2.5等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt

• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 ,q 2
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1
27, a9
12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
(3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23,L , 263.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
麦粒的总数为:
S64 1 2 22 23 L 263.
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 L 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 即2S64
2(1
2 22
2 22
23
L
23
L
263
是错26位3 )相.
2减64法. !
(2)
2S64 S64 (2 2那2如么果这213些00麦02粒粒4 麦的粒L总重质为量246就30克是，264 )
a1 anq 1 q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn
(1 q)Sn a1 a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时 :
Sn
a1 a1qn 1 q
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31.
答案：31
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
D．7
解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
• 5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为 Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．
解析： ①当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； ②当 q≠1 时，a111－－qq3＝3a1q2， 因为 a1≠0，所以 1－q3＝3q2(1－q)， 因为 q≠1， 所以 1－q≠0，化简得 1＋q＋q2＝3q2，
(1 273020多2 亿2吨3。根2据4 统…计资料26显3)
示，全世界小麦的年产量约为
S64
264
1 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
Sn a1 a2 a3 an1 an
细节决定成败 态度决定一切
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
a a q (2) 通项公式:
n-1
n= 1•
(a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am•qn-m m+n=p+q an•am = ap•aq
1 ( 1)
81
3Leabharlann 例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
2, n
5, a1
1 2
.求a
n
和sn
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81q来 2一Saqn2,1题2)得 n考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得