《求二次函数的解析式》 经典课件

解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－3）
由条件得： 点C( 0,-3)在抛物线上
所以：a(0＋1)(0－3)＝－3 得： a＝1
故所求的抛物线解析式为 y= (x＋1)(x－3) 即：y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+
例题选讲
c 例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o
B 5x
两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。
-2.5 D C
15、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A
得： a＝1 b= -2 c= -3
故所求的抛物线解析式为 y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+c
例题选讲
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
解：根据题意得顶点为(－1,4)
y
由条件得与x轴交点坐标
(2,0)；(-4,0） 设二次函数解析式：y＝a(x＋1)2+4
x o
有0＝a(2＋1)2+4，得a＝
9 4
故所求的抛物线解析式为 y= 9 (x＋1)2＋4
4
大显身手
1、已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12） 试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时 经过 这四个点？如果存在，请求出关系式； 如果不存在，请说明理由.
2、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
3、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、B(3,0)，
与y轴交于点C，且BC＝2 3 ，求二次函数关系式？
3、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、B(3,0)， 与y轴交于点C，且BC＝2 3 ，求二次函数关系式？
实际应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱 的最大高度为16m，跨度为40m．施工前 要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢?
分析:通常要先建立适当的直角坐标系,再 写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算,放样画图.
来自百度文库 y 16
-20
20 x
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱 的最大高度为16m，跨度为40m．现把它 的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛 物线的解析式． 解 设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
法一：根据题意可知:抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点 可得方程组
解得a 1 , b 8 , c 0
∴
25 5 所求抛物线解析式为 y
1
x2
8x
25 5
有一个抛物线形的立交桥拱，这个
桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．
现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
法 二
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
知识应用
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
解： 设所求的二次函数为 y＝ax2＋bx＋c
由条件得： 0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c
x＝1，图象上最低点P的纵坐标为
-8，图象经过点(-2，10)，求这 个函数的解析式．
6、已知抛物线的顶点在原点,且 过(2,8),求这个函数的解析式。
7、抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0) 与（12，0）， 最高点的纵坐标 是3，求这条抛物线的解析式
8、已知抛物线与X轴交于A （-1，0），B（1,0）并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？
3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) 且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为_y__2_(_x__1_)(_x__2)
❖1.已知一个二次函数的图象 经过（－1，8），（1，2）， （2，5）三点。求这个函数的 解析式
1.根据下列条件，求二次函数的解析式：
1、 已知抛物线经过 (2,0),(0,-2), (-2,3) 三点.
2、已知抛物线的顶点坐标为 (-1,-2)， 且通过点(1,10).
3、已知抛物线与x轴交点的横坐标为2和1，且通过点(2,8).
2、已知抛物线的顶点为（-1，-3）与 y轴交点为（0，－5）求抛物线的解 析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
由题意得： 点( 0,-5 )在抛物线上 a-3=-5, 得a=-2
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
小试牛刀
1、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7) 三点，则该二次函数关系式为__y_____12_x_2___52_x_。 2、若二次函数的图像有最高点为(1,－6)，且经过点 (2，－8），则此二次函数的关系式__y___2_(_x__1_)2__6__
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式． 解： 设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4， 且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
B 5x
的解析式。
C
13、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o
B 5x
两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。
-2.5 D C
14、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
12、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图 所示：
（1）求此抛物线的解析式； y
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次
A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o 两个交点,并写出此时抛物线 -2.5 D
9、 已知抛物线y=-2x2+8x-9的 顶点为A点，若二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过A点， 且与x轴交于B（0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次 函数的解析式。
10、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图 象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，6）。求a、b、c。
11、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线 y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1 上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足 此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
4、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴 为x=3，最小值为－2，，且过点 （0，1），求此函数的解析式。
4、抛物线的对称轴是x=2，且过 点（4，－4）、（－1，2），求 此抛物线的解析式。
5、已知二次函数的对称轴是直线
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
如果要求二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的a、b、c，至少需要几个点的坐标？
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
巩固提高
1、已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12） 试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时 经过 这四个点？如果存在，请求出关系式； 如果不存在，请说明理由.
2、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且 经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
函数模型的选择
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一般式： y=ax2+bx+c
例题选讲
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o
B 5x
两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。
-2.5 D C
4、m为 时，抛物线 y 2x 2 mx 4
的顶点在x轴上。
5、已知一个二次函数的图象经过(－1,10)， (1,4),(2,7)三点, 求这个函数的解析式。
6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。
的距离为4,求此二次函数的解析式.
解：设函数关系式 y=a(x-3)2-2
顶点式： ∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3
y=a(x-h)2+k
∴过点(5,0)或(1,0)
把(1,0)代入得, 4a=2
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
a=
1 2
∴y=
1 2
(x-3)2-2
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原