 关于t 的函数关系式；(2)当a=112500, b=1000时，求这种设备的最佳更新年限.21. (12分)已知等比数列｛a n ｝的公比q > 1,且a s +a 5=40, a 4=16.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 设b n =…，S n 是数列｛b n ｝的前n 项和，对任意正整数 nKI不等式S n +亠> (-1) n ?a 恒成立，求a 的取值范围.焦点构成的三角形周长为 4+2. (I)求椭圆C 的方程；(H)已知直线y=k (x - 1)与椭圆C 交于A, B 两点，若点Q 的坐标为(丄，0),则QA4是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.22. (12分)已知椭圆C:=1 (a > b > 0)的离心率为且椭圆上的一点与两个19.新泰一中实验学校2020级高二上学期期中考试数学试题答案2020.11选择题 ADDADB CDCABD填空题三•解答题17-16."3315.14.[解：(I)因为方程所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,所以 3 - t > t+1 > 0,解得-1v t v 1, 即实数t 的取值范围是｛t|- 1v t v 1｝ ；•••( 5分)(H)因为p 是q 的充分不必要条件，所以-1v t v 1是不等式t 2-( a - 1) t - a v 0的解集的真子集, 因为t 2 -( a - 1) t - a=0的两根为-1, a ,所以只需a > 1, 即实数a 的取值范围｛a|a > 1｝ •••( 10分)18.解：(1)设等差数列｛a n ｝的首项为a 1,公差为d , a 2=3, S 5=25，可得 a 1+d=3, 5a 1+10d=25, 计算得a 1=1, d=2,则 a n =a 1+ (n — 1) d=2n — 1, n €N*; •(6 分)(2)证明：a n =2n - 1, 前n 项和为S ：1) =n 2,_ 1 .-1 1ntn+l) nn+1二+—2 2=1n+1v 1.……(12分)n (1+2n -前n 项和T n =1 - 一 ■丄20.解：（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以b 为首项，b 为公差的等差数列，因此年平均维修和消耗费用为 卅那+3：+…+ 寺讥+］）（元）, 有舞（t 十。
山东省新泰一中2020年学年高中高二数学上学期期中试卷试题
山东省新泰一中2020学年高二数学上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两卷，满分150分，测试时间120分钟，第Ⅰ卷将正确的选项填涂在答题卡的相应地点，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．命题“存在x Z，使x22x m0”的否认是（）．A．存在x Z，使x22x m0B．不存在x Z，使x22x m0C．关于随意x Z，都有x22x m0D．关于随意xZ，都有x22x m02．等差数列｛a｝中，已知前15项的和S1590，则a8等于（）．nA．45B．12C．45D．6243、抛物线y216x的焦点坐标为（）A.(0,4)B.(4,0)C.(0,4)D.(4,0)4．在ABC中，“A”是“cosA 1”的（）23A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A．8，2B．2，4C．4，10D．2，86．已知m0,n0，则112mn的最小值是（）m nA．5B．4C．22D．27．若b a0，则以下不等式①ab ab；②|a||b|;③11；④b a2中，a b a b正确的不等式有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M,N两点，若MF2N 的周长为8，则椭圆方程为（）（A）x 2y21（B）y2x21（C）x2y21（D）y2x21434316151615 9.等差数列的前n项和为30，前2n项的和为100，则它前3n项的和为（）A.130 C.21010、探照灯反射镜的轴截面是抛物线y22pxx0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，(已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标为（）A、45,0B、45,0C、45,0D、45,0 2481611．数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1B．C．D．12、双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，且F2恰巧为抛物线y24x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A、2B、12C、13D、23二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若椭圆x2y21，则实数x的取值范围是. 5414．已知x＜0，则24的最大值等于. 3xx15．将全体正整数摆列成一个三角形数阵：依据以上摆列的规律，第16行从左向右的第3个数为．16、已知双曲线x2y21的一条渐近线和圆x2y24x30相切，则该双曲线的m离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．（此题满分10分）等差数列a n的前n项和记为S n，已知a1030，a2050．（１）求通项a n；（2）若S n242，求n．18．（此题满分12分）若不等式a2x22a2x40对x R恒建立，务实数a的取值范围。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。
山东省新泰二中、泰安三中、宁阳二中高二数学上学期期中联考试题
山东省新泰二中、泰安三中、宁阳二中高二数学上学期期中联考试题2021.11本试卷分I 卷选择题〔60分〕II 卷非选择题〔90分〕,总分值150分，时间120分钟第I 卷〔选择题60分〕一．选择题：本大题共12个小题每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，那么sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边区分为a ，b ，c ，假定b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，那么△ABC 的外形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假定a 1＝2，S 3＝12，那么a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角区分为75°，30°，此时气球的高是60 m ，那么河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5. 在△ABC 中，假定a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，那么A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66．等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，那么a 2＝( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8 7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，如今有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需求( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟 8．假定a >b >0，c ＜d ＜0，那么一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9. 假定数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，那么a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业消费甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，消费1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．假设消费1吨甲、乙产品可获利润区分为3万元、4万元，那么该企业每天可取得最大利润为( )A.12万元 B 万元11. {a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，假定a 3，a 4，a 8成等比数列，那么( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 假定直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，那么2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 2第II 卷〔非选择题 共90分〕二．填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，那么a ＝________. 14. 不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，那么实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，那么B 的取值范围是________． 三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解容许写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤17．〔本小题总分值10分〕f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解不等式f (1)>0 , 求a 的范围(2)假定不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，务实数a 、b 的值． 18. 〔本小题总分值12分〕设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长区分是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值． 19. 〔本小题总分值12分〕设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.20. 〔本小题总分值12分〕提高过江大桥的车辆通行才干可改善整个城市的交通状况．在普通状况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度到达200辆/千米时，形成梗塞，此时车流速度为0；当车流密度不超越20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研讨说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内经过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时) f (x )＝x ·v (x )可以到达最大，并求出最大值．(准确到1辆/小时) 21．〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边区分为a ，b ，c .sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)假定角B 为锐角，求p 的取值范围． 22. 〔本小题总分值12分〕数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比拟1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．2021年高二上学期期中考试数学试题 2021.11二．填空题：本大题共4小题，每题5分共20分13. 36 14. (－2,2] 15. 2 3 16. 0＜B ≤π3三．解答题：本大题共6小题。
2020-2021学年山东省泰安市新泰第一中学(东校)高二上第二次质量检测数学(解析版)
2020-2021学年山东省泰安市新泰第一中学（东校）高二上学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的准线方程为（ ） A ．2x =- B ．2y =- C ．132x =-D ．132y =-【答案】D【解析】试题分析：抛物线28y x =化为标准方程218x y =，则128=p ，所以准线方程为132y =-，故答案为D ． 【解析】抛物线的性质．2．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅===故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题3．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的值分别为（ ）A ．12k =-，4b =- B ．12k =，4b = C ．12k =，4b =- D ．4k =，3b =【答案】C【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直， 且直线20x y b ++=过圆心()2,0， 所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=， 所以12k =，4b =-. 故选：C.【点睛】关键点睛：根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质是解题的关键.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51 B ．57C ．54D ．72【答案】B【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a +=1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B5．经过点P (2，－2)且与双曲线C ：2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．22142x y -=B ．22124y x -=C ．22124x y -=D ．22142-=y x【答案】B【分析】设所求的双曲线方程是22x -y 2=k ，由点P （2，﹣2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．【详解】由题意知，可设所求的双曲线方程是22x -y 2=k ，∵点P （2，﹣2）在双曲线方程上，所以222--22（）=k ，∴k=﹣2， 故所求的双曲线方程是22124y x -=，故选B ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是22x -y 2=k ，属于基础题．6．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．不确定【答案】A【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值.【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A7．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．104B ．64C ．105D ．155【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则(111sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>===⋅-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是（ ）A ．20202021 B ．10102021 C ．10092019D ．20182019【答案】B【分析】根据裂项相消法即可求和. 【详解】因为()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭111113355720192021∴++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720192021⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪⎝⎭ 11122021⎛⎫=- ⎪⎝⎭10102021=， 故选：B二、多选题9．设几何体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．211A B AC a ⋅= B ．212AB AC a ⋅= C ．21CD AB a ⋅=- D ．2112AB AO a ⋅= 【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，(0,0,0)D ，1(,0,)A a a ，1(,,)B a a a ，,,222a a a O ⎛⎫⎪⎝⎭，∴11(0,,0)A B a =，(,,0)AC a a =-，(0,,0)AB a =，1(,,)AC a a a =--，()0,,0CD a =-，1(0,,)AB a a =，1,,222a a a A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴211A B AC a ⋅=，A 对；21AC AB a ⋅=，B 错；12CD A a B ⋅=-，C 对；2112AB AO a ⋅=，对． 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N )的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0【答案】AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】AB【分析】先得到P 的轨迹方程为圆，与直线()1y k x =+有交点，得到k 的范围，得到答案.【详解】222240(2)4x y x x y +-=∴-+=P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以P ，圆点C ，两切点构成正方形=PC 即22(2)8x y -+=P 在直线()1y k x =+上，圆心距d =≤计算得到k -≤≤ 故答案选AB【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到P 的轨迹方程是解题的关键.12．过点(03)P ，的直线l 与圆C ：22(2)(3)4-+-=x y 交于A 、B 两点，当30CAB ∠=时，直线l 的斜率为（ ）A．B．-C．3D【答案】BC【分析】由题意得圆心角120ACB ∠=，得圆心(2,3)C 到直线l 的距离为1，直线l 的斜率存在，设方程为3y kx =+，由圆心到直线的距离可求得k ． 【详解】由题意得120ACB ∠=，则圆心(2,3)C 到直线l 的距离为1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 与圆相切，不合题意，舍去，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，1==，解得k =， 故选：BC.三、填空题13．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 【答案】12y x =-或1y x =--. 【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.【详解】当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为12y x =-； 当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=， 又直线l 过点(2,1)A -，则211a a-+=，解得1a =-，所以直线l 的方程为1y x =--； 所以直线l 的方程为12y x =-或1y x =--. 故答案为：12y x =-或1y x =--. 【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式1x ya b+=，只适用于不过原点或不垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a ，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题. 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，2(1)n n S a =+，则4a =_____． 【答案】-16【分析】根据递推公式，求得12n n a a -=，再根据条件式子可求得1a ，进而求得数列{}n a 的通项公式，即可得4a 的值． 【详解】由()21n n S a =+ 得()1121n n S a --=+ 两式相减得122n n n a a a -=-， 化简可知12n n a a -=，即12nn a a -= 由题意可知()1121a a =+，解得12a =-所以数列{}n a 的通项公式为122n n a -=-⨯所以342216a =-⨯=-.【点睛】本题考查了递推公式的应用，等比数列通项公式的求法，特殊项的求值，属于基础题．15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为_______________【答案】【分析】首先确定准线方程，然后结合对称性求解PA PO +的最小值即可. 【详解】()28,2,0y x F =-∴-，准线方程为2x =，设(),A A A x y ，则24A x -+=，即2A x =-，代入28y x =-，得216y =，不妨取4A y =，即()2,4A -，设A 关于准线2x =的对称点为()','Q x y ，可得()6,4Q ，故PA PO OQ +≥== 即PA PO +的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查抛物线中的最值问题，对称转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图，1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是________．【答案】62【分析】先由椭圆方程，求出半焦距为3c =2122AF AF -=，利用双曲线的定义，以及离心率计算公式，即可求出结果.【详解】由椭圆方程，可得半焦距为413c =-，因为四边形12AF BF 是矩形，所以22221(2)12AF AF c +==； 由A 在椭圆上，根据椭圆定义可得，214AF AF +=， 则()()22222212121221248AF AF AF AF AF AF -=+-+=⨯-=，所以2122AF AF -=，设双曲线2C 的实轴长为2m ，则222m =2m =，所以其离心率为362c e m ===． 6【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆定义，以及题中条件，求出2122AF AF -=，根据双曲线的定义，求出其实轴长，再根据两曲线共焦点，即可求解.四、解答题17．已知平面内两点()1,2A -，()1,4B .（1）求过点()2,3P -且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程.【答案】（1）50x y --=；（2）3570x y +-=.【分析】（1）本题首先可求出AB k ，然后根据直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行即可求出直线l 的方程；（2）本题可求出()1,4B 关于直线l 的对称点B '的坐标，然后求出B A k '的值，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】（1）因为()1,2A -，()1,4B ，所以42111AB k ，因为直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行， 所以直线l 方程为()312y x +=⨯-，即50x y --=. （2）设()1,4B 关于直线l 的对称点为(),B m n '，则411145022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=-⎩，()9,4B '-，因为()1,2A -，所以()423915B A k '--==---，则反射光线所在的直线方程为()3215y x -=-+，即3570x y +-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据两直线平行求直线方程以及求反射光线所在的直线方程，若两直线平行，则这两直线的斜率相等，考查点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，是中档题.18．张先生2018年年底购买了一辆1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.1 3.7975≈，151.1 4.1772≈，161.1 4.5950≈）? 【答案】（1）55吨；（2）15年【分析】（1）分析出小轿车排出的二氧化碳的吨数构成等差数列，利用等差数列求和公式求和即可；（2）分析出林木吸收二氧化碳的吨数构成等比数列，根据题意利用等比数列求和公式列出不等式，再利用参考数据求出n 的范围即可得解.【详解】（1）设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*n a n N ∈，则11200043000a ==，2130001330003a ==，3140001430003a ==，…， 显然其构成首项为14a =，公差为2113d a a =-=的等差数列，记其前n 项和为n S ，则1010911045523S ⨯=⨯+⨯=， 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨. （2）记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为()*n b n N∈，则11 1.8b =⨯，21(110%) 1.8b =⨯+⨯，231(110%) 1.8b =⨯+⨯，…，显然其构成首项为1 1.8b =，公比为 1.1q =的等比数列， 记其前n 项和为n T ，由题意，有()()1.81 1.118 1.11551 1.1n nn T ⨯-==⨯-≥-，解得15n ≥.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.【点睛】本题考查数列的应用、等差数列求和公式、等比数列求和公式，属于基础题. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（215. 【分析】（1）由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，从而得CD PA ⊥，再由PA PD ⊥即可得出PA ⊥平面PCD ，即得证；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥. 因为PA PD ⊥，CD PD D =，CD ，PD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥平面PCD . 因为PA ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .（2）解：取AD 中点O ，连接OP ，OB ， 因为PA PD =，所以.PO AD ⊥ 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 因为PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OA ⊥，PO OB ⊥.因为CD AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =， 所以//BC OD ，BC OD = 所以四边形OBCD 是平行四边形，所以//OB CD ，所以OB AD ⊥.以OA ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1P ，所以()2,2,0AC =-，()1,0,1AP =-，()1,0,0BC =-，()0,2,1BP =- 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =， 则00AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则()1,1,1n =.设平面BPC 的法向量为(),,m a b c =，则00BC m BP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020a b c =⎧⎨-+=⎩，令1b =，则()0,1,2m =.所以15cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅. 易判断二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为155. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+. （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22n n T n +=-+.【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列的定义，证明数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2） 由（1）可知2nn n c a n n =+=⋅，利用错位相减法求和. 【详解】（1）设1nn a b n =+，则1111n n a b n ++=++， ∴112112()1211n n n n n nn n a a n b a n n n a a b a n n n+++++++====+++ ∵1112b a =+=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列（2）由（1）得，1222n n n b -=⨯=，即12n na n+= ∴2nn n c a n n =+=⋅.∴1231122232...(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+∴23412122232...(1)22nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+两式相减得231222 (22)n n n T n +-=++++-⋅∴1(1)22n n T n +=-+.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.21．已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程； （2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标. 【答案】（1）圆的方程为()()22325x y -+-=，直线AB 的方程为220x y --=；（2）()3,5或711,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出圆心即PC 中点坐标，和半径可得圆方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程；（2）设过P 的直线l 方程，整理得到：含k 的方程，进而利用韦达定理，求出点P 的坐标【详解】解：（1）圆22:8120C x y x +-+=，可化为22(4)4x y -+=，PC 中点为()3,2，25PC =∴以PC 为直径的圆的方程为圆()()22:325E x y -+-=， ∵PA AC ⊥，PB BC ⊥， ∴P ，A ，B ，C 四点共圆E ，∴直线AB 的方程是两圆公共弦所在直线方程， 两方程相减可得直线AB 的方程为220x y --=； （2）设过P 的直线l 方程为()00y y k x x -=-，由于C 与直线l 相切，得到00221d k ==+，整理得到：()()2220000442440k x y x k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，∴20122047(4)4y k k x -⋅==--- 002y x =+，代入，可得200213210x x -+=，∴03x =或72，∴点P 坐标()3,5或711,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：设过P 的直线l 方程，由于C 与直线l 相切，得到00221d k ==+，进而得到方程()()22200020442444k x y x k y k ⎡⎤--+-+=+⎣⎦，最后利用韦达定理求出点P 坐标，属于中档题22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB 的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=．其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭， 所以2y k =，代入抛物线方程得21x k=， 所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB ==因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -2212124()4t k k k k =++-2244t t =++ 244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式2121l k x =+-；（2）利用12211l y k=+-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。
山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题+答案解析(附后)
山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率为( )A. B.C.D.2.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.3.已知直线与平行，则( ) A. 1 B.C. 0D. 1或4.已知，，，则点A 到直线BC 的距离为( )A. B.C.D.5.若圆与圆恰有2条公切线，则m 的取值范围为( )A.B. C.D.6.如图，平面平面ABCD ，是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，且，E 是CD的中点，F 是AD 上一点，当时，( )A. 3B.C.D. 27.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为( )A.B.C.D.8.如图，把椭圆的长轴AB 分成6等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点，，，，，F 是椭圆C 的右焦点，则( )A. 20B.C. 36D. 30二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线C的方程为，则( )A. 曲线C可以表示圆B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10.直线与圆的交点个数可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O 为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则PB平分D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是( )A. 平面B. 四边形面积的最大值为C.若四边形的面积为，则D. 若，则四棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省新泰中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
新泰中学2019级高二上学期期中测试数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是()。
A 、||||b b a a ：：=B 、212121z z y y x x ==C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使bk a =2．已知)321(，，-A 、)112(-，，B 两点，则直线AB 与空间直角坐标系中的yOz 平面的交点坐标为()。
A 、)000(，，B 、)750(，，-C 、)31035(，，D 、)04147(，3．设ABC O -是正三棱锥，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OBy OA x OG +=OC z +，则=++z y x ()。
A 、41B 、21C 、43D 、14．已知直线l ：02)2()3(=---++m y m x m ，点)12(--，A ，)22(-，B ，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为()。
A 、)4[]4(∞+--∞，， B 、)22(，-C 、]823[-D 、)4(∞+，5．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为()。
A 、2)1()1(22=-++y xB 、2)1()1(22=++-y xC 、2)1()1(22=-+-y x D 、2)1()1(22=+++y x 6．若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为()。
A 、)022(，-B 、)220()022(，， -C 、)221()122(，， --D 、)220(，7．已知椭圆C ：12222=+by a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为()。
山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．直线2y x =在y 轴上的截距是（）A ．BC ．D 2．下列方程所表示的直线中，倾斜角为120︒的是（）A10y -+=B ．1y x =+C ．1y x +D ．1x =3．已知点()1,2,3P 沿着向量()1,2,2v =-的方向移动到点Q ，且6PQ =，则点Q 的坐标为（）A ．()0,0,1-B ．()3,2,1--C ．()1,6,7-D ．()2,4,4-4．已知圆()()22:114C x y +++=，则过点()1,2的圆C 的切线方程为（）A ．512290x y +-=B ．512290x y +-=或1x =C ．512190x y -+=D ．512190x y -+=或1x =5．已知正方体1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为上底面1111D C B A 和下底面ABCD 的中心，则下列与1AD uuu r 和11AC 共面的向量是（）A ．1BO B ．1AA C ．1AO D ．1B O6．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，D 为1BB 的中点，则1A D 与平面11AAC C 所成的角的正弦值为（）A B C D 7．已知点(),P m n 在直线20x y --=上，若以P 为圆心，以3为半径的圆与圆22:2210A x y x y ++-+=有公共点，则m 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]2,4-D ．⎡-⎣8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，E 上两动点M ，N 均位于x 轴上方，且12//MF NF ，若2MF 与1NF 的交点在y 轴上，且纵坐标为3b，则椭圆E 的离心率为（）A ．13B C ．223D 二、多选题9．已知直线()1:1210l a x y -+-=，直线2:620l x ay a ++-=，若12l l //或12l l ⊥，则a 的值可能为（）A ．4B ．3-C ．34D ．110．已知圆22:4210C x y x y +--+=，则（）A ．点()0,2在圆C 内B ．若点(),P x y在圆C 上，则x y -的最大值为1C ．若圆C 上恰有三个点到直线0x y m ++=的距离为1，则实数m 的值为3-D ．若点P 在直线20x y ++=上，点Q 在圆C 上，()0,2A ，则PA PQ +的最小值为211．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，且满足11AB BC AA ===，若点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（）A ．当13μ=时，三棱锥1C A BP -的体积为定值B ．当12λ=时，ABP 的面积S C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题12．定义2a b a a b ⊗=-⋅r r r r r，若向量)3a =- ，向量b 的模为2，向量a 与向量b的夹角为6π，则a b ⊗= .13．已知()30A -,，()3,0B ，点C ，D 满足3AC =，2133AD AB AC =+，则D 点的轨迹方程为.14．“若点P 为椭圆上的一点，1F ，2F 为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P 处的切线平分12F PF ∠的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆22:1164x y C +=，点P 是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l ，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则1MF 的最小值为.四、解答题15．已知点()1,2A -，()1,0B -，点A 关于直线10x y -+=的对称点为C .(1)求ABC V 的外接圆E 的标准方程；(2)若过点()1,3M 的直线l 被圆E 截得的弦长为2，求直线l 的方程.16．如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD AD =====，2BC =，M 在线段AD 上，且2AM =，N 为BC 的中点.(1)证明：BC AD ⊥；(2)求异面直线AN ，CM 所成角的余弦值.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为()0,1B 1F .(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且1PFQ △的面积为52，求直线l 的方程.18．如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，M ，P 分别是线段AD ，BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.(1)求证：//PQ 平面BCD ；(2)当BC DC ==2AD BD ==时，求平面PQM 与平面BCD 夹角的余弦值；(3)在（2）的条件下，若G 为ABD △内的动点，//AB 平面QGM ，且QG 与平面ABD 所成的角最大，试确定点G 的位置.19．定义：若椭圆()222210+=>>x y a b a b 上的两个点()11,M x y ，()22,N x y 满足1212220x x y y a b +=，则称M ，N 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[],M N ，已知四点2A ⎛ ⎝⎭，()1,1B ，()0,1C ，D ⎛- ⎝⎭中恰有三点在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明：有两个点G 满足“共轭点对”[],A G ，并求点G 的坐标；(3)设（2）中的两个点G 分别为1G ，2G ，设O 为坐标原点，点P ，Q 在椭圆E 上，满足//PQ OA且点P ，Q 在直线12G G 两侧，求四边形12G PG Q 的面积的最大值.。
山东省新泰市高二数学上学期期中考试试题 文 新人教A版
高二上学期期中模块结业试题 数学试题（文倾）一、选择题（每小题5分，共12小题）1. 下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ）A. )2lg()1lg(2x x ≥+B. x x 212>+ C.1112≤+x D. 21≥+xx 2. 在ABC ∆中，已知2,2,45==︒=∠BC AB A ，则=∠C （ ）A. ︒30B. ︒60C. ︒120D. ︒︒15030或 3. 已知等比数列}{n a 满足6,33221=+=+a a a a ，则=7a （ ）A. 64B. 81C. 128D. 243 4. 数列}{n a 满足*),2(1,3111N n n a a a n n ∈≥-==-，则2009a 等于（ ） A.31 B. 3 C. 31- D. 3- 5. 等比数列}{n a 的各项都是正数，等差数列}{n b 满足67a b =，则有（ ）A. 10493b b a a +>+B. 10493b b a a +≥+C. 10493b b a a +≠+D. 93a a +与104b b +的大小不确定 6. 已知10<<a ，关于x 的不等式0)1)((>--ax a x 的解集为（ ） A. }1|{ax a x x ><或 B. }|{a x x >C. }1|{a x ax x ><或 D. }1|{a x x <7. ABC ∆中，4,6,60==︒=∠b a A ，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定8. 设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，已知11,362==a a ，则7S 等于 （ ）A. 13B. 35C. 49D. 639. ABC ∆中，1,60,45=︒=︒=c C B ，则最短边的边长等于（ ）A.36 B. 26 C. 21 D. 2310. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9535=a a ，则59S S等于 （ ） A. 1 B. 1- C. 2 D.21 11. 在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若02222>--abb ac ，则A B C ∆（ ）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 是锐角或直角三角形12. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则yx z 23+=的最小值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 9二、填空题（每小题4分，共4小题）13. 在等差数列}{n a 中，103,a a 是方程0532=--x x 的根，则=+85a a 。
2020-2021学年山东省泰安一中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1. 直线l 1:ax +2y +a =0与直线l 2:2x +ay −a =0互相平行，则实数a =( ) A.4 B.−4 C.−2 D.22. 如图，已知三棱锥O −ABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 为线段MN 上一点，且MG =2GN ，若记OA →＝a →，OB →＝b →，OC →＝c →，则OG →=( )A.13a →+13b →+16c →B.13a →+13b →+13c →C.16a →+13b →+13c →D.16a →+16b →+13c →3. 若圆C 1:x 2+y 2＝1与圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +m ＝0外切，则m ＝（ ） A.19 B.21 C.−11 D.94. 已知a →=(2, −1, 2)，b →=(−1, 3, −3)，c →=(13, 6, λ)，若向量a →，b →，c →共面，则λ=( ) A.3 B.2 C.4 D.65. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A.开口向上，焦点为(0,116) B.开口向上，焦点为(0, 1) C.开口向右，焦点为(1, 0) D.开口向右，焦点为(0,116)6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤2，若将军从点A(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.√17−√2 B.2√5 C.3−√2 D.√177. 已知F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0, b >0)的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2=60∘，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.√72 B.√7 C.√14 D.√1428. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =a ，且a ∈[π12, π4]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A.[√22, √63]B.[√22, 1]C.[√63, 1)D.[√22, √32]二、多选题（共4小题）正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为CC 1、BC 、CD 、BB 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.平面AEF ∩平面AA 1D 1D =AD 1B.B 1G ⊥BCC.A 1H // 面AEFD.二面角E −AF −C 的大小为π4已知直线x sin α+y cos α+1=0(α∈R)，给出下列命题正确的是（ ） A.无论α如何变化，直线不过原点 B.直线的倾斜角是π−αC.无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k ＝1(k ∈R)，则下列结论正确的是（ ） A.当k =0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y ＝±√3x B.当k =4时，曲线C 为圆C.“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知AF 1→⋅BF 1→=0，3AF 2→＝2F 2B →，|AF 1|=2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和之间BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是（ ） A.k =12B.e =√55C.k 1⋅k 2=−45D.k 3⋅k 4=45三、填空题（共4小题）已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是________．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，则异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值为________．若△ABC 的两个顶点坐标A(−4, 0)、B(4, 0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．设F 1，F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则△PF 1F 2的面积等于________四、解答题（共6小题）已知P(3, 2)，一直线l 过点P ，①若直线l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线l 的方程；②若直线l 与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，当△OAB 面积为12时，求直线l 的方程．已知过点M (0, 2)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −1)2+y 2=1交于A ，B 两点． （1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．如图，四面体ABCD 中，平面DAC ⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AC ＝4，AD ＝CD =2√2，O 是AC 的中点，E 是BD 的中点．（1）证明：DO ⊥底面ABC ；（2）求二面角D −AE −C 的余弦值．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =±√3x ，且双曲线过点(√2, √3) （1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A ，B ，求|AB|．已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；(Ⅲ)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为12，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(−2, 1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1.【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件曲常与树程双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（共6小题）【答案】此题暂无答案【考点】待定系数因求滤线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用椭圆较标准划程直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
山东省新泰二中2020年学年高中高二数学上学期期中试卷试题
新泰二中2020学年上学期高二期中考试（数学试题）一、选择题（本大题共12小题，每题5分）1.椭圆C:y2x21的焦距为（）2A.22 B.2 C.2 D.12 .以下不等式必定建立的是()A.若a b,则a1B.若a b,则11b a b C.若a b,则ac2bc2 D.若ac2bc2,则ab3.已知a n是公差为2的等差数列,若a85a4,则a10（）A.18 B.14 C.12 D.64 .已知双曲线方程为x2y21,则双曲线的渐近线方程为()93A.y 3B.y3xC.y1xD.y3x x335 .等差数列a n中,若a1a5a939,a3a7a1127,则数列a n前11项的和为()A.121 B.120 C.110 D.1326 .x2y21的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF13,则若双曲线E:916PF2等于()7.设命题p:n N*,n22n,则p的否命题为()A.nN*,n22n B.nN*,n22n C.nN*,n22n D.nN*,n22n8.已知椭圆x2y21m0的左焦点为F14,0,则m() 25m2A.9B.4C.3?29.已知对随意的x R , 2x 2 (a1)x10 恒建立,则实数a 的取值范围是()2A.,1B.( 1,3)C.( 3, )D.3,110. 已知双曲线C:x 2y 21的离心率e5 ,且其右焦点为 F 25,0,则双曲线C 的方程为a 2b 24()A.x 2y 2 1?B.x 2 y 2 1C.x 2 y 2 1 D.4 316 99 16x 2 y 2 1?3411. 设a 0,b 0.若3是3a 与3b的等比中项,则11 的最小值为( )abA. 8B.4C.1D.1412. 两个等差数列a n 和b n ,其前n 项和分别为S n ,且S n7n2则a2a20等于()T n n 3 b 7b15A. 9B.37C.79 D.149481424二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分。
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山东省泰安市新泰市新泰中学2020-2021学年高二
上学期期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（）．
B．
A．
C．D．存在非零实数，使
2. 已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为（）
A．B．
C．D．
3. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且
，若，则（）．
D．
A．B．C．
4. 已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（）
A．B．
D．
C．
5. 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）
A．B．
C．D．
6. 若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
7. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与
圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交
双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（）
A．B．C．D．
9. 下列命题中正确的是（）
A．若、、、是空间任意四点，则有
B．若，则、的长度相等而方向相同或相反
C．是非零向量、共线的充分条件
D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若
，则、、、四点共面
二、多选题
10. 已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）
D．y=2x+1
A．y=x+1 B．y=2
C．
11. 定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）
A．
B．
C．
D．若，，则
12. 已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）
A．C的焦距为
B．C的离心率为
C．圆D在C的内部
D．的最小值为
三、填空题
13. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________．
14. 已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为______．
15. 如图，平行六面体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，，∠BAD＝∠BAA
1
＝120°，∠DAA
1＝60°，则线段AC
1
的长度是_______．
16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．
四、解答题
17. 已知圆和
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
18. 已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
19. 如图，在长方体中，，，点在线段
上．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）若二面角的大小为，求点到平面的距离．
20. 已知：椭圆，求：
（1）以为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值
为坐标原点）．
22. 如图，梯形中，，过分别作，
，垂足分别，，已知，将梯形
沿同侧折起，得空间几何体，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．。