数学分析教案华东师大第三版

§6 重积分的应用

(一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．

(二) 教学内容：

曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式

和引力的计算公式．

(三) 教学建议：

要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题．

________________________________________

一 曲面的大面积

设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程

D y x y x f z ∈=),(,),(

所确定的曲面S 的面积i σ∆

==i i i i 1

1当 0||||→T 时，可用和式∑=∆n

i i

A 1的极限作为S 的面积 首先计算i A ∆的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则

),(),(11

cos 22

i i y i i x i f f ηξηξγ++=

i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ∆++=∆=

∆),(),(1cos 22 ∑∑==∆++=∆n

i i i i y i i x n i i f f A 1

221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得

到

∑=→∆++=∆n

i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D

i i y i i x ⎰⎰++=),(),(122

或 ∑⎰⎰=→=∆=∆n

i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z +=

在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积 解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ⎰⎰++=

∆),(),(122 x y x D ≤+22:

所求曲面方程为 ⇒+=

22y x z 2222,y x y

z y x x

z y x +=+=

π4

222=

==∆⎰⎰D dxdy S D 例2 演示

例3 演示

若空间曲面S 由参数方程

D v u v u z z v u y y v u x x ∈===),(,),(,),(,),(

确定，其中在D 上具有连续一阶偏导数，且

)

,(),(,),(),(,),(),(v u x z v u z y v u y x ∂∂∂∂∂∂ 中，至少有一个不等于零，则曲面S 在点),,(z y x 的法线方向导数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂),(),(,),(),(,),(),(v u y x v u x z v u z y 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为

22221|),(),(|)),(),(()),(),(()),(),(()

,()

,(F EG v u y x v u y x v u x z v u z y v u y x -∂∂=∂∂+∂∂+∂∂∂∂

其中

ψcos ,,,22222222R F EG z y x G z z y y x x F z y x E v v v v u v u v u u u u =-++=++=++=

当 0),(),(≠∂∂v u x z 时，作变换 ),(,),(v u y y v u x x ==，则有 dudv v u y x z n dxdy z n S D ⎰⎰⎰⎰

∂∂==|)

,(),(|),cos(1),cos(1 由课本p254, (4) dudv F EG S D 2-=⇒⎰⎰

例 2 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积，设球面方程为

ψ

ϕψϕ

ψsin sin cos cos cos R z R y R x ===

ψ

ψψψψcos cos ,0,

22222

22R F EG R G F R z y x E =-===++=

)

sin )(sin (cos 122122212

1

ϕϕϕϕψ

ψϕϕϕψψ--==⎰⎰R d R d S