二重积分的概念与性质教案

7.1二重积分的基本概念（教案）
主讲人：孙杰华
教学目的：理解二重积分的概念、性质
教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容：
一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积
设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体.
与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆
，
，n σ∆，以这些小区
域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω
，
，n ∆Ω.
（假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,
i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1
n
i i V ==∆Ω∑．
图7.1
(2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ∆Ω≈∆∀∈∆.
(3)整个曲顶柱体的体积近似值为
1
(,)n
i i i i V f ξησ=≈∆∑.
(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则
1
lim (,),(,)n
i i i i i i i V f λξησξησ→==∆∀∈∆∑.
2．二重积分的定义
设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域
12,,,,n σσσ∆∆∆
其中,i σ∆既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径.
1max{}(,)i i i i i n
λλξησ≤≤=∀∈∆，
作乘积(,)(1,2
,)i i i
f i n ξησ∆=，
作和式
1
(,)n
i
i
i
i f ξησ
=∆∑，
若极限()0
1
lim
,n
i
i
i
i f λξησ
→=∆∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记
作
(),D
f x y d σ⎰⎰.即
(),D
f x y d σ=⎰⎰()0
1
lim ,n
i i
i i f λξησ
→=∆∑．
其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,
,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域.
V n
3．对二重积分定义的说明：
(1)极限()0
1
lim
,n
i
i
i
i f λξησ
→=∆∑的存在与区域D 的划分及点(,)i i ξη的选取无关。

(2)
(),D
f x y d σ⎰⎰中的面积元素d σ象征着积分和式中的i
σ
∆.
图7.2
由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d σ记作dxdy (并称dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为
(),D
f x y dxdy ⎰⎰.
(3)二重积分的存在定理
若(),f x y 在闭区域D 上连续,则(),f x y 在D 上的二重积分存在. 注 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在.
(4)若(),0f x y ≥,二重积分表示以(),f x y 为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积.
练习：利用二重积分的几何意义求
222,D
D x y a σ+≤其中：。

二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质 性质1（线性性）
()()()()[,,],,D
D
D
f x y
g x y d f x y d g x y d αβσασβσ
+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,
其中: ,αβ是常数．
性质2（对区域的可加性）
若区域D 分为两个部分区域12,D D ,则
()()()1
2
,,,D
D D f x y d f x y d f x y d σσσ
=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

性质3 若在D 上,(),1f x y ≡, σ为区域D 的面积,则
1D
D
d d σσσ==⎰⎰⎰⎰.
几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积． 练习：求
223
5x y dxdy +≤⎰⎰。

性质４ 若在D 上,()(),,f x y x y ϕ≤,则有不等式
()(),,D
D
f x y d x y d σϕσ
≤⎰⎰⎰⎰.
特别地,由于()()(),,,f x y f x y f x y -≤≤，有
()
(),|,|D
D
f x y d f x y d σσ
≤⎰⎰⎰⎰.
练习：P119，1 性质５（估值不等式）
设M 与m 分别是(),f x y 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是M 的面积,则
(),D
m f x y d M σσσ
≤≤⎰⎰.
练习：P119，3
性质６（二重积分的中值定理）
设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点(),ξη,使得
()(),,D
f x y d f σξησ
=⎰⎰.
三、小结：二重积分的定义；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质． 四、作业：P119，2。