方差分析与多重比较

F= St2 / Se2
处理间方差与处理内方差的比值即为F值
比值越小，两者越接近，即处理间的差异
与处理内的差异差不多，说明处理间差异不
显著。反之，差异显著。
F 通过查F表判断： dft(1) dfe(2)
F＞ F0.05=? F0.01=?
F＞ ＞ F0.01 p＜＜ 0.01
例1:将4个不同药厂生产的阿司匹林片用崩解仪 法进行片剂释放度的测定,每个样品进行5次实验, 以释放63%所需时间的对数值作为指标问4个药 厂生产的片剂释放度是否有差异?
总自由度：dfT=nk-1 组间自由度：dft=k-1 组内自由度：dfe=k(n-1)
总自由度：dfT=dft+dfe =(k-1)+k(n-1)
=k-1+kn-k=nk-1
2. 平方和的分解
总平方和=组间n平kk 方和+组内nn 平方和kk
( xiijj xxii ))22 ((xxii xx))22 11
当然，在多组数据的平均数之间做比较 时，可以在平均数的所有对之间做t检验。但 这样做会提高工作量和显著水平的概率，因 而是不可取的。
例如，我们打算用一对一对地比较的方法 检验5个平均数之间的相等性 共需检验C52=5(5-1)/2=10对
检验10个平均数之间的相等性 共需检验C102=10(10-1)/2=45对
实验次数
1
2
3
4
5
x. j
xi
x
2 .j
释放63%所需时间（分）的对数值
1#
2#
3#
4#
0.91 0.96 1.13 1.28
0.65 0.49 0.61 0.81
0.82 0.82 0.82 0.66
0.98 0.98 0.89 0.78
1.23 0.31 0.72 0.77
5.51 2.87 3.84 4.40 16.62
n
Baidu Nhomakorabea
(Sxti2=Sx)S2 tk/(k1-1)
i1 j1
i 1
j1
(x x) ij nn kkn kn k
SSe i1 j((1xxij(ixj ij(xx)i2xjx)i )2x2 )2 k
nS(ex2i=SxS)e2 /[k
(n-1)]
i i11 jji11 ij11 j1
i 1
4. 计算F值及F测验
• 方差是平方和除以自由度的商。因此， 方差分析的第一步就是进行自由度和平方 和的分解——将测量数据的总变异(总变差） 按照变异原因不同分解为各个因素的相应 变异：
1）作出其数量估计；
2）从中发现各个因素在变异中所占 的重要程度。
方差分析可以帮助我们掌握客观 规律的主要矛盾或技术关键，是科学 研究工作的一个十分重要的工具。
ijj111 ji11 j1 j1
St2=SSt/(k-1)
(xij
nn n nkk
SxSi )t2=nk k
k
n
(((xx(xiixjiijj xx)x)22xi ))2=20.73(1x i
x)2
k
=0.731/3 1 =0.2437
i i11i ij1j111j 1
2
i 1
j1
(x x) SSeini1n1ij1jikkn11j((1ijxkn1x1ij(jiikxjj1ij(xx)i2xjx)i )2x2 )=20k.i3n10(9x i
方差是表示变异的量，在一个多处理试验 中，可以得出一系列不同的观测值，造成它们 不同的原因是多方面的。 • 由处理不同引起的，叫处理效应（或叫 条件变异） • 由试验过程中偶然性因素的干扰和测量 误差所致，这一类误差称试验误差。
• 方差分析的最大优点是在于它可以全面分 析差异的原因。
方差分析的基本思想：
i1 j11
ii11
jj11
nn
i i11
nkk kn
((xxi(j
ijj11 ji11
jxikj 1ij(xx)2ixj))2i 2nxi1n)12jjikkn11 ((ijxknk1x11ij(jikxj 1iijj(xx)i2xjxx )ii ))2x22 )in2i1nnkk1iijnjnkkk1111(((x(xxixiijij xxx))2)222x)2
第三讲 方差分析与多重比较
一、什么叫方差分析？
• 方差分析即用方差作为统计量对试验结果 进行统计分析。
作用：检验多个总体均值是否相等
• 在前面讲了两个样本平均数差异 显著性检验，所用的一般为t检验。 • t检验可判断两组数据平均数的差 异显著性。
• 而方差分析可以同时判断多组数 据平均数（样本≥3）之间的差异显著性。
x
)
2Se2=SSe/[k (n-1)] =0.309/16
=0.0193
方差分析表
变异来源 组间 组内 总变异
df 均方和 S2 F F0.05 3 0.731 0.2437 12.63** 3.24
16 0.309 0.0193
19 1.04
F0.01 5.29
结论:差异极显著。
即用崩解仪法测得4个不同厂生产的阿司匹林的释 放度有极显著差别。
1.10 0.57 0.77 0.88 0.83 6.178 1.787 2.971 3.914 14.85
解: dfT=kn-1=4×5-1=19
dft=k-1=4-1=3 dfe=dfT-dft=19-3=16
n n nnkk kn k k
(xij
SxSi )T2i=i11i
(x((xixi(j xijxij)(x2x)2ixj ))122x=)12 .04
二、方差分析的基本原理
• 重复数相等的几个均数的比较
符号：
nn knk knn k k
xxiijj xxijij x为ij 表中所有观测数据之和
ii11 jij111 jii11 j1j1
n
xij 为各列(重复）之和
i 1
k
xij 为各行（处理）之和
j 1
1. 自由度的分解
设有k组样本，每样本具有n个观察值， 则总共有nk个观察值，其自由度df
(x x) ij
处理内的
i1 j1
处理间的
3. 计算方差
n n nkk kn k
n
k (xijSSxTi i)=2i11 ijjn11 (j((ixx11xi(ji xjij 1ij(xxx))2i2xj ))k22x1)2
i1 j1
i 1
j1
nk
nn nkk
i 1
( xij
j1
SxSi )t2=ii1nk1n ijjk11k1(((x(xxxiijiijjxx)x)2i22x)2)2