北师大版高中数学《导数及其应用》教材介绍
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北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值.
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
高中数学 第四章 导数应用课件 北师大版选修1-1
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成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-1Байду номын сангаас
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数应用 第四章
17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨站在巨人的肩膀上，凭着他 们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导 数是微积分的核心概念之一．它是研究函数增减、变化快慢、 最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸 如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、 利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具．
北师大版高中数学《导数及其应用》教材介绍
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
一、教材编写的基本结构
1.§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落. 2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题
1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力. 5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
一、教材编写的基本结构
1.§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落. 2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题
1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力. 5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数在实际问题中的应用一课件41416
解： R q 收 p q 2 入 5 1 q 2q 5 1 q 2
8
8
利 润 LRC25q1q2(1004q)
8
1q2 8
21q10(00q20)0
L'
1 4
q
21
令 L' 0， 即 1q21 0 求得唯一的极值点
q 84
4
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学 模型
优化问题的答案
作答
用函数表示的数学问题 解决数学模型
用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导 数应用》导数在实际问题中的应用 (一)课件41416
一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过 分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的 思想方法 二、教学重点：函数建模过程
V(40)为极大值，且为最。 大值
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
2013-8-20
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数应用小结与复习课件
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
2.与数学中其它分支的结合与应用. 22.01.2021
例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等
的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
令 S(r,)即h=2r,.解2r得V2 4,从r而 0
V r3
2
3 4V 23 V
2
V
V
h r2
(3
V
)2
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
22.01.2021
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个
23
23
x123,x223.
因此x当1点 B为(0,2),时,所矩以形(当的2最大面2积是时x 3, ,02 ) 233
22.01.2021
2
323
S(x)max 9 . 32 3 .
9
例5:证明不等式:
ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设 f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
二、重点导析： （一）、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数
y f x 在某个区间内可导，若
y f x 则
在该区间上是增函数；若
为减函数。
y f x
f x 0 ，
f x 0 ，则
22.01.2021
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
2.与数学中其它分支的结合与应用. 22.01.2021
例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等
的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
令 S(r,)即h=2r,.解2r得V2 4,从r而 0
V r3
2
3 4V 23 V
2
V
V
h r2
(3
V
)2
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
22.01.2021
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个
23
23
x123,x223.
因此x当1点 B为(0,2),时,所矩以形(当的2最大面2积是时x 3, ,02 ) 233
22.01.2021
2
323
S(x)max 9 . 32 3 .
9
例5:证明不等式:
ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设 f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
二、重点导析： （一）、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数
y f x 在某个区间内可导，若
y f x 则
在该区间上是增函数；若
为减函数。
y f x
f x 0 ，
f x 0 ，则
22.01.2021
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
高中数学第2章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修
对点训练❷ 一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆 汽车在t＝2时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
[解析] 设这辆汽车在 t＝2 附近的时间改变量为 Δt，则位移的改变 量 Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，则ΔΔst＝8＋2Δt.当 Δt 趋 于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8.
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率 1．1 平均变化率 1．2 瞬时变化率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 3．会求函数在某点附近的平均变化率．
练一练： 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B )
A．1 C．2
[解析]
B．－1 D．－2 ΔΔxy＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( D )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
[规律方法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
对点训练❶ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率
28π 为___3___.
[解析]
因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔyx＝2－3 1＝283π.
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度 s 与 t 的 函数关系为 s＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的t)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－
北师大版数学-第二章 变化率与导数及导数的应用 导数的概念及其几何意义教案 北师大版选修1-1
第二章 变化率与导数及导数的应用 导数的概念及其几何意义教案 北师大版选修1-1教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的基本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx(n∈N) ; )v (u '±=v u '±'3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状； ④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．二．基础训练1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( ) A.0>a B.0≥a C.a<0 D.0≤a2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．三．典型例题例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．（I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点．例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：导数及其应用课件
例1 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点
坐标．
跟踪训练1 设函数f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x) 的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
例2 设函数f(x)＝a ln x＋xx−+11，a为常数，讨论函数f(x)的单调性．
跟踪训练2 已函数的极值和最值 1．函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数 在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整 个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数 值中的最小值． 2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数， 直接利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值， 求参数的值． 3．通过对函数极值和最值的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理 和数学运算素养．
考点四 利用导数研究方程、不等式等综合问题 1．用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、 证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数， 然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数 图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一， 也是高考的重点和热点内容． 2．通过对以上知识的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和 数学运算素养．
(1)求a的值； (2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点二 利用导数研究函数的单调性 1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线 性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是 导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元 二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． 2．通过对函数单调性的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素 养．
新教材2023版高中数学第二章导数及其应用5简单复合函数的求导法则课件北师大版选择性必修第二册
【易错警示】
出错原因 对e1－2x的求导没有按照 复合函数的求导法则进 行，导致求导不完全致 错．
纠错心得 复合函数对自变量的导数等于已知函 数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数，分步计算时，每一步 都要明确是对哪个变量求导．
[课堂十分钟] 1．y＝ 3x2 + 2x 5的导数是( ) A．5 3x2 + 2x 4 6x + 2 B． 6x + 2 5 C．10 3x + 2 4 D．5 3x + 2 4 6x + 2
解析：∵y＝e－x， ∴y′＝－e－x， ∴y′|x＝0＝－1， ∴切线方程为y－1＝－x， 即x＋y－1＝0.
题型探究·课堂解透
题型一 求复合函数的导数
例1 求下列函数的导数
(1)y＝
1 3−4x
4；
(2)y＝cos (2 021x＋8)；
(3)y＝e1－3x；
(4)y＝ln (2x－6)．
方法归纳
2+1＝12，
解得a＝181.
方法归纳 准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步， 也是解题的关键，务必做到准确．
跟踪训练2 (1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0 垂直，则a＝_____2___．
解析：令y＝f(x)， 则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直， 所以f′(x)＝(eax)′＝aeax. 所以f′(0)＝ae0＝a， 故a＝2.
A．5太贝克
B．75ln 2太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克
答案：D
易错辨析 对复合函数求导不完全致错 例4 函数y＝xe1－2x的导数y′＝__(1_－__2_x)_e_1－_2_x__．
新教材2023版高中数学第二章导数及其应用4导数的四则运算法则课件北师大版选择性必修第二册 (1)
x−1 − x−1 x−1 2
′x＝－
1 x−1
2，
所即以－y2a＝′|x＝－2＝1.－1，
所以a＝2.
变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋12＝0， 所以所求距离d＝12+24＝942.
变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直 线方程．
方法归纳
利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练1 (1)(多选题)下列求导运算中正确的是( )
A．
x+1
x
′＝1＋x12
B．(lg
x)′＝x
1 ln
10
C．
ex x
′＝ex
x−1 x2
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
答案：BC
解析：
x+1
x
′＝1－x12，A错误；(lg
x)′＝x
答案：ABC
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)，则 f′(2)的值等于___－__2___．
解析：由f(x)＝x2＋3xf′(2)，得f′(x)＝2x＋3f′(2)， 令x＝2，则f′(2)＝4＋3f′(2)，解得f′(2)＝－2.
5．已知函数f(x)＝x3＋x－16 (1)求f′(x)； (2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程．
②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11；
③y′＝ex
cos
x−ex ex 2
sin
x＝cos
x−sin ex
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：导数的概念及其几何意义课件
解析：f′(100)＝0.1表示建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 000元/m2，也 就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 000元．
方法归纳 结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理 解的量．
跟踪训练1 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函
(2)求ΔΔyx＝f
x0+Δx −f Δx
x0
；
(3)当Δx趋于0时，得f′(x0)．
跟踪训练2 求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解析：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx
∴Δy＝2
解析：∵Δy＝
1 x+Δx2+2 Nhomakorabea−
1 x2
+
2
＝−2xx+ΔΔx−x
Δx 2x2
2
∴Δy＝
Δx
−2x−Δx x+Δx 2x2
当Δx趋于0，知函数f(x)＝x12＋2在x＝1处的导数为－2，
∴f′(1)＝－2.
方法归纳
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
＝ −4 ·Δx+ Δx 2
Δx
＝－4＋Δx 令Δx趋于0，则f′(－2)＝－4， 在点(－2，8)处的切线方程为：y－8＝－4(x＋2)， 即y＝－4x.
题型探究·课堂解透
题型一 在某一点处导数的实际意义 例1 建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元．假设函数y＝f(x) 在x＝100处的导数为f′(100)＝0.1，请解释它们的实际意义．
方法归纳 结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理 解的量．
跟踪训练1 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函
(2)求ΔΔyx＝f
x0+Δx −f Δx
x0
；
(3)当Δx趋于0时，得f′(x0)．
跟踪训练2 求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解析：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx
∴Δy＝2
解析：∵Δy＝
1 x+Δx2+2 Nhomakorabea−
1 x2
+
2
＝−2xx+ΔΔx−x
Δx 2x2
2
∴Δy＝
Δx
−2x−Δx x+Δx 2x2
当Δx趋于0，知函数f(x)＝x12＋2在x＝1处的导数为－2，
∴f′(1)＝－2.
方法归纳
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
＝ −4 ·Δx+ Δx 2
Δx
＝－4＋Δx 令Δx趋于0，则f′(－2)＝－4， 在点(－2，8)处的切线方程为：y－8＝－4(x＋2)， 即y＝－4x.
题型探究·课堂解透
题型一 在某一点处导数的实际意义 例1 建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元．假设函数y＝f(x) 在x＝100处的导数为f′(100)＝0.1，请解释它们的实际意义．
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7. 在教材中，编写了一些数学文化的内容，例 如，通过“阅读材料”对微积分产生历史的 简单介绍，使学生体会数学对社会进步的作 用.
.
三、重点、难点分析的建议
1. 重点：导数的概念、定积分的概念、导数的 应用.
2. 难点：对导数概念及其意义的认识、 导数和定积分在实际中的应用.
.
四、教学中需要注意的问题
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1. 在系列1中，没有定积分和对简单复合函数求 导的内容.对其他内容的要求，在系列1和系 列2中是完全一样的.
.
四、教学中需要注意的问题
2. 在这一部分的教学中，应清楚高中与大学关于导 数处理的基本微积 分，比如，不讲极限理论、不讨论函数的连续性 等，直接介绍导数的概念，恢复了牛顿引入导数 的基本思想. (2) 在高中阶段不讨论瞬时变化率的存在性问题， 而直接通过平均变化率理解瞬时变化率，也就是 说我们所讨论的绝大部分函数都是好函数，它们 的导数都是存在的.
.
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力.
5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
.
二、教材编写特色
6. 在教材中，以变速直线运动等案例为载体， 利用速度与时间的函数关系计算路程，揭示 了速度与路程的关系，很自然的给出了微积 分基本定理.
.
一、教材编写的基本结构
2.章节目录（理）
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
.
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落.
.
四、教学中需要注意的问题
3. 应该让学生通过多个实例具体计算、体会 “由平均变化率到瞬时变化率”过程，以加 深学生对导数本质的理解.
.
四、教学中需要注意的问题
4. 在计算函数y=f(x)在x0点导数的教学中，我们强调 了以下过程：
(1)在给定自变量的改变量△x (常量)； (2)求出函数y=f(x)在x0的改变量 △y=f(x0+△x)-f(x0); (3)计算相应的平均变化率△y/△x ，并进行化简； (4)讨论，当△x趋于0时，平均变化率的极限.
2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
.
二、教材编写特色
3. 清晰地刻画了求函数在x0点导数的过程： (1)给定自变量的改变量△x (常量)； (2)求出函数y=f(x)在x0的改变量 ，即 △y=f(x0+△x)-f(x0); (3)计算相应的平均变化率△y/△x ，并进行化简； (4)讨论，当△x趋于0时，平均变化率的极限. 在教材讨论的问题中，不出现0/0型和∞/∞型的情形.
6. 在用导数解决实际问题的教学中，关键是帮 助学生学会找出问题中的函数及其变化率， 用它来建立恰当的数学模型，解决实际问题.
.
在教学中，要注意选择例题和习题，使得这 些题目在计算平均变化率时，化简后，不出现0/0 型和∞/∞型的情形.
.
四、教学中需要注意的问题
5. 教材没有给出基本初等函数的求导公式和导 数的四则运算法则（包括简单复合函数的求 导法则）的严格推导，但是要求学生会用这 些公式和法则，熟练地计算导数，以提高学 生的运算能力.
普通高中课程标准实验教科书
导数及其应用
高中数学课程标准 北师大（版）教材编写组
.
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构（理）
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（理）
第二章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
.
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构（文）
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（理）
第三章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
.
三、重点、难点分析的建议
1. 重点：导数的概念、定积分的概念、导数的 应用.
2. 难点：对导数概念及其意义的认识、 导数和定积分在实际中的应用.
.
四、教学中需要注意的问题
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1. 在系列1中，没有定积分和对简单复合函数求 导的内容.对其他内容的要求，在系列1和系 列2中是完全一样的.
.
四、教学中需要注意的问题
2. 在这一部分的教学中，应清楚高中与大学关于导 数处理的基本微积 分，比如，不讲极限理论、不讨论函数的连续性 等，直接介绍导数的概念，恢复了牛顿引入导数 的基本思想. (2) 在高中阶段不讨论瞬时变化率的存在性问题， 而直接通过平均变化率理解瞬时变化率，也就是 说我们所讨论的绝大部分函数都是好函数，它们 的导数都是存在的.
.
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力.
5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
.
二、教材编写特色
6. 在教材中，以变速直线运动等案例为载体， 利用速度与时间的函数关系计算路程，揭示 了速度与路程的关系，很自然的给出了微积 分基本定理.
.
一、教材编写的基本结构
2.章节目录（理）
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
.
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落.
.
四、教学中需要注意的问题
3. 应该让学生通过多个实例具体计算、体会 “由平均变化率到瞬时变化率”过程，以加 深学生对导数本质的理解.
.
四、教学中需要注意的问题
4. 在计算函数y=f(x)在x0点导数的教学中，我们强调 了以下过程：
(1)在给定自变量的改变量△x (常量)； (2)求出函数y=f(x)在x0的改变量 △y=f(x0+△x)-f(x0); (3)计算相应的平均变化率△y/△x ，并进行化简； (4)讨论，当△x趋于0时，平均变化率的极限.
2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
.
二、教材编写特色
3. 清晰地刻画了求函数在x0点导数的过程： (1)给定自变量的改变量△x (常量)； (2)求出函数y=f(x)在x0的改变量 ，即 △y=f(x0+△x)-f(x0); (3)计算相应的平均变化率△y/△x ，并进行化简； (4)讨论，当△x趋于0时，平均变化率的极限. 在教材讨论的问题中，不出现0/0型和∞/∞型的情形.
6. 在用导数解决实际问题的教学中，关键是帮 助学生学会找出问题中的函数及其变化率， 用它来建立恰当的数学模型，解决实际问题.
.
在教学中，要注意选择例题和习题，使得这 些题目在计算平均变化率时，化简后，不出现0/0 型和∞/∞型的情形.
.
四、教学中需要注意的问题
5. 教材没有给出基本初等函数的求导公式和导 数的四则运算法则（包括简单复合函数的求 导法则）的严格推导，但是要求学生会用这 些公式和法则，熟练地计算导数，以提高学 生的运算能力.
普通高中课程标准实验教科书
导数及其应用
高中数学课程标准 北师大（版）教材编写组
.
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构（理）
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（理）
第二章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
.
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构（文）
.
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（理）
第三章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题