新人教版高中数学必修2精品课件 第6章 6.1 平面向量的概念
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6.1平面向量的概念-人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
注：1.若向量a , b相等，则记为 a b ；
2.零向量与零向量相等 3.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向
线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
(5)共线向量：就是平行向量. 方向相同或相反的向量
﹒
C
B
A
O
1．判断下列向量是否为平行向量
不是
是
是
2.判断对与错
(1 ) 若非零向量AB // CD,则AB // CD (错)
6.1.1 向量的物理背景与概念 6.1.2 向量的几何表示 6.1.3 相等向量与共线向量
学习目标
• 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背 景认识向量，掌握向量与数量的区别．
• 2.会用有向线段作向量的几何表示，会用字 母表示向量．
• 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线 向量、相等向量及向量的模等概念，
P
判断题1
1.零向量没有方向（ ）
2.向量的模是一个正实数. （ ）
3.若|a|>|b| ，则a > b (
)
注意:向量不能比较大小
课本例1
6.1.3相等向量与共线向量
(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a b c
记作 a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行。
判断题2Байду номын сангаас
（1）若a //b，b // c，则a // c.
（2）若|a|=0，则a = 0.
（3）若|a|=|b|，则a = b. （4）若A、B、C、D是平面上的四点，若AB=DC,则
四边形ABCD是平形四边形
其中正确的个数是(
)
A．0 B. 1
C. 2
新教材人教版高中数学必修第二册 6.1平面向量的概念 教学课件
表示100米)
(2)求向量DA的模
东
【解】(1)如图所示：
(2)由题意可知四边形ABCD是平行四边形，
所以 |DA|=|CB|=
米.
第十一页，共十七页。
例2. 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标 出的向量中：
（1）试找出与 FE 共线的向量； （2）确定与FE 相等的向量； （3） OA 与 BC 相等吗？
第十七页，共十七页。
C
向量 AB、CD 是同一个向量。
第六页，共十七页。
两个特殊向量
1、零向量
：长度为 0 的向量。记作 0
2、单位向量
：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向是任意的
单位向量大小为1，方向不一定相同。
辨析2：请问零向量 和单位向量
有几个？
所以 0 向量只有 一个，而单位向量可 以有无数个
（3）虽然 OA // BC ，且|OA F
O
C
|=| BC |，但它们方向相反，故 这两个向量并不相等.
A
B
相反向量的定义：与a 向量长度相等，方向相反的向 量叫做 a 的相反向量.记作- a .
0 0
（ a） a
零向量的相反向量仍是零向量. a 与 a 互为相反向量.
第十三页，共十七页。
练习1. 判断下列命题是否正确，若不正确，简述理由. ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合（；×）
第七页，共十七页。
判断题
1.向量的模是一个正实数。（ ）
2.若|a|>|b| ，则a > b ( )
注:向量不能比较大小
想一想:
1.
a
向量能不能相等?
观察下列图形,你能得出答案吗
高中数学人教A版必修第二册6.1平面向量的概念课件
北 西A
45o
南
东
B
一、呈现背景 提出问题
第六章 平面向量及其应用
在本章引言中，位移是既有大小又有方向的量，力、速度、加速度 也是这样的量。对这样的既有大小又有方向的量加以抽象，就得到 了本章将要研究的向量。
共同属性： 既有大小；又有方向
“一支笔、一棵树、一本书......”抽象出数量“1”，因此可以用实数表 示年龄、身高、长度、面积的等。
③共线向量
a
b
c
c
ab
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
问题3：指出图中各向量的长度.（规定小方 格的边长为0.5）
问题4：将向量用具有同一起点O的有向线段表示.
(1)当 OM 与 ON 是相等向量时，判断M与N的位置 关系.
(2)当 OM 与 ON 是平行量，且 | OM | 2,ON 1 求 向量 MN 的长度.判断 MN 与 ON 之间方向的关系.
有向线段三要素:
起点
方向 长度
二、分析联想 寻求方法
第六章 平面向量及其应用
向量可以用有向线段 AB 来表示，我们把这个向量记作向量 AB .有向 线段的长度 | AB | 表示向量的大小。用有向线段表示向量，使向量有 了直观形象.
①向量 AB 的大小称为向量 AB的长度（或称模），记作：| AB |
五、回顾反思 拓展问题
1、什么是向量？
第六章 平面向量及其应用
2、本节课学了哪些与向量相关的概念？
第六章 平面向量及其应用
第六章 平面向量及其应用
3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③ 共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量； ⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________
高中数学人教A版必修第二册课件：6.1平面向量的概念
（1）平行向量是否一定方向相同？ （不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （长度相等且方向相同）
（2）分别写出图中与 ， ，相等的向量.
解：（1） ， ， ，是共线向量；
， ， ，是共线向量；
， ， ， 是共线向量.
（2） = = ；
= = ；
= = = .
1.回答下列问题：
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学习目标：
1.通过对生活几何表示；
3.掌握相等向量与共线向量的意义.
教学重点：
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示.
教学难点：
对共线向量的理解及掌握.
1.在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？
数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.
如何表示向量呢？
具有方向的线段叫做有向线段.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做
有向线段的长度，记作||.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有
向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
216km
解：表示A地至B地的位移，且|| ≈_______；
272km
表示A地至C地的位移，且|| ≈_______；
= 线段AB长度× 8000 000 ÷ 100 000 ≈ 216km
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （长度相等且方向相同）
（2）分别写出图中与 ， ，相等的向量.
解：（1） ， ， ，是共线向量；
， ， ，是共线向量；
， ， ， 是共线向量.
（2） = = ；
= = ；
= = = .
1.回答下列问题：
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学习目标：
1.通过对生活几何表示；
3.掌握相等向量与共线向量的意义.
教学重点：
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示.
教学难点：
对共线向量的理解及掌握.
1.在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？
数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.
如何表示向量呢？
具有方向的线段叫做有向线段.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做
有向线段的长度，记作||.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有
向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
216km
解：表示A地至B地的位移，且|| ≈_______；
272km
表示A地至C地的位移，且|| ≈_______；
= 线段AB长度× 8000 000 ÷ 100 000 ≈ 216km
新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课件新人教A版必修第二册
非零向量共有多少对?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:不妨设 AB=2,则 MN=2,AM=MB=CN=ND=1,连接 AN,DM,MC,BN,
图略,则 AN=DM=MC=BN= 5.
(1)模为 1 的相等向量有 12 对,其中与相等的有, , ,这 4
个向量组成相等的向量有 6 对,即 = , = , =
方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.
答案:(1)D (2)C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、相等向量与共线向量
1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,记作a∥b.
平行向量也叫做共线向量.
2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记
作a=b.
名师点析 向量共线包括四种情况:
方向相同,模相等;方向相同,模不等;
方向相反,模相等;方向相反,模不等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法正确的是(
)
A.所有单位向量都是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a<b三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
字母上的箭头.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点
和终点,可以写出
个向量.
解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是
, , , , , , , , , , , .
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:不妨设 AB=2,则 MN=2,AM=MB=CN=ND=1,连接 AN,DM,MC,BN,
图略,则 AN=DM=MC=BN= 5.
(1)模为 1 的相等向量有 12 对,其中与相等的有, , ,这 4
个向量组成相等的向量有 6 对,即 = , = , =
方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.
答案:(1)D (2)C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、相等向量与共线向量
1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,记作a∥b.
平行向量也叫做共线向量.
2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记
作a=b.
名师点析 向量共线包括四种情况:
方向相同,模相等;方向相同,模不等;
方向相反,模相等;方向相反,模不等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法正确的是(
)
A.所有单位向量都是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a<b三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
字母上的箭头.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点
和终点,可以写出
个向量.
解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是
, , , , , , , , , , , .
人教A版数学必修第二册6_1平面向量的概念课件
(2)向量的长度表示：向量―A→B ，a 的长度分别记作：|―A→B |，|a| . (3)特殊向量： ①长度为0 的向量为零向量，记作 0； ② 长度等于1个单位 的向量，叫做单位向量．
[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方
向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等， 但方向不一定相同．
若 a∥b，b∥c，未必有 a∥c.因为零向量平行于任意向量．
典例剖析
题型一 向量的有关概念
[典例] 给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形 ABCD 中，一定有―A→B ＝―D→C ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c.
由图知，D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2―→ 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c.
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？
与 a 的长度相等、方向相反的向量有―O→D ，―B→C ， ―AO→，―F→E .
其中所有正确命题的序号为_②__③___④__．
方法技能
1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手 (1)是否有大小； (2)是否有方向． 2．理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
活学活用
1、下列说法正确的是( D ) A．若 a 与 b 平行，b 与 c 平行，则 a 与 c 一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a|>|b|，则 a>b D．单位向量的长度为 1
其中的正确命题有( A )
[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方
向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等， 但方向不一定相同．
若 a∥b，b∥c，未必有 a∥c.因为零向量平行于任意向量．
典例剖析
题型一 向量的有关概念
[典例] 给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形 ABCD 中，一定有―A→B ＝―D→C ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c.
由图知，D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2―→ 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c.
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？
与 a 的长度相等、方向相反的向量有―O→D ，―B→C ， ―AO→，―F→E .
其中所有正确命题的序号为_②__③___④__．
方法技能
1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手 (1)是否有大小； (2)是否有方向． 2．理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
活学活用
1、下列说法正确的是( D ) A．若 a 与 b 平行，b 与 c 平行，则 a 与 c 一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a|>|b|，则 a>b D．单位向量的长度为 1
其中的正确命题有( A )
人教版数学必修第二册6.1平面向量的概念课件
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？
课前小测
边长相等
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，
an，则这n个向量( D )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
2．有下列物理量：
①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
√
√
×
×
×
其中可以看成是向量的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
C
2
B
1
A
||＝ 22 − 12 = 3
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量
(1)作出向量， ，；
(2)求的模．
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
了10 2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量， ，；
D
C
北
西
A
南
东
B
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字
母表示，例如： ， .
注意：用字母a表示向量时，印刷用黑体a，书写用Ԧ .
?
思考
(1)向量可以比较大小吗？
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段就是向量吗？
有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念
新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章平面向量及其应用 精品教学课件(共265页)
6.1 平面向量的概念
知识点一 向量的概念 既有_大__小_，又有方___向_的量称为向量．
知识点二 向量的几何表示 1．向量的表示方法
2．向量的长度(模) |A→B|(或|a|)表示向量A→B(或 a)的大__小__，即长度(也称模).
3．与向量有关的概念
知识点三 向量的平行或共线
1.理解向量概念应关注三点 (1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这 样的向量可以作任意平移． (2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两 个因素． (3)向量与向量之间不能比较大小． 2．相等向量的理解 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示， 并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致 的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
题型二 向量的表示[经典例题] 例 2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1)，用直尺 和圆规画出下列向量：
(1)O→A，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°方向上； (2)A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东方向上； (3)B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°方向上．
[基础自测] 1．已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用M→N表示 B．方向是由 M 指向 N
C．起点是 M
D．终点是 M
解析：终点是 N 而不是 M. 答案：D
2.
如图，在矩形 ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是 ()
A.D→A和B→C B.D→C和A→B C.D→C和B→C D.D→C和D→A 解析：易知A→B＝D→C. 答案：B
例 1 (1)下列各量中是向量的是( )
数学人教A版(2019)必修第二册6.1平面向量的概念(共30张ppt)
A
归纳总结
向量与数量 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数 运算、能比较大小； 向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较 大小，故向量不能比较大小.
练习
下列量中哪些是向量？
课本4页
悬挂物体受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.
解：由向量的定义和题中物理量的含义知，悬挂物体受到的拉力， 摩擦力，加速度是向量.
探究二：向量的几何表示
思考 4：由于数量可以用实数表示，而实数与 数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的 点表示，而且不同的点表示不同的数量.那么， 该如何表示向量呢？
解：(1)与 AB 相等的向量即与 AB 同向且等长的向量， 有 ED, DC ．
(2)与 AB 共线的向量即与 AB 方向相同或相反的向量，
有 BA, ED, DC, EC, DE,CD,CE ． (3)若 AB 1.5 ，则 CE EC ED DC 2 AB 3．
课本4页 2. 将向量用具有同一起点 O 的有向线段表示. (1)当OM 与ON 是相等向量时，判断终点 M 与 N 的位 置关系； (2)当OM 与ON 是平行向量，且 OM 2 ON 1时，求向量
不一定，要指明“向东南方向”才能到达.
小船的位移
大小：15 n mile 方向：东南方向
思考３：请观察下面六个物理中的量，它们有什
么区别?
质量:只有大小.
(标量)
力（重力、浮
力）、速度、
质量 (1)
力
速度 位移:既有大
(2)
(3) 小又有方向的
F
O
量.(矢量)
归纳总结
向量与数量 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数 运算、能比较大小； 向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较 大小，故向量不能比较大小.
练习
下列量中哪些是向量？
课本4页
悬挂物体受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.
解：由向量的定义和题中物理量的含义知，悬挂物体受到的拉力， 摩擦力，加速度是向量.
探究二：向量的几何表示
思考 4：由于数量可以用实数表示，而实数与 数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的 点表示，而且不同的点表示不同的数量.那么， 该如何表示向量呢？
解：(1)与 AB 相等的向量即与 AB 同向且等长的向量， 有 ED, DC ．
(2)与 AB 共线的向量即与 AB 方向相同或相反的向量，
有 BA, ED, DC, EC, DE,CD,CE ． (3)若 AB 1.5 ，则 CE EC ED DC 2 AB 3．
课本4页 2. 将向量用具有同一起点 O 的有向线段表示. (1)当OM 与ON 是相等向量时，判断终点 M 与 N 的位 置关系； (2)当OM 与ON 是平行向量，且 OM 2 ON 1时，求向量
不一定，要指明“向东南方向”才能到达.
小船的位移
大小：15 n mile 方向：东南方向
思考３：请观察下面六个物理中的量，它们有什
么区别?
质量:只有大小.
(标量)
力（重力、浮
力）、速度、
质量 (1)
力
速度 位移:既有大
(2)
(3) 小又有方向的
F
O
量.(矢量)
数学人教A版(2019)必修第二册6.1平面向量的概念(共41张ppt)
方向
起点
方向
自主思考1 “有向线段就是向量，向量就是有向线段”，这种说法正确吗？________________________________________________________________________________________________________________
新知生成
1.平行向量 方向____________的非零向量叫做平行向量.向量 与 平行，记作 . 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
任务学习一 向量的概念与表示
任务学习二 相等向量与共线向量
任务学习一 向量的概念与表示
活动探究
李老师每天下班开车5千米从学校回到家，你能据此确定李老师家的位置吗？为什么？
提示 不能确定李老师家的位置.要想确定李老师家的位置，不仅要知道李老师家与学校的直线距离，还要知道李老师家在学校的什么方向.
1.下列各量中，向量的个数为( ) ①浓度；②年龄；⑨盈利；⑩时间.
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个.
2.下列说法中正确的是( )
任务学习二 相等向量与共线向量
活动探究
某地一网格形街道分布图如图所示，方格由若干个边长为1的小正方形拼成，甲同学从 地到 地，乙同学从 地到 地，丙同学从 地到 地，分别用向量表示甲、乙、丙三位同学的位移，并判断它们有何关系.
提示 甲、乙、丙三位同学的位移分别用向量 ， 和 表示，如图所示.由图可知向量 与 的大小相等、方向相同， 与 的大小不等、方向相反.
（2） ，点 在点 正东方向.
[解析] 由于点 在点 正东方向，且 ，所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点 的位置可以确定，画出向量 ，如图所示.
起点
方向
自主思考1 “有向线段就是向量，向量就是有向线段”，这种说法正确吗？________________________________________________________________________________________________________________
新知生成
1.平行向量 方向____________的非零向量叫做平行向量.向量 与 平行，记作 . 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
任务学习一 向量的概念与表示
任务学习二 相等向量与共线向量
任务学习一 向量的概念与表示
活动探究
李老师每天下班开车5千米从学校回到家，你能据此确定李老师家的位置吗？为什么？
提示 不能确定李老师家的位置.要想确定李老师家的位置，不仅要知道李老师家与学校的直线距离，还要知道李老师家在学校的什么方向.
1.下列各量中，向量的个数为( ) ①浓度；②年龄；⑨盈利；⑩时间.
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个.
2.下列说法中正确的是( )
任务学习二 相等向量与共线向量
活动探究
某地一网格形街道分布图如图所示，方格由若干个边长为1的小正方形拼成，甲同学从 地到 地，乙同学从 地到 地，丙同学从 地到 地，分别用向量表示甲、乙、丙三位同学的位移，并判断它们有何关系.
提示 甲、乙、丙三位同学的位移分别用向量 ， 和 表示，如图所示.由图可知向量 与 的大小相等、方向相同， 与 的大小不等、方向相反.
（2） ，点 在点 正东方向.
[解析] 由于点 在点 正东方向，且 ，所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点 的位置可以确定，画出向量 ，如图所示.
人教A版高中数学必修第二册6.1《平面向量的概念》知识探究课件
（1）写出与 共线的向量;
（2）写出与 长度相等的向量;
（3）写出与 相等的向量.
解析
∴与 长度相等的向量为，, , , .
（3）与 相等的向量为 , .
C.若 = ,则与可能共线
D.若 ≠ ,则一定不与共线
解析 根据特殊向量的模和方向进行辨析.因为向量既有大小又有方向,所以只有方向相
同、大小（长度）相等的两个向量才相等,因此A错误;两个向量不相等,但它们的
模可以相等,故B错误;无论两个向量的模是否相等,这两个向量都可能共线,故C正
典型例题
视察记忆能力、概括理解能力
典例3 如图所示, △ 中三边长均不相等,, , 分别是, , 的中点.
（1）写出与 共线的向量;
（2）写出与 长度相等的向量;
（3）写出与 相等的向量.
思路
利用相等向量与共线向量的概念进行表示.
典型例题
视察记忆能力、概括理解能力
平行向量 一个向量对应着无数多条有向线段
说明：任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,
平行向量也叫做共线向量
要点辨析
对平行向量、相等向量概念的理解
1.平行向量是指方向相同或相反的非零向量,规定零向量与任意向量平行,
即对任意的向量,都有Τ/ ,这里注意概念中提到的“非零向量”.
2.对于任意两个相等的非零向量,都可以用同条有向线段来表示,并且与有
确,D错误.
探究点3 向量的关系
1.平行向量与共线向量
（1）共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在
一条直线上.当然,同一条直线上的向量也是平行向量.
（2）共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同.
人教版高中数学新教材必修第二册课件：6.1 平面向量的概念 (共21张PPT)
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点
D.一个单位圆
讲
课
人
：
邢
启 强
13
练习巩固
4.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ，
则 c 与 b 必定 平行
.
5. 2． 已知 a 、 b 是两非零向量,且 a 与b 不共线,
若非零向量
3．
c
与a
共线,则 c
与b
必定
不共线
.
讲
课
人
：
邢
：
邢
启 强
7
练习巩固
一、判断
温馨提示： 1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定
uur uur （1）若AB / /CD，则AB / /CD；
√
uuur uur
（2）若AB / /CD，则AB / /CD；
×
rr r r
rr
（ 3 ） a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
6.1平面向量的概念
新课引入
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
讲
课
人
：
邢
启 强
2
学习新知 向量的定义：
数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.
1、下列各个量中是向量的有 D F G H
.
A.密度 E.面积
B.体积 F.浮力
C.温度 G.位移
D.重力 H.速度
2.有人说:由于海平面以上的高度（海拔）用 正数表示,海平面以下的高度用负数表示,所以 海拔也是向量.你同意他的看法吗？为什么？
高一下学期数学人教A版必修第二册6.1平面向量的概念课件
如图所示，以下向量为平行（共线）向量：
Taps:(1)平行向量也可称作共线向量，两者没有区分．(2) 共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线并不 同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行并不 同．
判断正误
随堂练习
1.相等向量一定是共线向量
（√ ）
2.两个相等向量的起点与终点分别重合
思考一
在物理学中，位 移和矩离有何区 分？
思考二
年龄，身高，体重， 力，速度，面积，体 积等，这些量有什么 区分？
在以上这些量中，位移，速度，是既有 大小又有方向的量，而年龄，身高，体重， 面积等这些量则只有大小，没有方向。
01
向量： 既有大小又有方向的量称为向量
02 数量: 只有大小没有方向的量，称为数量
向量可用有向线段表示，此时有 向线段的方向就是向量的方向， 向量AB 的大小就是向量的长 度(或称模)， 向量的长度记 作AB_____.
(3)向量的表示
Taps: 1，用小写字母表示向量时，印刷用黑体字表示，如a,b,c. 书写则要在字母上方加箭头，如
a, b, c
2：当有向线段起点A与终点B重合时，AB 0
在物理学中，用“带有方向的线段”来表示位移，那么线段 和有方向的线段有什么不同？
线段只有
有向线段则有
如图所示，以A为起点，B为终点的
有向线段记作 AB ,线段AB的长度 即为有向线段AB 的长度，记作 AB
有向线段三要素： 确定了有向线段的起点，长度，方向，有向线段的终点就唯一确定了
我们可以用数轴上的点 表示实数，常见的函数可以用 图象法表示，那么向量如何表 示呢？
例 2. 如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，则与 AB 相 等的向量有________．
新教材高中数学第六章平面向量初步：向量的概念ppt课件新人教B版必修第二册
要求两个向量A→B，C→D必须在同一直线上．故填(3)．
• 规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表 示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的 关键．
对点训练
1．给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b； (2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； (4)若四边形ABCD是平行四边形，则A→B＝C→D，B→C＝D→A． 其中正确命题的序号是___(2_)_(_3_) ___．
观想象及逻辑推理素养.
必备知识·探新知
知识点 一
向量的定义与表示
(1)定义：既有___大__小___又有__方__向____的量． (2)表示方法： ①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作_有__向__线__段_____A→B．
②字母表示法：在印刷时，通常用__加__粗____的__斜__体__小__写____字母如
• 提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征， 方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了 大小和方向两个要素，二者缺一不可．
• (2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方 向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
知识点 二
特殊向量
• (1)零向量：___始_点____和_终_点______相同的向量称为零向量，
情况，故也称向量共线．
关键能力·攻重难
题型探究
题型 一 向量的有关概念
典例剖析
• 典例 1 给出下列命题： • (1)平行向量的方向一定相同； • (2)向量的模一定是正数； • (3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量 A→B 与 C→D 是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线 上．
• 规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表 示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的 关键．
对点训练
1．给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b； (2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； (4)若四边形ABCD是平行四边形，则A→B＝C→D，B→C＝D→A． 其中正确命题的序号是___(2_)_(_3_) ___．
观想象及逻辑推理素养.
必备知识·探新知
知识点 一
向量的定义与表示
(1)定义：既有___大__小___又有__方__向____的量． (2)表示方法： ①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作_有__向__线__段_____A→B．
②字母表示法：在印刷时，通常用__加__粗____的__斜__体__小__写____字母如
• 提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征， 方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了 大小和方向两个要素，二者缺一不可．
• (2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方 向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
知识点 二
特殊向量
• (1)零向量：___始_点____和_终_点______相同的向量称为零向量，
情况，故也称向量共线．
关键能力·攻重难
题型探究
题型 一 向量的有关概念
典例剖析
• 典例 1 给出下列命题： • (1)平行向量的方向一定相同； • (2)向量的模一定是正数； • (3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量 A→B 与 C→D 是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线 上．
人教A版2025高中数学必修二6.1 平面向量的概念 课件
②要注意0和
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
且| |=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
3
相等向量与共线向量
②错误，向量的模相等，大小未必相同，不一定是相等向量；
③错误，平行与模大小没有必然关系；
综上，正确答案选A.
题①
下列几个结论：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②向量 ≠ ，则 和 的方向不同；
③若 ＞|| ，则 ＞ ；
④若向量 是单位向量，向量 也是单位向量，则它们共线；
与 不一定平行.
混淆向量相等、平行、模相等
坑②
给出下列几个说法：①若 || = ，则 = 0 ；②若|| = ||，则 = ；
③若 // ，则 || = ||.其中说法正确的有(
A. 0
B. 1
C. 2
)个.
D. 3
【错解】①②对，③错，选C
【正解】①错误，正确的写法应该是 = ；
定,任意两个相等的非零向量都能用同一个有向线段表示.
共线
向量
向量 = 就意
味着|| = ||并且它
们的方向相同，但是
|| = ||只能说明它
任何一组平行向量都能平移到同一条直线上，因此， 们的模相等，方向未
平行向量也叫做共线向量，同一直线上的向量平行.
必相同.
3
相等向量与共线向量
概念辨析
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
且| |=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
3
相等向量与共线向量
②错误，向量的模相等，大小未必相同，不一定是相等向量；
③错误，平行与模大小没有必然关系；
综上，正确答案选A.
题①
下列几个结论：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②向量 ≠ ，则 和 的方向不同；
③若 ＞|| ，则 ＞ ；
④若向量 是单位向量，向量 也是单位向量，则它们共线；
与 不一定平行.
混淆向量相等、平行、模相等
坑②
给出下列几个说法：①若 || = ，则 = 0 ；②若|| = ||，则 = ；
③若 // ，则 || = ||.其中说法正确的有(
A. 0
B. 1
C. 2
)个.
D. 3
【错解】①②对，③错，选C
【正解】①错误，正确的写法应该是 = ；
定,任意两个相等的非零向量都能用同一个有向线段表示.
共线
向量
向量 = 就意
味着|| = ||并且它
们的方向相同，但是
|| = ||只能说明它
任何一组平行向量都能平移到同一条直线上，因此， 们的模相等，方向未
平行向量也叫做共线向量，同一直线上的向量平行.
必相同.
3
相等向量与共线向量
概念辨析
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段
高中数学 6-1 平面向量的概念课件 新人教A版必修第二册
【对点练习】❸ 已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 C 地，再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地．
(1)作出向量A→B，B→C，C→D，D→A； (2)问：D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
向量的几何表示及应用
典例 3 某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向 按东北方向走了 10 2米到达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点．
(1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求A→D的模． [分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向 量．
D．2 3
知识点2 相等向量与共线向量 1．平行向量：方向___相__同__或__相__反___的非零向量叫做平行向量，向
量a与b平行，记作___a_∥__b____；规定：零向量与任意向量__平__行____，即 对任意向量a，都有___0_∥__a___．
2．相等向量： 长度__相__等____ 且方向___相__同___的向量叫做相等向 量，记作a＝b．
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断． [解析] 0表示数字，而0有方向，故①不正确． 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置 无关，故②不正确． 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都 在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确． ④显然正确，故所有正确命题的序号为③④．
[解析] (1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D， D→A，如图所示．
(2)依题意知，△ABC 为正三角形，所以 AC＝2 000 km．
新人教A版高中数学必修2课件：6.1 平面向量的概念
[方法技巧] 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量， 再确定哪些是同向共线的向量．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线 段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段 的终点为起点、起点为终点的向量．
4．向量的相关概念：
向量的长 度(模) 零向量
单位向量
向量―A→B 的大小称为向量―A→B 的长度(或称模)，记作|―A→B |
长度为_0_的向量叫做零向量，记作_0_ 长度等于_1_个__单__位__长__度__的向量，叫做单位向量
(二)基本知能小试
1．判断正误： (1)向量的模是正实数． (2)单位向量的模相等． (3)有向线段就是向量．
______________． 答案：―B→A ，―D→C ，―C→D
题型一 向量的有关概念
【学透用活】 向量相关概念的注意点 (1)在用单个小写字母表示向量时，印刷用黑体 a ，b ，c，书写用a→，b→，→c， 注意区分． (2)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向． (3)当有向线段的起点 A 与终点 B 重合时，―A→B ＝0.
(4)要注意 0 与 0 的区别及联系，0 是一个实数，0 是一个向量，且有|0|＝0.
[典例1] (多选)下列说法正确的是
()
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b
C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
点，且―C→N ＝―M→A . 求证：―D→N ＝―M→B . 证明：因为―A→B ＝―D→C ，所以|―A→B |＝|―D→C |，且 AB∥CD， 所以四边形 ABCD 是平行四边形． 所以|―D→A |＝|―C→B |，且 DA∥CB.
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如： a b c
平行向量又叫做共线向量
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的
一点O ，这时它们是不是平行向量？
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
6
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
C. 2
D. 3
变式：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
9
2.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向
按东北方向走了10 2米到达C点，到达C点后又改变方
向向西走了10米到达D点
作出向量AB,BC,CD
D C
1m
北
西
A
B东
南 10小结:来自定义2.向量的模是一个正实数。
3.若|a|>|b| ，则a > b
注:向量不能比较大小
❖ 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，
❖ 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，
“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法
是错误的.
5
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
平面向量的概念
1
A B
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
2
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
1 几何表示法： 有向线段（ 起点、方向、长度 ）
2 字母表示法： a ，b AB
3
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
7
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量
记作 |AB| 或 | a |
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
4
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
8
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。 （2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b
（4）若A、B、C、D是不共线的四点， 若AB=DC，则四边形ABCD是平形四边形。
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
向量
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
零向量 单位向量
向量间
平行（共线）
的关系
相等
11