期望与方差ppt课件

2. 几个典型离散型随机变量的数学期望 （1） 二点分布
设 X 的分布律为
X
01
P
qp
则 X 的数学期望 EX 1 p 0 q p
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(2) 二项分布
设 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1,...,n
计算 X 的数学期望。
n
解：EX
kn!
pk qnk
k0k!(n k)!
解： EX
kpk
k 0
k
k
e
k1 k!
k 1
e
t
e
k1(k 1)!
t0 t!
Ex： 验证超几何分布：
p{X
k}
C C k nk M NM C Nn
的数学期望
EX nM N
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3. 连续型随机变量的数学期望定义
对于连续型随机变量 X，自然就过度到用积分来定义。
定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 p(x)，若积分
为二元函数，则定义
E[ f (X ,Y )] f (x, y) p(x, y)dxdy
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【例 4】设随机变量 X ~ N (, 2 )，求 Y=aX+b 的数学期望。
解 首先不难说明 Y 也服从正态分布。其次,由定义
p(x)
1
e(
x )2 2 2
2
EY (ax b) p(x)dx a b，即 Y 的均值为(a b)。
本节主要讨论随机变量的两个数字特征，即数学期望(expected value or mean value)和方差(variance)的概率性质。
第一节 随机变量的数学期望
1
1. 离散型随机变量的数学期望定义 为描述随机变量 X 取值的平均程度，引进数学期望的数
学定义。 考虑一组试验数据的平均值： -1.2, 2.0, 0,1.8, 2.0, 1.9, 0, 1.9, 1.7, 1.9。 则
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【例 2】设连续型随机变量 X 的密度函数
p(x) 1
(1 x2 )
, x
，证明其数学期望不存在。
证明：由于 |
x
|
p(x)dx
2
0
xdx (1 x2 )
，所以
X
的数
学期望不存在。
4. 几个典型连续型随机变量的数学期望
（1）均匀分布：设 X 在[a , b]上均匀分布，求其数学期望 EX。
到站 8:10 8:30 8:50 时刻 9:10 9:30 9:50
概率 0.15 0.55 0.30
假设某乘客8:20到达汽车站，计算他候车时间的数学期望。
解：首先计算候车时间X（分钟）的分布律
X 10 30 50
70
90
p 0.55 0.30 0.0225 0.0825 0.045
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所以候车时间的数学期望为EX=25.45（分钟）
x 1 (1.2 0 2 1.7 1.8 1.9 3 2.0 2) 1.2 10
=1.2 1 0 2 1.7 1 1.8 1 1.9 3 2.0 2
10 10
10
10
10
10
2
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,... 若级数| xk | pk ，则称 X 的数学期望存在，并记为 E(X)
X0 1
2
3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
于是平均死亡数为
x EX 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 1.8
4
【例2】某长途汽车站8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆汽车到站 但到站的时刻不确定，且两辆汽车到站时间是独立的，其规律为
| x | p(x)dx ，则称随机变量 X 的数学期望存在，且记
EX xp(x)dx
为 X 的数学期望。
x,0 x 1
【例 1】设 X 的概率密度函数为 p(x) 2 x,1 x 2 ，
0,
证明：EX=1。
注：若 EX 存在，且 p(x c) p(c x)，则 EX=c。
n
n( n
1)!
pp q k 1 [(n1)(k 1)]
k1(k 1)![(n 1) (k 1)]!
np C p q n1 t
t [(n1)t ]
n1
np
t0
即二项分布的数学期望 EX np
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(3) 泊松分布.设 X 分布律为
P{X k} k e , k 0,1,...
k!
计算 X 的数学期望。
第三章 随机变量的数字特征
(Characteristic values of random variables) 尽管随机变量的概率分布全面地反映了其概率性质，但是， 在具体问题中，想求之经常是难以完成乃至无法做到。而有时 只需知道其中的参数就够了。例如，如果已知随机变量 X 服从
正态分布，只要知道其参数 、 2为何，则便知其分布函数了。
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解：由定义，
p(
x)
b
1
a
,
x
(a,
b),所以
0, x (a,b)
EX
xp(x)dx
b xdx
a
b
a
ab 2
即[a , b]上的均匀分布的期望恰为区间中点。
（2） 指数分布：设 X 的密度函数为
ex , x 0
p(x)
0, x 0
( 0)
求其数学期望 EX。
EX
xexdx
0
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xex
0
e
0
x
dx
1
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（3）正态分布：设随机变 X ~ N (, 2 ),则
pX (x)
求其数学期望 EX。
1
( x )2
e 2 2
2
解：按定义，EX x
1
e dx (
x )2 2 2
2
，作变换
y x , dx dy , 积分化为
EX
(
y) 2
y2
e 2 dy
即正态分布的均值为 ，特别标准正态为 0。
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5.随机变量函数的数学期望
以连续型随机变量加以说明。
定义 设随机变量 X，而 Y=f(X)，其中 f(x)为 x 的函数，定义
E[ f (X )] f (x) p(x)dx
为随机变量函数 Y 的数学期望。
【例
3】设圆的直径
X
~ U (0,1)
，求其面积的数学期望。[ E ( A)
]
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定义 4 设二维随机向量(X,Y)，p(x,y)为其联合密度，f(x,y)
或 EX (MX)，其值定义为
EX xk pk k
数学期望 EX 有时也称为期望或均值。 由定义，要计算 X 的数学期望，须首先知道其概率分布。
Ex:设
P{X
(1) k 1
3k k
}
2 3k
，k=1,2,…,证明 EX 不存在。
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【例 1】将一定剂量的洋地黄注入小白鼠，已知致死率为 60%。 现同时给三只小白鼠注射，求平均死亡数是多少。 解：首先计算死亡数 X 的分布律,不难看出其为二项分布