正弦定理和余弦定理ppt课件
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正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
[高三数学]正弦定理和余弦定理课件
![[高三数学]正弦定理和余弦定理课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e4b379692e60ddccda38376baf1ffc4fff47e27d.png)
工具
第三章 三角函数
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的 原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
工具
第三章 三角函数
工具
第三章 三角函数
从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主 要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常 与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．
又∵ 2＜ 3，即 a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.
答案： B
工具
第三章 三角函数
2．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列，且 c＝2a，则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4Dຫໍສະໝຸດ 3解析： 由已知得 b2＝ac，c＝2a， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝5a24－a22a2＝34. 答案： B
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，S△ABC＝3 43，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解析： (1)方法一：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0. ∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，sin B(2cos A－1)＝0， ∵0＜B＜π，∴sin B≠0，cos A＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2cbcos A，
将 a＝2 7及①代入，得 c2＋b2＝52, ③
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)
训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝ ，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形 例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】 由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，
6.4.3第三课时余弦定理、正弦定理应用举例PPT课件(人教版)
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
D.α＋β＝180°
解析 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β，故应选B.
答案 B
3.两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东
60°，则A，B之间的距离为( )
A. 2a km
B. 3a km
C.a km
D.2a km
解析 △ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝ 2a.
《正弦定理余弦定理》课件
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基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
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定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
正弦定理、余弦定理的综合应用 课件
规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形 解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角 形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定 理，必要时也可以列出方程(组)求解．
解 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝ b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和 角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角 的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为
边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角 (如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出b与c， 在有解时只有一解
已知条件 应用定理
解 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得 a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1 ＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°， ∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
正弦定理是三角形中一个基本的数学定理，用于描述三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
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正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
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在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
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第三章 三角函数
栏目导引
3．在△ABC 中，若 tan A＝34，C＝120°，BC＝2 3，则 AB＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析： 因为 tan A＝34，所以 sin A＝35，由正弦定理siAnBC＝sBinCA，
可得 AB＝BCsi·nsinA C＝2
3× 3
3 2 ＝5.
5
答案： C
由正弦定理，得 sin B＝ 7sin A.
∵B＝π3，∴sin
A＝
21 14 .
又 b＝ 7a＞a，则 B＞A，
∴cos A＝ 1－sin2A＝5147.
∴tan
A＝csoins
AA＝
3 5.
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第三章 三角函数
栏目导引
方法三：∵c＝3a，由正弦定理，得 sin C＝3sin A.
∵B＝π3，∴C＝π－(A＋B)＝23π－A.
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第三章 三角函数
栏目导引
(2)方法一：将 c＝3a 代入 a2＋c2－b2＝ac，得 b＝ 7a. 由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝5147.
∵0＜A＜π，∴sin A＝
1－cos2A＝
21 14 .
∴tan
A＝csoins
AA＝
3 5.
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第三章 三角函数
栏目导引
方法二：将 c＝3a 代入 a2＋c2－b2＝ac，得 b＝ 7a.
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第三章 三角函数
栏目导引
1．已知△ABC，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，a＝ 2，b
＝ 3，B＝60°，则 A 等于( ) A．30°
B．45°
C．45°或 135°
D．30°或 150°
解析： 由正弦定理得sina A＝sinb B，
∴sin A＝asibn B＝
2sin 60°＝ 3
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第三章 三角函数
栏目导引
4．在△ABC 中，如果 A＝60°，c＝ 2，a＝ 6，则△ABC 的形状是 ________．
解析： 由正弦定理sina A＝sinc C， ∴sin C＝12 ∴C＝30°(a>c，C 只能是锐角)． 答案： 直角三角形
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第三章 三角函数
栏目导引
5．在△ABC 中，如果 A＝60°，c＝4，a＝ 6，则三角形解的情况是 ________．
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第三章 三角函数
栏目导引
(2010·浙江卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，已知 cos 2C＝－14.
(1)求 sin C 的值； (2)当 a＝2,2sin A＝sin C 时，求 b 及 c 的长．
解析： (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－14及 0＜C＜π，
2ca
cos B＝
；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab .
④ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sinaA.
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第三章 三角函数
栏目导引
【思考探究】 在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的什么条件？ 提示： 充要条件． 因为 sin A＞sin B⇔2aR＞2bR⇔a＞b⇔A＞B.
∴sin23π－A＝3sin A. ∴sin23πcos A－cos23πsin A＝3sin A.
∴
3 2 cosA＋12sin来自A＝3sinA.
∴5sin A＝ 3cos A.
∴tan
A＝csoins
AA＝
3 5.
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第三章 三角函数
栏目导引
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种 方法：
第7课时 正弦定理和余弦定理
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第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
栏目导引
正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc C
＝
2R
a2＝ b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝ c2＋a2－2ca·cos_B ，
(R 为△ABC 外接圆半径) c2＝ a2＋b2－2ab·cos C ．
解析： ∵csin A＝4sin 60°＝2 3＞ 6，∴三角形无解． 答案： 无解
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第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
栏目导引
1．利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的 对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．
2．利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角， 求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情形下的三角形是 唯一确定的，所以其解也是唯一的．
22，
又∵ 2＜ 3，即 a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.
答案： B
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第三章 三角函数
栏目导引
2．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列，且 c＝2a，则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4
D. 3
解析： 由已知得 b2＝ac，c＝2a， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝5a24－a22a2＝34. 答案： B
所以 sin C＝
10 4.
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第三章 三角函数
栏目导引
(2)当 a＝2,2sin A＝sin C 时，由正弦定理sina A＝sinc C，得 c＝4.
由
cos
2C＝2cos2C－1＝－14及
0＜C＜π，得
cos
C＝±
6 4.
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得
b2± 6b－12＝0(b＞0)，
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第三章 三角函数
栏目导引
定理
正弦定理
余弦定理
变形形式
①a＝ 2Rsin A ，b＝
2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C a
；
b
②sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，
c
sin C＝ 2R ；
③a∶b∶c＝ Sin A∶sin B∶sin C ；
b2＋c2－a2
cos A＝
2bc
；
c2＋a2－b2
解得 b＝ 6或 2 6.
所以bc＝＝4，6， 或bc＝＝42. 6，
工具
第三章 三角函数
栏目导引
【变式训练】 1.已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边， 且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小； (2)若c＝3a，求tan A的值． 解析： (1)由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝12. ∵0＜B＜π，∴B＝π3.
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系， 通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状， 此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．