广东省韶关市2021届新高考一诊数学试题含解析

广东省韶关市2021届新高考一诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知3sin 2cos 1,
(,
)2παααπ-=∈，则
1tan
21tan 2α
α-=+（ ） A ．12
-
B ．2-
C ．12
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】
由22
sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩
，以及3(,)2παπ∈，解得34
sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan
2
αα
-=+2
22sin
2
1cos sin cos cos sin 12cos sin 2222
222sin cos
sin
cos sin cos sin cos sin 22
2
2222221cos
2
ααααααααα
α
α
ααααααα
-⎛⎫--- ⎪
⎝⎭===
⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭+3
11sin 524cos 5
αα+
-==
=--. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 2
．函数y =
A ，集合(){}
2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）
A ．{}
12x x <≤ B ．{}
22x x -≤≤
C ．{}
23x x -<<
D ．{}
13x x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】
解：由函数24y x =
-得2
40x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；
又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}
1B x x =>， 则{}
12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.
3．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A 43
B ．3
C 23
D ．23【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，1
234432
V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2
A π
=
，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且
1142
CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．224
B ．7
2
-
C ．52
-
D ．12
-
【答案】D 【解析】 【分析】
以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r
，
由平面向量的数量积可得答案. 【详解】
如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，
由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则
31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5．已知函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t
+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+
【答案】C 【解析】 【分析】
先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程
2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而
()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数
51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】
由题可得：221
()ax x f x x
-+='（0x >），
因为函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，
于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦
因为()()()12122f x f x x x +-+()2
2
11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+
()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦5
1ln(2)4a a
=---.
设51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭， 2
54()04a h a a -'=
>，故()h a 在10,8⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭
， 所以112ln 2t <-+，
所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.
6．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪
--≥⎨⎪≤⎩
，则2m n -的最小值
为（ ） A ．-4 B ．-2
C ．0
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，画出可行域和目标函数，
2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，
根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B
.
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.
7．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5
i 12i
z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+
C ．12i -
D ．12i +
【答案】A 【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为5
12z i i
=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有5
12112z i i i i i
=
+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-
【答案】C 【解析】 【分析】
在等比数列中，由11n n a a S q
q
-⋅=-即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n
n n a a q a a q S -⋅-===---
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
9．已知抛物线()2
20y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）
A ．
B ．
C D ．-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】
解：抛物线()2
20y px p =>经过点(M
(2
22p =⨯，2p =，
()
1,0F ，MF k =
故选：A 【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 10．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设(
)*
n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成
立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立
【答案】C 【解析】 【分析】
写出命题“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆
否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设(
)*
n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假
设当(
)1n k k N
*
=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，
由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
11．设函数1,2
()21,2,1
a x f x log x x a =⎧=⎨
-+≠>⎩，若函数2
()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ） A ．12 B ．11
C ．6
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【详解】
作出函数1,2()21,2,1a
x f x log x x a =⎧
=⎨
-+≠>⎩的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），
由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3，
则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ． 【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 12．已知复数z 满足
1
1i z
=+，则z 的值为（
） A ．
12
B ．2
C ．
22
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】
因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22
112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：C 【点睛】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件260
100
x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪⎩…，则22z x y =+的最大值为________．
【答案】9 【解析】 【分析】
根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解. 【详解】 可行域如图所示，
易知当0x =，3y =时，22
z x y =+的最大值为9． 故答案为：9. 【点睛】
本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.
14．已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则32x y z -+=的最大值是__________.
【答案】14
【解析】 【分析】
令3x y t -+=，所求问题的最大值为max 2t ,只需求出max t 即可，作出可行域，利用几何意义即可解决. 【详解】 作出可行域，如图
令3x y t -+=，则3y x t =+，显然当直线经过(1,1)B 时，t 最大，且max 2t =-， 故32x y z -+=的最大值为2
124
-=
. 故答案为：14
. 【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.
15．已知实数(),x y 满足330101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
则点(),P x y 构成的区域的面积为____，2x y +的最大值为
_________
【答案】8 11
【解析】 【分析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示：
数形结合可知，可行域为三角形，且底边长8BC =，高为2， 故区域面积1
8282
S =
⨯⨯=； 令2z x y =+，变为2y x z =-+，
显然直线2y x z =-+过(6,1)B -时，z 最大，故26111max z =⨯-=. 故答案为：8；11. 【点睛】
本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.
16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为22，则该几何体外接球的表面积为__________．
【答案】12π 【解析】
三视图还原如下图：2,2,2AB BD CD BC ===
=，由于每个面是直角，显然外接球球心O 在AC
的中点.所以3R =2412S R ππ==，填12π。

【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。

外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC 中点。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 满足
112
n n a a +=且112
a = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 【答案】（1）12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）1222n n
S n n +=++-
【解析】 【分析】
（1）根据已知可得数列{}n a 为等比数列，即可求解；
（2）由（1）可得1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列，根据等比数列和等差数列的前n 项和公式，即可求解.
【详解】
（1）因为112
n n a a +=，所以112n n a a +=，又112
a = 所以数列{}n a 为等比数列，且首项为12，公比为12.故12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）由（1）知
12n n
a =，所以1
222n n n n a +=+
所以122(12)(22)22122
n n n n n
S n n +-+=+=++--
【点睛】
本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前n 项和，属于基础题.
18．已知函数()()1x
f x e ax =+，a R ∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.
【答案】（1）(1)10a x y +-+=（2）答案见解析（3）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ，可求得(0)1k f a ='=+，(0)1f =，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，()(1)x f x e ax a '=++，分0a =时，0a >，0a <三类讨论，即可求得各种情况下的()f x 的单调区间为；
（3）分0a =与0a ≠两类讨论，即可判断函数()f x 的零点个数． 【详解】
（1）()(1)x f x e ax =+Q ，
()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，
设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，
∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；
（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，
故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-
，()0f x '<；1
(a x a
+∈-，)+∞，()0f x '>； ()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-
，递增区间为1
(a a
+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-
，递减区间为1
(a a
+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-
，递增区间为1(a a
+-，)+∞；
当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-
，递减区间为1
(a a
+-，)+∞； （3）当0a =时，()0x
f x e =>恒成立，所以()f x 无零点；
当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1
x a
=-，只有一个零点． 【点睛】
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．
19．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；
（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“1k ξ=”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“0k ξ=”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（1,2,3,4,5,6k =）.写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，
6D ξ的大小关系.
【答案】（1）0.104（2）0.766（3）615432D D D D D D ξξξξξξ=>>>> 【解析】 【分析】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ，根据古典概型求出即可； （2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，
C ，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具
备两类良好习惯“，则P （E ）()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC =+++，求出即可；
（3）根据题意，写出即可． 【详解】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ， 有效问卷共有3805503304104004302500+++++=（份)， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人， 故P （A ）260
0.1042500
=
=； （2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，
C ，
根据题意，可知P （A ）0.6=，（B ）0.8=，P （C ）0.65=，
设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“
则()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++
()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+++
0.60.80.350.60.20.650.40.80.650.60.80.65=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.1680.0780.2080.312=+++ 0.766=.
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.
（3）615432D D D D D D ξξξξξξ=>>>>． 【点睛】
本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题．
20．已知a ＞0，证明：1
a a
+-1． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
利用分析法，证明a 1
32
a +＞即可． 【详解】
证明：∵a ＞0，∴a 1
a
+≥1， ∴a 1
a
+
-1≥0，
1a a
+-1， 只要证明a 121a +
＞（a 1a +）1﹣4（a 1a +）+4， 只要证明：a 13
2
a +＞，
∵a 1a +≥132
＞，
∴原不等式成立． 【点睛】
本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 21．已知函数2()22ln f x bx ax x =-+．
（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线为24y x =+，试求实数a ，b 的值； （2）当1b =时，若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，5
2
a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围．
【答案】（1）6a b ==-；（2）9
ln 28
m ≤--． 【解析】 【分析】
（1）根据题意，求得(1),'(1)f f 的值，根据切点在切线上以及斜率等于'(1)f ，构造方程组求得,a b 的值； （2）函数()f x 有两个极值点，等价于方程210x ax -+=的两个正根1x ，2x ，不等式()12f x mx ≥恒成
立，等价于()12f x m x ≤恒成立，12()f x x 3111122ln x x x x =--+，令()31
22ln ,(0)2
h x x x x x x =--+<≤，求出导数，判断单调性，即可得到()h x 的范围，即m 的范围. 【详解】
（1）由题可知()121462f b a =⨯+==-，()2
22f x bx a x
-'=+，()12222f b a ∴=-+='，联立可得6a b ==-．
（2）当1b =时，()2
22ln f x x ax x =-+，()()
221222x ax f x x a x x
-+∴=-+='， ()f x Q 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，1x ∴，2x 是方程210x ax -+=的两个正根，125
2
x x a ∴+=≥
，121x x ⋅=，
不等式()12f x mx ≥恒成立，即()
12
f x m x ≤
恒成立，
()232321111111111211122
()22ln 22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+∴==-+=-++
3111122ln x x x x =--+，
由1252x x a ∴+=≥
，121x x ⋅=，得1
1152x x +≥，1102
x ∴<≤， 令()3
1
22ln ,(0)2
h x x x x x x =--+<≤
，()232ln 0h x x x =-+<'， ()h x ∴在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上是减函数，()19ln228h x h ⎛⎫∴≥=-- ⎪⎝⎭
，故9ln28m ≤--．
【点睛】
该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目. 22．已知函数2()cos 2
a f x x x =
+（a ∈R ），()f x '
是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '
在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
存在唯一的极小值点；
（2）已知函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】
（1）设1()()cos g x h x x x '==-，'2
1()sin g x x x -=+，注意到'
()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单增，再利用零点存在性定理即可解决； （2）函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可.
【详解】
（1）由已知，'
()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'
1()()cos g x h x x x ==
-，'21
()sin g x x x
-=+，
当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
()g x 单调递增，而(1)0g '
<，'
02g π⎛⎫>
⎪⎝⎭，且'
()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上图象连续 不断.所以'
()g x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上有唯一零点α， 当(0,)x α∈时，'
()0g x <；当,
2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'
()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,
2απ⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一的极小
值点，即()h x '
在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一的极小值点；
（2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--
≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 令'
2
()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，
∴'
()4sin 280p x x x =-≤，
'
()m x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，
当1a ≤时，'
()0m x ≤，则()m x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'
()m x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
'(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
当00x x ≤<时，()0m x '
>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=
与题意不符，舍去.
综上，a 的取值范围是1a ≤ 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()4,0F m
（0m >，m 为常数），离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若90θ=︒时，
1152
9
MF NF +=
，求实数m ； ⑶试问
11MF NF
+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
【答案】（1）22
22
1259x y m m +=（2）2
m =（3）11109NF MF m +=为定值 【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为22
22
1259x y m m
+=； （2）我们要知道θ=90o 的条件应用，在于直线l 交椭圆两交点M ，N 的横坐标为4x m =，这样代入椭圆方程，容易得到
，从而解得2m =
；
（3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即θ=90o 时，由（2）得
11109NF MF m
+=；另一方面，当斜率存在即90θ≠o 时，可设直线的斜率为k ，得直线MN ：(4)y k x m =-，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到11109NF MF m +=，所以11109NF MF m
+=为定值，与直线l 的倾斜角θ的大小无关
试题解析：（1）4c m =，45e =得：5a m =，椭圆方程为22
221259x y m m +=
（2）当4x m =时，2
2
8125
m y =，得：95m y =，
于是当θ=90o 时，95m NF MF ==
，于是111099
NF MF m +==，
得到m =
（3）①当θ=90o 时，由（2）知
1110
9NF MF m
+= ②当90θ≠o 时，设直线的斜率为k ，11(,)M x y ，22(,)N x y 则直线MN ：(4)y k x m =- 联立椭圆方程有2
2
2
2
2
(925)20025(169)0k x k mx m k +-+-=，
2122200(925)k m
x x k +=+，2212
225(169)·(925)
m k x x k -=+， 11MF NF +=11
455m x -+2
1
455
m x -=12212124
10()
516254(?25
m x x m m x x x x -+-++）=222
90(1)81(1)?m k m k ++ 得
11109NF MF m
+= 综上，11109NF MF m
+=为定值，与直线l 的倾斜角θ的大小无关 考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线。