二重积分的概念与性质教案

7.1二重积分的基本概念（教案）

主讲人：孙杰华

教学目的：理解二重积分的概念、性质

教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容：

一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积

设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体.

与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆

，

，n σ∆，以这些小区

域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω

，

，n ∆Ω.

（假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,

i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1

n

i i V ==∆Ω∑．

图7.1

(2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ∆Ω≈∆∀∈∆.

(3)整个曲顶柱体的体积近似值为

1

(,)n

i i i i V f ξησ=≈∆∑.

(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则

1

lim (,),(,)n

i i i i i i i V f λξησξησ→==∆∀∈∆∑.

2．二重积分的定义

设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域

12,,,,n σσσ∆∆∆

其中,i σ∆既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径.

1max{}(,)i i i i i n

λλξησ≤≤=∀∈∆，

作乘积(,)(1,2

,)i i i

f i n ξησ∆=，

作和式

1

(,)n

i

i

i

i f ξησ

=∆∑，

若极限()0

1

lim

,n

i

i

i

i f λξησ

→=∆∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记

作

(),D

f x y d σ⎰⎰.即

(),D

f x y d σ=⎰⎰()0

1

lim ,n

i i

i i f λξησ

→=∆∑．

其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,

,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域.

V n

3．对二重积分定义的说明：

(1)极限()0

1

lim

,n

i

i

i

i f λξησ

→=∆∑的存在与区域D 的划分及点(,)i i ξη的选取无关。

(2)

(),D

f x y d σ⎰⎰中的面积元素d σ象征着积分和式中的i

σ

∆.

图7.2

由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d σ记作dxdy (并称dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为

(),D

f x y dxdy ⎰⎰.

(3)二重积分的存在定理

若(),f x y 在闭区域D 上连续,则(),f x y 在D 上的二重积分存在. 注 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在.

(4)若(),0f x y ≥,二重积分表示以(),f x y 为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积.

练习：利用二重积分的几何意义求

222,D

D x y a σ+≤其中：。

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质 性质1（线性性）

()()()()[,,],,D

D

D

f x y

g x y d f x y d g x y d αβσασβσ

+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,

其中: ,αβ是常数．

性质2（对区域的可加性）

若区域D 分为两个部分区域12,D D ,则

()()()1

2

,,,D

D D f x y d f x y d f x y d σσσ

=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

性质3 若在D 上,(),1f x y ≡, σ为区域D 的面积,则

1D

D

d d σσσ==⎰⎰⎰⎰.

几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积． 练习：求

223

5x y dxdy +≤⎰⎰

。

性质４ 若在D 上,()(),,f x y x y ϕ≤,则有不等式

()(),,D

D

f x y d x y d σϕσ

≤⎰⎰⎰⎰.

特别地,由于()()(),,,f x y f x y f x y -≤≤，有

()

(),|,|D

D

f x y d f x y d σσ

≤⎰⎰⎰⎰.

练习：P119，1 性质５（估值不等式）

设M 与m 分别是(),f x y 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是M 的面积,则

(),D

m f x y d M σσσ

≤≤⎰⎰.

练习：P119，3

性质６（二重积分的中值定理）

设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点(),ξη,使得

()(),,D

f x y d f σξησ

=⎰⎰.

三、小结：二重积分的定义；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质． 四、作业：P119，2