高考数学复习点拨“割补法”求解不规则几何体体积

“割补法”求解不规则几何体体积

我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．

一、来自三棱柱的截体

例1 如图1，正四面体A BCD 中，E F G H ，，，分别是棱

AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面

EFHG 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．

分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，

因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？

如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就

说明我们应该选择割．

证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一

个三棱锥，如图

1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两

部分体积相等．

当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体

例2 如图2，已知多面体ABC DEFG 中，AB AC AD ，，两两互相垂

直，平面ABC ∥平面DE F G ，平面BEF ∥平面A DGC ，2AB AD DC ，1AC EF ，则该多面体的体积为（

）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6

Ｄ．8 解法一（割）：如图3，过点C 作CH

DG 于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱

DEH ABC 和一个斜三棱柱BEF CHG ．于是所求几何体的体积为：

DEH BEF V S AD S DE △△1

1212212422．

解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为

2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．

于是所求几何体的体积为31

242V ．

三、来自圆柱的截体

例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的

最长侧面母线长为

4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．

解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．

于是所求几何体的体积为221

π212310π2V ．

解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么

所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是

21

π2510π

2V