职高数学第八章直线和圆的方程及答案教学提纲
中职数学第八章直线方程和圆知识点
中职数学第八章直线方程和圆知识点直线方程和圆1.两点间距离公式：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则AB的长度为AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
当x1=x2时，AB = |y2-y1|。
当y1=y2时，AB = |x2-x1|。
2.中点坐标：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则线段AB的中点M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
当x1≠x2时，M的纵坐标为(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)+y1.3.直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角α∈[0,π)。
直线的斜率k=tanα (α≠π/2)。
当α=30°时，k=√3/3；当α=45°时，k=1；当α=60°时，k=√3；当α=120°时，k=-√3；当α=150°时，k=-√3/3.4.直线方程：点斜式：设直线过点A(x1,y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)。
斜截式：设直线与y轴交点为b，则直线的斜截式方程为y=kx+b。
两点式：设直线过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则直线的两点式方程为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)。
截距式：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，则直线的截距式方程为x/a+y/b=1 (a≠0,b≠0)。
一般式：设直线的一般式方程为Ax+By+c=0 (A和B不同时为0)。
5.两直线的位置关系：当两直线斜率都不存在时，若它们的截距不相等，则两直线平行；若它们的截距相等，则两直线重合。
当两直线斜率都存在时，若它们的斜率相等且截距不相等，则两直线平行；若它们的斜率相等且截距相等，则两直线重合；若它们的斜率乘积为-1，则两直线垂直。
当一条直线斜率不存在时，另一条直线斜率存在且不为0时，它们不可能平行或垂直。
当两直线斜率都存在且不为0时，若它们的斜率不相等，则它们相交，且夹角为arctan|k1-k2|；若它们的斜率相等且截距不相等，则它们平行；若它们的斜率相等且截距相等，则它们重合。
中职数学第八章《直线和圆的方程》全部教学设计7份教案(高教版)
【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】212(==P P P P x、N、P、Q、R各点的坐标．在平面直角坐标系内，描出下列各点：(1,1)A、(3,4)B ．并计算每两点之间的距离．第1题图12)(=-x x 01012-=⎧⎨-=-⎩x x y y y y图8－2【教师教学后记】【课题】8．2 直线的方程【教学目标】知识目标：（1）理解直线的倾角、斜率的概念； （2）掌握直线的倾角、斜率的计算方法． 能力目标：采用“数形结合”的方法，培养学生有条理地思考问题．【教学重点】直线的斜率公式的应用．【教学难点】直线的斜率概念和公式的理解．【教学设计】本教材采用的定义是：“当直线与x 轴相交于点P 时，以点P 为顶点，始边指向x 轴正方向，终边落在直线上的最小正角叫做直线的倾角．当直线与x 轴不相交（或重合）时，规定倾角为零角”．这样就使得关于角的概念一致起来．结合图形，让学生观察倾角的取值范围，要注意倾角的取值范围是[0,180) 而非 [0,180]．教材中的“试一试”有助于巩固学生对倾角概念的理解．教材采用“数形结合”的方法，分成两种情况来研究斜率公式．教学中要注意这种分类讨论问题的思考方法的教育，培养学生有条理的思考问题．要强调应用斜率公式的条件12x x ．例1是斜率概念及公式的巩固题目，属于简单题．通过例题加强对概念和公式的理解．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－3动脑思考探索新知【新知识】为了确定直线对x轴的倾斜程度，我们引入直线的倾角的概念．轴垂直（如图8−5（)3=．31,2)与点B上的任意两点，则直线此节的书面作业习题里没有【课题】8．2 直线的方程（二）【教学目标】知识目标：（1）了解直线与方程的关系；（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程．【教学难点】根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．【教学设计】采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b的意义．直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论．对CyB=-与CxA=-只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特征．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】)y 为直线-x 11,)x y 在经过点图8－7上任取点(,)P x y （不同于0P 点） 0y y k x x -=-，1)．αtan=，所以直线方程为图8－8B b，且斜即直线经过点(0,)3=．，由公式(8.4)【课题】8．3 两条直线的位置关系（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线平行的条件．【教学难点】两条直线平行的判断及应用．【教学设计】从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：．两条直线平行⇔同位角相等⇔倾斜角相等⇔9090⎧≠⇔⎨=⇔⎩αα倾斜角斜率相等;倾斜角斜率都不存在.教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法．其步骤为：首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断．例1就是这种方法的巩固性题目．考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系．例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】当直线1l 、2l 的斜率都是与x 轴平行，所以1l 当两条直线1l 、直线1l 与直线2l 都与图8-11－11(1)【课题】8．3 两条直线的位置关系（二）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用点到直线的距离公式解题． 能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．【教学难点】两条直线的位置关系的判断及应用．【教学设计】与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是0,90⎡⎤⎣⎦．教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－12探索新知图8－13我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这）是直线图8－148－1511tan BCk ABα==， 233tan tan()tan ==-=-=-AB BCααα180 121k k ⋅=-．上面的过程可以逆推，即若121k k ⋅=-，则1l ⊥由此得到结论（两条直线垂直的条件）：2l1l【课题】8．4 圆（一）【教学目标】知识目标：（1）了解圆的定义；（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】圆的标准方程和一般方程的理解与应用．【教学难点】对圆的标准方程和一般方程的正确认识．【教学设计】用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要强化对圆的标准方程()()222x a y b r -+-=的认识，其中半径为r ，圆心坐标为(),O a b '．经常容易发生错误的地方是认为半径是2r ，圆心坐标为(),O a b '--．教学中应予以强调，反复强化．例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【课题】8．4 圆（二）【教学目标】知识目标：（1）理解直线和圆的位置关系；（2）了解直线与圆相切在实际中的应用．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】直线与圆的位置关系的理解和掌握．【教学难点】直线与圆的位置关系的判定．【教学设计】直线与圆的位置关系的判定是本节的难点，将直线的方程与圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线和圆的位置关系，理论上讲是很简单的，但是，实际操作的运算过程很麻烦．教材采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法，相对比较简单．平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小，来判定直线与圆的位置关系，学生容易接受，例6就是采用这种方法进行讨论的．经过一点求圆的切线方程，通常作法是设出点斜式方程，利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率，从而得到切线方程，其中蕴含着“待定系数法”和“解析法”等数学方法．例8是直线在科技领域中的应用知识，根据光学原理，反射角等于入射角，利用直线的斜率公式可以求得反射点P的坐标．例9是圆在生产实践中的应用知识．解决这类实际问题首先要选择直角坐标系．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】动脑思考 探索新知 【新知识】图8－21图8-22。
人教版中职数学教案第八章直线和圆的方程
8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式【教学目标】1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】数轴上的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式【教学目标】1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．本节教学中，将平面（二维）的数量关系转化为轴（一维）上的数量关系是关键．先从复习上节内容入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离．最后讨论了平面直角坐标系中的中点公式．教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性．8.2.1 直线与方程【教学目标】1. 理解直线的方程的概念，会判断一个点是否在一条直线上．2. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神，培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】直线的特征性质，直线的方程的概念．【教学难点】直线的方程的概念．【教学方法】这节课主要采用分组探究教学法．本节首先利用一次函数的解析式与图象的关系，揭示代数方程与图形之间的关系，然后用集合表示的性质描述法阐述直线与方程的对应关系，进而给出直线的方程的概念．本节教学中，要突出用集合的观点完成由形到数、由数到形的转化．【教学过程】8.2.2 直线的倾斜角与斜率【教学目标】1. 掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围．2. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系．3. 让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力．【教学重点】直线的倾斜角和斜率．【教学难点】直线的斜率．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念．8.2.3 直线方程的几种形式（二）【教学目标】1. 掌握直线的一般式，理解二元一次方程与直线的对应关系．2. 了解直线的方向向量和法向量的概念，了解直线的方向向量、法向量及斜率之间的关系．3. 培养学生事物之间的普遍联系与互相转化的辩证唯物主义观点．【教学重点】直线的一般式方程，直线的方向向量和法向量．【教学难点】二元一次方法与直线的对应关系，直线的方向向量、法向量与斜率的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．首先从所学的直线方程入手，揭示所学过的直线方程都可以表示成Ax＋By＋C＝0的形式，引入了直线的一般方程的概念．在引入直线方程的一般式后，介绍了直线的方向向量和法向量的概念，进而讨论了方向向量与斜率的关系、法向量与一般式方程中一次项系数之间的关系，为以后进一步讨论两条直线的位置关系等内容打下基础．8.2.3 直线方程的几种形式（一）【教学目标】1. 掌握直线的点斜式、斜截式，能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程．2. 了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法．3. 让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点，体会用数形结合的方法解决问题的魅力．【教学重点】直线的点斜式与斜截式方程．【教学难点】理解直线的点斜式方程的推导过程．【教学方法】这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程与斜率坐标公式之间的关系．对于直线方程的斜截式，要使学生认识到斜截式是点斜式的特殊情形.教材在例2中给出了已知两点求直线方程的方法，教师可针对学生的实际情况补充直线方程的两点式，但要求不宜过高.【教学过程】8.2.4 直线与直线的位置关系（二）【教学目标】1. 掌握两条直线垂直的条件，能利用直线的斜率或法向量来判断两条直线是否垂直．2. 会求过已知点且与已知直线垂直的直线．3. 让学生从学习中体会到用代数方法研究几何图形性质的思想，体会代数与几何结合的数学魅力．【教学重点】两条直线垂直的条件．【教学难点】两条直线垂直的条件的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．本节课从直线斜截式和一般式两个方向讨论了两直线垂直的条件：先由直线的斜截式方程，讨论了两条直线垂直时的斜率之间的关系，即l1⊥l2⇔k1k2＝－1；再由直线的一般式方程讨论了两条直线垂直时的条件，即l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．8.2.4 直线与直线的位置关系（一）【教学目标】1. 会求两条直线的交点，理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的关系．2. 掌握用直线的斜率来判断两直线位置关系的方法．3. 让学生从学习中体会到用代数方法研究几何图形性质的思想，体会代数与几何结合的数学魅力．【教学重点】两条直线平行或相交的条件．【教学难点】求两条直线的交点．【教学方法】这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．本节课首先通过问题引入本节要研究的内容，在讨论了两条直线的位置关系与相应的直线所组成的二元一次方程组解的对应关系后，进一步研究了用直线的斜率来判断两条直线位置关系的方法．8.2.5 点到直线的距离【教学目标】1. 掌握点到直线距离公式，会运用公式解决有关点到直线距离的简单问题，会求两条平行线之间的距离．2. 培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力，类比思维能力．训练学生由特殊到一般的思想方法．【教学重点】点到直线的距离公式．【教学难点】点到直线的距离公式的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的方法．首先复习了点到直线的距离的概念，在解决一个特例后，给出了点到直线的距离公式，再通过例题讲解了公式的一般用法，最后通过例题解决了两平行线间的距离．教学过程中，教师可以结合学生的实际情况，同学生一起推导点到直线的距离公式，及两条平行线间的距离公式．8.3.1 圆的标准方程【教学目标】1．掌握圆的标准方程，并能根据圆的方程写出圆心坐标和半径．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．进一步培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力．【教学重点】圆的标准方程，根据已知条件求圆的标准方程．【教学难点】圆的标准方程的推导．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的方法．首先复习圆的定义，在定义的基础上，推导了圆的标准方程．最后通过例题，学习了圆的标准方程的应用．【教学过程】8.3.2 圆的一般方程【教学目标】1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程．3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力．【教学重点】圆的一般方程．【教学难点】二元二次方程与圆的一般方程的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．8. 4 直线与圆的位置关系【教学目标】1. 依据直线与圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标．2. 能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系来判断直线和圆的位置关系．3. 理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组解（无解、有惟一解、有两组解）的对应关系．【教学重点】直线与圆的位置关系．【教学难点】直线与圆的位置关系的判断及应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．本节之前，学生已学习了如何利用方程来研究两直线的位置关系．根据初中所学知识，可以利用圆心到直线的距离与半径的大小关系研究直线与圆的位置关系．教材在处理直线与圆的位置关系时，从“形”和“数”两个方面进行了分析．8.5 直线与圆的方程的应用【教学目标】1. 能根据实际问题中的数形关系，运用直线和圆的方程解决问题．2. 通过本节例题教学，让学生认识数学与人类生活的密切联系，培养学生应用所学的数学知识解决实际问题的意识．【教学重点】直线和圆的方程在解决实际问题中的应用．【教学难点】根据实际问题中的数量关系列出直线和圆的方程．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的教学法．本节课紧密联系学生熟悉的生产和生活背景，有针对性地选择了可以利用直线方程和圆的方程解决的实际问题，通过师生共同研究，不仅可以巩固直线与圆的有关内容，并且提高了学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力．。
中职数学教学课件：第8章 直线和圆的方程
例2、若 A B 0 ,则求直线Ax By C 0 的倾斜
角 的取值范围 。
练习：若直线 (m 2)x 2y 3 0 的斜率为2，求实数m.
练习：若直线(m 1)x y 5 0 的倾斜角的范9围00 1800
求m的范围。
例3、已知直线过点（2，3）且在x轴，y轴上截距之和为10，求直线方程。
（2）直线经过点（1，-2，）倾角为 5
识
6
典
型
（3）直线经过点 (5,3), (3,1)
例
题
如图所示，设直线l与x轴交于点 A(a, 0) ，与y轴交于点 B(0,b)．则
动
a叫做直线l在x轴上的截距（或横截距）； b叫做直线l在y轴上的截 距
脑
思 （或纵截距）．
考
探
索
想一想
新
直线在x轴及
知
这说明点 P1(x1, y1) 在经过点P0 (0,1)且倾斜角为 45 的直线上．
一般地，如果直线（或曲线）L与方程 F(x, y) 0 满足下列关系：
(1)直线（或曲线）L上的点的坐标都是二元方程F(x, y) 0的解；
动
脑
(2)以方程 F(x, y) 0的解为坐标的点都在直线（或曲线）L上．
）
A 1, B 1 k A 1
B (1)
450
（3）因为当x=0时y=3,当y=0时x=3 所以在y轴上的截距为3，在
x轴上的截距为-3。
（4）S
1 33 2
9 2
S
1 2
a
b
A 1, B 1,C 3 在x轴上的截距为 C
人教版中职数学(基础模块)下册8.5《直线与圆的方程的应用》word教学设计
8.5直线与圆的方程的应用【教学目标】1. 能根据实际问题中的数形关系，运用直线和圆的方程解决问题.2. 通过本节例题教学，让学生认识数学与人类生活的密切联系，培养学生应用所学的数学知识解决实际问题的意识.【教学重点】直线和圆的方程在解决实际问题中的应用.【教学难点】根据实际问题中的数量关系列出直线和圆的方程.【教学方法】这节课主要采用讲练结合的教学法. 本节课紧密联系学生熟悉的生产和生活背景，有针对性地选择了可以利用直线方程和圆的方程解决的实际问题，通过师生共同研究，不仅可以巩固直线与圆的有关内容，并且提高了学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力. 【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图1 •点到直线的距离公式是什学生回答，教师点评. 复习所学知引么？师: 前面我们学习了直线与识，为本节学习做入 2 •已知圆上不共线的三点，女口圆的方程，下面学习直线与圆的准备•何来求圆的方程？方程的应用的例子. 引入课题.例1在一次设计电路板的实直线方程的应验中，张明设计的电路板如图（教材图8-23）所示（单位：cm）,现在张明要从P点连一条线到线段AB, 他想知道这条线的最短长度，你能替他计算出来吗？（精确到0.01 cm）用.解：不难看出，P到直线AB的教师引导学生建立直角坐标解题过程中注距离就是张明想知道的最短距离，所系. 意引导学生建立直以可以利用直线的有关知识来解. 角坐标系.以这块电路板的左下角为原点，师: 在所建立的直角坐标系建立平面直角坐标系，由图中尺寸可中, A, B, P三点的坐标各是什新知么？课A(2 , 6), B(16 , 8), P(4,10).因此直线AB的斜率师: 直线AB的斜率怎么求？8 —6 1k= = 7，16—2 7师: 求出直线AB的斜率后，所以直线AB的方程为怎么求直线AB的方程？y —6 = y(x—2), 师: 你能求出P到直线的距即x—7y + 40= 0. 离吗？从而可知P到直线AB的距离为14—7^0+401 斗.时P 研3.68，因为我们就这么一辈子，几十年的光景，无法重来，开心也好，不开心也罢，怎么都是活着，那么何不让自己开开心心的过好每一天呢!生活虽辛苦，但我们一定要笑着过，以积极乐观的心态让日子过得有滋有味，这样才不白来人世走一遭，才会无怨无悔。
中职数学基础模块下册第八单元《直线与圆的方程》word教案
第八章 直线与圆的方程教学设计课题1 直线的斜截式方程【教学目标】1．进一步复习斜率的概念，了解直线在y 轴上的截距的概念；2．理解直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；3．初步掌握直线的斜截式方程及其简单应用；4．培养学生应用公式的能力．【教学重点】直线的斜截式方程．【教学难点】直线的斜截式方程及其应用．【教学过程】（一）复习引入（1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x ，y ），（x1，y1），k 的几何意义． （答案：直线的点斜式方程是y －y1＝k （x －x1）；（x ，y ）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k 是直线的斜率．）（2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是（0，b ），求直线l 的方程．（答案：y ＝kx ＋b. ）（二）讲解新课（1）直线在y 轴上的截距一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y 轴上的截距．例如，引例中直线l 与y 轴交于点（0，b ），则b 就是直线l 在y 轴上的截距． 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念．（2）直线的斜截式方程如果已知直线l 的斜率是k ，在y 轴上的截距是b ，那么直线l 的方程是y ＝kx ＋b . 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式．这个方程的导出过程就是引例的解题过程．这是我们同学自己推导出来的．（3）我们来认识一下这个方程①它和一次函数的解析式相似而不相同在一次函数的解析式中，k 不能得0，而直线的斜截式方程没有这个限制．②练一练根据直线l 的斜截式方程，写出它们的斜率和在y 轴上的截距：（1）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________；（2）y ＝23x ＋13， k ＝________，b ＝________； （3）y ＝－x －1， k ＝________，b ＝________；（4）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________.小结：通过练一练中的这些题目，告诉我们：掌握斜截式方程的第一个要求是要能够根据直线的斜截式方程写出直线的斜率和在y 轴上的截距．（4）直线的斜截式方程的应用例1 求与y 轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程．解：∵直线与y 轴交于点（0，－4），∴直线在y 轴上的截距是－4.又 ∵直线的倾斜角为150°，∴直线的斜率k ＝tan150°＝－33. 将它们代入斜截式方程，得y ＝－33x －4， 化简，得 3x ＋2y ＋12＝0. 这就是与y 轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程．例2 已知直线l 过点（3，0），在y 轴上的截距是－2，求直线l 的方程．解：∵直线过点（3，0），且在y 轴上的截距是－2，∴直线l 过点（3，0）和（0，－2）．将它们代入斜率公式，得k ＝－2－00－3＝23. 又知，直线l 在y 轴上的截距是－2，即b ＝－2.将它们代入斜截式方程，得y ＝23x －2， 化简，得2x －3y －6＝0.这就是所求直线l 的方程．小结：通过这两个例题，告诉我们：如果知道了直线的斜率和在y 轴上的截距就可以直接写出直线的斜截式方程，如果题目没有直接给出这两个条件，那么就必须利用已知，找到这两个条件，然后再利用斜截式求直线方程．讲评：老师在带领学生做过练一练之后和讲解了两个例题之后所做的小结很好，它点明了直线的斜截式方程应用的要点，同时也明确了这一节课的重点内容．（5）练习教材 P 76练习1—3.（三）布置作业学生学习指导用书 直线的斜截式方程【教学设计说明】本教案的前一课时学习了直线的点斜式方程，本节开始直接利用点斜式方程引出斜截式方程，这种引入方法，既复习了前一节学习的知识，又引出了新课，直截了当并且显得很自然，同时还讲清了直线的斜截式方程与点斜式方程的关系．因为学生常常误认为截距是距离，实际上，截距是坐标的概念，是一个可正，可负，可零的实数，教案对此专门进行了提醒，十分必要．教案还在练一练与例题之后分别给出了小结，这对学生掌握直线的斜截式方程及其应用很有帮助．课题2 直线的一般式方程【教学目标】1．使学生了解直线与二元一次方程的关系；2．初步掌握各种方程之间的互化方法；3．初步了解分类讨论问题的思想．【教学重点】直线的一般式方程与直线各种方程之间的互化方法．【教学难点】分类讨论问题的思想．【教学过程】（一）复习引入（1）写出直线的斜截式方程和斜率不存在的直线方程．（答案：直线的斜截式方程是y ＝kx ＋b ，斜率不存在的直线方程是x ＝x1. ）（2）求斜率为2，在y 轴上的截距为1的斜截式方程，并将其化简整理．（答案：斜截式方程是y ＝2x ＋1，化简得2x －y ＋1＝0. ）（3）能通过上面一道题就说所有的直线方程都能化简为二元一次方程吗？（答案：不能．）（二）讲解新课（1）所有的直线方程都能化简为Ax ＋By ＋C ＝0 （A ，B 不同时为零）的形式 . 通过下面五个层次完成教学：①所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．②将所有的直线分为两类：有斜率和没斜率，即α＝90°和α≠90°.③α＝90°时，直线都有斜率，其方程可以写成下面的形式：y ＝kx ＋b ，这是一个二元一次方程；④当α＝90°时，直线没有斜率，其方程可以写成下面的形式x ＝x 1，这也是一个二元一次方程，其中y 的系数是0.⑤结论：在平面直角坐标系中，任何直线都可以求得它的方程，而且都是二元一次方程．也就是说任何直线的方程都可以写成关于x ，y 的一次方程Ax ＋By ＋C ＝0 （A ，B 不同时为零） .（2）方程Ax ＋By ＋C ＝0 （A ，B 不同时为零）总表示直线．通过下面四个层次完成教学：①方程Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为零）可根据B ≠0和B ＝0而分成两种情况． ②当B ≠0时，方程可以化为y ＝－A B x －C B.这是直线方程的斜截式，它表示斜率k ＝－A B ，在y 轴上的截距b ＝－C B的直线． ③当B ＝0时，必有A ≠0，方程可以化为x ＝－C A. 它表示一条与y 轴平行（C ≠0）或重合（C ＝0）的直线．④结论：关于x ，y 的一次方程总表示直线．（3）直线方程的一般式根据（1）（2）两方面的结论，我们称方程Ax ＋By ＋C ＝0为直线方程的一般形式 （其中A ，B 不同时为零） .直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，可以简称为直线Ax ＋By ＋C ＝0，记作l ：Ax ＋By ＋C ＝0.（4）直线方程一般式的应用例1 求直线l ：2x －3y ＋6＝0的斜率和在y 轴上的截距．解法1：（将直线l 的方程化为斜截式）将原方程移项，得3y ＝2x ＋6.方程两边同被3除，得 y ＝23x ＋2. 这是直线l 的斜截式方程，可以看出其斜率为23，在y 轴上的截距为2. 解法2：（利用k ＝－A B ，b ＝－C B，求k ，b . ） 在方程2x －3y ＋6＝0中，∵A ＝2，B ＝－3，C ＝6，∴k ＝－A B ＝23，b ＝－C B＝2.故直线l 的斜率为23，在y 轴上的截距为2. 例2 画出方程4x －3y －12＝0表示的直线．解：在方程4x －3y －12＝0中，令x ＝0，得y ＝－4，令y ＝0，得x ＝3，可知，直线过点A （0，－4），B （3，0）．如图，在平面直角坐标系中，做出A （0，－4），B （3，0）两点，并过A ，B 做直线，则直线AB 就是方程4x －3y －12＝0表示的直线．（5）练习教材 P 82练习1、2.【教学设计说明】本节课是在学生学习了直线方程的点斜式和斜截式的基础上引入直线一般式方程的，本节课理论性较强，是教学中的难点，教案针对难点采取了分层次讲解的方法，层层推进，步步为营，力图起到分散难点的作用．由于教材中涉及分类讨论的思想，所以要让学生通过本节课的学习，初步了解分类讨论的方法．直线的一般式方程与其他形式方程的互化是这节课教学的重点，但根据方程画直线也是直线方程教学的重要内容．教案中的两个例题突出强调了这一点，并在练习及作业中进一步作了强调．课题3 直线与圆的位置关系（一）【教学目标】1．了解直线与圆的位置关系的两种判定方法；2．了解平面几何知识在解析几何中的作用；3．会用两种判定方法解决一些简单数学问题．【教学重点】直线与圆的位置关系的两种判定方法．【教学难点】用两种判定方法解决一些简单数学问题．【教学过程】（一）复习引入（1）在平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？（答案：相交，相切，相离．）（2）在圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D2＋E2－4F ＞0）中，如何确定圆心坐标？[答案：圆心坐标是⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ] （3）点到直线的距离如何计算？[答案：如果点P （x0，y0）为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则点到直线的距离为 d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2. ] （二）讲解新课（1）判断直线与圆的位置关系的第一种方法在平面几何中，我们已经学习过直线与圆的三种不同位置关系及它们的判断方法． 已知圆C 的半径为r ，设圆心C 到直线l 的距离为d. 如图①直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，并有d ＜r ⇔直线l 与圆C 相交；②直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，并有d ＝r ⇔直线l 与圆C 相切；③直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离，并有d ＞r ⇔直线l 与圆C 相离．在解析几何中，我们可以直接利用这个方法判定直线与圆的位置关系．例1 判定直线l ：3x －4y －1＝0与圆C ：（x －1）2＋（y ＋2）2＝9的位置关系．解：根据圆C 的方程（x －1）2＋（y ＋2）2＝9，我们知道，圆的半径r ＝3，圆心为C （1，－2），则圆心到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3－(－8)－1|32＋(－4)2＝2. 显然，有2＜3， 即d ＜r .故直线l ：3x －4y －1＝0与圆C ：（x －1）2＋（y ＋2）2＝9相交．（2）判断直线与圆的位置关系的第二种方法设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0），方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0经消元后得到一元二次方程，设判别式为Δ，则有Δ＞0⇔直线l 与圆C 相交；Δ＝0⇔线l 与圆C 相切；Δ＜0⇔直线l 与圆C 相离．例2 判定直线l ：3x ＋4y －25＝0与圆C ：x 2＋y 2＝25的位置关系．解：由直线与圆的方程组成的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －25＝0，x 2＋y 2＝25. 由直线方程得y ＝－34x ＋254，代入圆的方程，得 x 2＋⎝⎛⎭⎫－34x ＋2542＝25， 整理，得x 2－6x ＋9＝0.因为 Δ＝（－6）2－4×1×9＝0，所以 直线l 与圆C 相切．（3）练习教材 P 105练习1—3.（三）布置作业学生学习指导用书 直线与圆的位置关系（一）【教学设计说明】在分别学习了直线方程和圆的方程之后，教材安排了直线与圆的位置关系一节，作为直线方程和圆的方程的直接应用，同时，也突出体现了解析法的特点，即利用代数知识解决几何问题．为了减少教学过程中的障碍，教案首先对一些相关知识做了复习，然后分别介绍了判断直线与圆的位置关系的两种方法，第一种方法是结合平面几何知识，只适用于直线与圆的关系的特殊方法；第二种方法则是适用于直线与所有二次曲线关系的一般方法．对于圆来讲，第一种方法相对简单一些，第二种方法则计算量大一些．。
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第 8 章直线和圆的方程练习 8.1两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P P 的长度：1 2（ 2） P （ -3， 1）、 P （ 2， 4）（1） P （ 0， -2）、P （ 3，0）121 2 （3） P （ 4， -2）、P （ 1，2）（ 4） P （ 5， -2）、 P （ -1， 6）1 2122.已知 A(2,3) 、 B （ x ， 1），且 |AB |= 13 ,求 x 的值。
3.根据下列条件，求线段 P 1P 2 中点的坐标：（1） P 1（ 2， -1）、P 2（ 3，4） （ 2） P 1（ 0， -3）、P 2（ 5，0） （ 3） P 1（ 3， 2.5）、 P 2（4， 1.5）（ 4） P 1（ 6， 1）、P 2（3， 3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2 中点的坐标：（1） P （ 3， -1）、P （ 3，5）（ 2） P （ -3， 0）、 P （ 5，0）1 21 2（3） P 1（ 3， 3.5）、 P 2（4， 2.5） （ 4） P 1（ 5， 1）、 P 2（5， 3）参考答案：1.(1) 13 ;(2) 34 ;(3)5; (4)102.-1 或 53.(1) ( 5 , 3) ;(2) ( 5 ,3) ;(3) (7, 2) ; (4) (9, 2)222 222 4. (1)(3, 2) ;(2) (1,0) ;(3) (3.5,3) ; (4)(5, 2)练习 8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（）A. 过原点的直线B.垂直于 y 轴的直线C.垂直于 x 轴的直线D. 垂直于坐标轴的直线(2) 若直线 l的斜率为 -1，则直线 l 的倾斜角为（ ）A.90 B.0 C. 45D. 1352 已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1） 30 , k ____ （ 2） （3）120 ,k____（ 4）参考答案：1. （ 1） C（ 2） D45 , k____150 , k____2. （ 1）3 3;(2) 1 ;(3) 3 ; (4)33练习 8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点 A （2,5），斜率是 4；（2）经过点 B （ 2,3），倾斜角为45；（3）经过点 C（ -1,1），与 x 轴平行；（4）经过点 D （1,1），与 x 轴垂直。
【人教版】中职数学(基础模块)下册：8.4《直线与圆的位置关系》教案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了]考什么怎么考1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等.[归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.直线与圆、圆与圆的位置关系[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y－8.有关圆的弦长问题[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2； (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝21k ＋·|x 1－x 2|＝221212(1)[()4]k x x x x ＋＋－.3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22， 所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10圆的切线问题[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．[自主解答](1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程．解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2±6)x；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x ＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，直线l的方程为(2＋6)x－y＝0或(2－6)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.———————————————————求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.[名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；(2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验．[变式训练]1．已知直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为()A.2＋1B．2C. 2D.2－1解析：选A直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线2ax＋by＝1的距离d＝12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，∴a2＝2－b22(－2≤b≤2)，则|PM|＝a2＋(b－1)2＝b22－2b＋2＝2|b－2|2，∴当b＝－2时，|PM|max＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c|122＋(－5)2<1，解得－13<c<13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33， 故直线l 的倾斜角为56π.3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos 2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率k OC＝ba＝－1，故b＝－a，则|OC|＝22，即a2＋b2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2，结合点C(a，b)位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝2.故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在Q(m，n)符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧(m－4)2＋n2＝42，m2＋n2≠0，(m＋2)2＋(n－2)2＝8，解得⎩⎨⎧m＝45，n＝125.故圆C上存在异于原点的点Q⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4B．4 2C．8 D．8 2解析：选C依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.2．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋ 3 ]B．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) 解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32.答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，① x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，② 联立①②消去y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0， ∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l存在，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.。
完整版中职数学直线和圆的方程课件
归纳小结
(1)圆的一般方程的表达式为
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
(2)与圆的标准方程的联系
配方
一般方程 展开 标准方程(圆心,半径)
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
x2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E) 2
为圆心，1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
（1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 ．
（2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是
，
半径是
．
把圆的标准方程展开：
(xa)2 ( y b)2 r2
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E,a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx ED 2E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为
x2＋y2－8 x＋6 y＝0．
将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25．
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
练习1下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 _原__点_(_0,_0_) _ (2)x2 y2 2x 4y 6 0____
(完整版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案
第8章直线和圆的方程练习8.1 两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P 1P 2的长度：（1）P 1（0，-2）、P 2（3，0） （2）P 1（-3，1）、P 2（2，4）（3）P 1（4，-2）、P 2（1，2） （4）P 1（5，-2）、P 2（-1，6）2.已知A(2,3)、B （x ，1），且|AB 求x 的值。
3.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（2，-1）、P 2（3，4） （2）P 1（0，-3）、P 2（5，0）（3）P 1（3，2.5）、P 2（4，1.5） （4）P 1（6，1）、P 2（3，3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（3，-1）、P 2（3，5） （2）P 1（-3，0）、P 2（5，0）（3）P 1（3，3.5）、P 2（4，2.5） （4）P 1（5，1）、P 2（5，3）参考答案：2.-1或53.(1) 53(,)22;(2) 53(,)22-;(3) 7(,2)2; (4) 9(,2)24. (1) (3,2);(2) (1,0);(3) (3.5,3); (4) (5,2)练习8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（ ）A.过原点的直线B.垂直于y 轴的直线C.垂直于x 轴的直线D.垂直于坐标轴的直线(2)若直线l 的斜率为-1，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 90︒B. 0︒C. 45︒D. 135︒2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1）30,____k α=︒= （2）45,____k α=︒=（3）120,____k α=︒= （4）150,____k α=︒=参考答案：1.（1）C （2）D2.（1;(2) 1 ;(3) 练习8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点A （2,5），斜率是4；（2）经过点B （2,3），倾斜角为45︒；（3）经过点C （-1,1），与x 轴平行；（4）经过点D （1,1），与x 轴垂直。
中职数学基础模块下册第八单元《直线与圆的方程》ppt课件
两点间距离公式及中点坐标公式都是用向 量知识推导的。 倾斜角的概念是由“坡度”等实际问题引 入的 距离、圆、直线与圆的位置关系等都与实 际生活有紧密的联系，要注方法
数形结合思想
由特殊到一般
点到直线的距离公式的处理。 （两条平行线间的距离，安排在思考交流 处，没有给出公式。）
(3) 倾斜角在实际中测量不方便或者很困难，因 此我们想到了边角关系——三角函数，其中正 切与直线上的点的坐标密切相关，因此用一个 倾斜角的正切值来测量倾斜角的大小——引入 斜率的概念。---分析
(4) 求斜率即求倾斜角的正切
①特殊直线的斜率：平行线、垂线、过原点 的直线； ②一般直线的斜率，已知两点的坐标，则他 们的坐标差的比值，确定了一个角的正切，所以 我们可以用两点的坐标差的比来求直线的斜率； ③给出斜率公式，教会学生正确记忆公式的 方法（对结构的认识），分子：纵坐标的差；分 母：横坐标的差;由直线上的两点任意确定------综 合分析 为了降低难度，抓住重点，推导过程略讲，只讲 清思路即可。
8.1两点间距离公式及中点公式， 8.3 直线的方程 中的点斜式和斜截式方程， 8.4 两条直线的位置关系 中两条相交直线 的交点， 8.6圆的方程 认知要求为掌握。
要加强本章知识与工程问题的联系，使学 生体验解析几何的应用。 通过本章的教学，培养学生数学思维能力 和分析、解决问题能力。 重点是直线的点斜式方程和圆的标准方程， 用坐标法解决直线、圆的相关问题。
(1) 从滑梯（生活实际中的事例）等感受到倾斜， 从倾斜感受角度（直线与水平线的角度）。---观察
(2) ①从角度如何测定（两直线相交总有两个夹角， 只能选用一个来测定以防混乱），引入倾斜角的定 义。--------想 ②根据定义画直线的倾斜角，感受直线的倾斜角的 正确表示，关键把握倾斜角有锐角直角和钝角，各 种倾斜角的直线位置关系有明显的差别。------分析 ③设计各种有干扰的情境，测试学生对直线倾斜角 的认识是否准确。------能力评价
高一中职数学直线与圆的方程知识点提纲
第九章直线与圆的方程第一节直线的方程一、基本定义：1.直线的方向向量：，通常用表示，一条直线的方向向量不是唯一的。
2.直线的法向量：，通常用表示，一条直线的法向量不是唯一的。
3.直线的倾斜角：，取值范围：4.直线的斜率：，通常用表示，即：。
倾斜角为的直线，斜率不存在。
已知直线上两点求斜率：。
5.截距的定义：，6.方向向量、法向量和斜率：，，，二、直线的五种直线方程1.点向式：，，2.点法式：，3.点斜式：，4.斜截式：，5.一般式：，第二节两直线的位置关系1.当斜率存在时，对于两条直线方程y=k1x+b1,y=k2x+b2有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，当斜率不存在时：当时，两直线重合，当时，两直线平行，斜率不存在直线与斜率为0的直线。
2.对于直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0（A1,A2,B1,B2全不为0）则有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，3.一般地，我们把与直线Ax+By+C1=0平行的直线表示为：，我们把与直线Ax+By+C1=0垂直的直线表示为：，第三节点到直线的距离1.点到直线的距离公式：，特别地，，2.两平行线间的距离：，特别地，，第四节圆的方程1.圆的定义：，2.圆的标准方程：，其中圆心为：半径为：特别地，当圆心为（0,0）时，圆的标准方程为，3.圆的一般方程：，其中圆心为：半径为：其特点：，，第五节直线和圆的位置关系方法一：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断，其中d=直线和圆相离直线和圆相切直线和圆相交方法二：联立方程组根据方程组是否有解及解的个数来判断直线与圆的位置关系：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；。
语文版中职数学基础模块下册8.8《直线与圆的方程的简单应用》ppt课件1
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
§8.8直线与圆的方程
应用举例
例1.求圆x2+y2=4上的点与直线4x+3y–12=0的最小距离.
解：过圆心O作直线4x+3y–12=0的垂线，
垂足为H，交圆O于点P，
y
显然|PH|为最小的距离，
且|PH|=|OH|–|OP|.
OH 12 12 , 32 42 5
PH 12 2 2 .
5
5
H P
O
x
设P是圆C:(x–2)2+(y+3)2=4上的一动点,求P到直线l:x–3y+2=0的最
远距离.
2 13 10 10
2023年职高数学二轮复习——直线与圆的方程
第八章：直线与圆一、知识点汇总：1、两点间距离公式与中点坐标公式：①2122122211)()(),,(),,(y y x x AB y x B y x A -+-=则设 ②)2,2(2121y y x x ++中点坐标为 2、直线的斜率：⎪⎩⎪⎨⎧--==已知坐标时用）已知倾斜角时用()(tan 1212x x y y k k α 注意：直线倾斜角不存在轴时，直线斜率或者直线垂直k x 090=α 3、直线方程：①)(00x x k y y -=-点斜式：（已知点（ y x ,），斜率k ） ②b kx y +=斜截式： （b 叫直线在y 轴上的截距） ③ ）不同时为、一般式：0B A (0C By Ax =++，其中斜率BCb B A k -=-=截距, ④特殊直线的方程： 0y y = (1)垂直于x 轴或平行y 轴的直线方程：0x x =(2)垂直于y 轴或平行x 轴的直线方程：0y y = 0x x = 4、方向向量和法向量①方向向量：指与直线平行或重合的向量，其中一个方向向量),1(k a = ②法向量：指与直线垂直的向量，其中一个法向量),(B A n = 5、两直线的平行和垂直：① 212121b k k //b l l ≠=⇔， ② ⎩⎨⎧=+-=⇔⊥0121212121B B A A k k l l规律总结：①与直线0=++C By Ax 平行的直线是0=++D By Ax②与直线0=++C By Ax 垂直的直线是0=+-D Ay Bx1、点到直线的距离公式和平行线间的距离公式:22BA C By Ax d +++=2212BA C C d +-=平yxo2、圆的方程：①标准方程：222)()(r b y a x =-+- r b a 半径圆心),,( ②一般式方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x24),2,2(22FE D r ED -+=--半径圆心8、如图.圆半径为r ，圆心到直线距离为d.9、圆与直线的弦长：222||d r AB -=10、.,2222r y y x x y x r y x =+=+ ）的圆的切线方程为：上一点（经过圆二、题型训练1. 过两点C(-m,2),D(1,3m)的直线的斜率为21，则m=( ) A.1 B.75 C.53 D.21 2. 直线)2(31--=+x y 所过定点和倾斜角分别是（ ） A.（2,1），32π B.（2,-1），3π- C.（2,-1），32π D.（2,-1），65π 3.直线）象限时，此直线必不过第（当0,0,0a ,0>>>=++c b c by ax A. 一 B. 二 C. 三 D. 四4.过点（1，-1），且与直线,02=+-y x 平行的直线方程是（ ） A.02=+-y x B.02=++y x C.02y x =-+ D.02=--y x5.直线与02)1()1(:1=--++y a x a L 03)21()1(:2=+-+-y a x a L 垂直，则a=( ) A.0或1 B.1或-3 C.0 D.1位置d 与rdrd=rr d6. 已知A(0,2), B(-2,0),则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A.0=+y x B.01=-+y x C.02=+-y x D.02=-+y x7. 方程）的取值范围（表示圆的方程，则实数a 022=++-+a y x y x A.a<21 B. a>21 C. a<21- D. a>21- 8. 圆）的距离的最小值为（上的点到直线0254x 3122=-+=+y y x A.6 B.5 C.4 D.19. 以点A （-3,2）为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为（ ）9)2()3(.22=-++y x A 4)2()3(.22=-++y x B 9)2()3(.22=++-y x C 4)2()3(.22=++-y x D10. 以两点A(5,5), B(-3,-1)为直径端点的圆的方程是（ ）25)2()1(.22=+++y x A 100)2()1(.22=-+-y x B 100)2()1(.22=++-y x C 25)2()1(.22=-+-y x D11在点Q （2,1）处与圆522=+y x 相切的直线方程为（ ）A. 2x+y -5=0B. 2x+y+5=0C. x -2y -5=0D. x -2y+5=0 12.过圆044222=---+y x y x 圆心，且在y 轴上的截距是该圆的半径的直线方程（ ）A. x -y+3=0B. x -y -3=0C. x+y+3=0D. x +y -3=0 13.x ²+y ²+(m-1)x+2my+m=0表示圆,则m 的取值范围是( )A. m ＞0B. 51≤m ≤1C. m ＞1或m ＜51D. R14.一条直线平行于3x+4y-6=0，且原点到直线的距离是9，则该直线方程是（ ）Ａ、3x+4y+45=0 Ｂ、3x+4y-45=0 Ｃ、3x+4y-45=0或3x+4y+45=0 Ｄ、4x-3y-45=015.直线01)1(:062:221=-+-+=++a y a x l y ax l 与直线垂直，则等于a ( )。
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第8章直线和圆的方程
练习8.1 两点间的距离与线段中点的坐标
1.根据下列条件，求线段P 1P 2的长度：
（1）P 1（0，-2）、P 2（3，0） （2）P 1（-3，1）、P 2（2，4）
（3）P 1（4，-2）、P 2（1，2） （4）P 1（5，-2）、P 2（-1，6）
2.已知A(2,3)、B （x ，1），且|AB 求x 的值。
3.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：
（1）P 1（2，-1）、P 2（3，4） （2）P 1（0，-3）、P 2（5，0）
（3）P 1（3，2.5）、P 2（4，1.5） （4）P 1（6，1）、P 2（3，3）
4.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：
（1）P 1（3，-1）、P 2（3，5） （2）P 1（-3，0）、P 2（5，0）
（3）P 1（3，3.5）、P 2（4，2.5） （4）P 1（5，1）、P 2（5，3）
参考答案：
2.-1或5
3.(1) 53(,)22;(2) 53(,)22-;(3) 7(,2)2; (4) 9(,2)2
4. (1) (3,2);(2) (1,0);(3) (3.5,3); (4) (5,2)
练习8.2.1 直线的倾斜角与斜率
1．选择题
（1）没有斜率的直线一定是（ ）
A.过原点的直线
B.垂直于y 轴的直线
C.垂直于x 轴的直线
D.垂直于坐标轴的直线
(2)若直线l 的斜率为-1，则直线l 的倾斜角为（ ）
A. 90︒
B. 0︒
C. 45︒
D. 135︒
2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：
（1）30,____k α=︒= （2）45,____k α=︒=
（3）120,____k α=︒= （4）150,____k α=︒=
参考答案：
1.（1）C （2）D
2.（1;(2) 1 ;(3) 练习8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程
写出下列直线的点斜式方程
（1）经过点A （2,5），斜率是4；
（2）经过点B （2,3），倾斜角为45︒；
（3）经过点C （-1,1），与x 轴平行；
（4）经过点D （1,1），与x 轴垂直。
参考答案：
(1) y-5=4(x-4)
(2) y-3=x-2
(3) y=1
(4) x=1
练习8.2.3 直线的一般式方程
根据下列条件写出直线方程，并化为一般方程：
（1）经过点A （0,-2），斜率是4；
（2）倾斜角是150︒，在y 轴上的截距是-2；
（3）过点P （-1,2），且倾斜角为120︒；
（4）倾斜角为150︒，且经过点（2，-1）。
参考答案：
(1) 4x-y-2=0
360y ++=
20y +=
330y ++-=
练习8.3.1 两条直线平行
1.选择题
（1）已知过A （-2，m ）和B （m ，4）的直线与斜率为-2的直线平行，则m 的值是（ ） Ａ.-8 Ｂ.0 Ｃ.２ Ｄ.10
（２）若直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a 等于（ ）
A.-3
B.-6
C. 3
2- D. 2
3
2.求过点A （1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
参考答案：
1.(1) A (2)B
2.2x+3y+10=0
练习8.3.2 两条直线相交
1.选择题
（1）两条直线3x+2y+n=0和2x-y+1=0的位置关系是（ ）
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.与n 的值有关
（2）与直线2:20l mx m y --=垂直于点P （2,1）的直线方程是（ ）
A. 210m x my +-=
B. 30x y ++=
C. 30x y --=
D. 30x y +-=
2.求经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线的直线方程。
参考答案：
1.(1) B (2)D
2. 4x-3y-6=0
练习8.3.3 点到直线的距离
1.填空题
（1）点P （3，-2）到直线x-1=0的距离是
（2）点Q （1，-5）到直线y+2=0的距离是
（3）若点（1,2）到直线x+2y+a=0a 的值为
2.求原点到下列直线的距离：
（1）3x+2y-26=0； （2）x=y
参考答案：
1．（1）2 （2）3 （3）0或-10
2．（1）（2）0
练习8.4.1 圆的标准方程
1.圆心在原点，半径为3的圆的标准方程为
2.圆22
(3)(2)13x y -++=的周长是
3.以C(-1,2)为圆心，半径为5的圆的标准方程是
参考答案：
1. 229x y +=
2.
3. 22(1)(2)25x y ++-= 练习8.
4.2 圆的一般方程
1.圆22
4240x y x y +-+-=的圆心坐标是
2.求下列圆的圆心坐标和半径：
（1）2210150x y y +-+=
（2）22241x x y y -++=-
练习8.4.3 确定圆的条件
1．求以点(4,1)-为圆心，半径为1的圆的方程．
2．求经过直线370x y ++=与32120x y --=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的方程．
3．求经过三点(0,0)O ，(1,0)M ，(0,2)N 的圆的方程．
练习8.4.4 直线与圆的位置关系
1．判断下列直线与圆的位置关系：
（1）直线2x y +=与圆222x y +=；
（2）直线 y =与圆22(4)4x y -+=； （3）直线51280x y +-=与圆22(1)(3)8x y -++=．
2．求以(2,1)C -为圆心，且与直线250x y +=相切的圆的方程．
练习8.4.5 直线方程与圆的方程应用举例
1．光线从点M （−2，3）射到点P （1，0），然后被x 轴反射，求反射光线所在直线的方程
2．赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标系求出其拱圆的方程．
3．某地要建造一座跨度为8米，拱高为2米的圆拱桥，每隔1米需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度(精确到0.01m)．。