晶体结构的周期性是如何描述的

晶体点阵结构理论
1.直线点阵中的素向量和复向量 连接直线点阵上相邻两个点阵点的向量是单位向量a， 又称素向量，其取法是唯一的，连接不相邻两个点阵点的 向量是复向量，其取法有无限多种。 2.平面点阵中的素单位和复单位 在平面点阵中，选择不平行的两个单位向量a和b，就 能定义一种平行四边形点阵单位，只净含一个点阵点的是 素单位（素格子），多于一个点阵点的是复单位（复格 子），两者都有无限多种取法，但素单位的面积都相等。
结构化学
晶体结构的周期性是如何描述的
目录
什么是晶体的周期性 晶体点阵结构理论发展的历史
晶体点阵结构理论
什么是晶体的周期性
晶体是由原子、离子、分子或基团在空间按一定规 律周期性地重复排列形成的固体物质。
晶体最突出的特征是晶体内原子、分子等微粒在所 占有的空间中作周期排列。晶体结构的周期性可抽象成 为一个数学上的点阵，所以首先需要确定晶体中重复出 现的最小单元，作为结构基元，不同晶体的结构基元复 杂程度差别很大，对于指定的一种晶体，各个结构基元 在化学组成、空间结构、排列取向、周围环境4个方面 都必须完全相同，将每个结构基元用一个几何上的点来 代表，称为点阵点、阵点或结点，于是，整个晶体就被 抽象成一组点，称为点阵。
晶体点阵结构理论
2.素晶胞、复晶胞和正当晶胞 素晶胞指净含一个结构基元的晶胞，复晶胞指净含一 个以上结构基元的晶胞，正当晶胞指与正当单位对应的晶 胞。 3.素晶胞与结构基元的关系 结构基元是周期性结构中重复排列的基本单元即最小 单元，对应的数学对象是一个点阵点。仅有点阵点，不可 能知道它们在点阵中如何排列；仅有结构基元，只能知道 晶体中周期性重复出现的内容是什么，而不可能知道它们 在晶体中如何排列。所以，结构基元本身并不能代表晶体 结构，必须再加上点阵才行。有一种通俗的说法是 晶体=结构基元+点阵 所以，结构基元不是代表晶体结构的最小单位。
晶体点阵结构理论
按照a、b、c 平移下去，点阵中就形成一套由3组直
线交织成的网格，称为晶格或空间格子，其中包含无数
并置的点阵单位。 点阵单位和晶格本质上相同，在语义上，前者着眼于 个体，后者着眼于整体，多数教科书把这两者统称为格 子，但要注意他们是抽象出来的数学概念，应与真实物 质区分，比如不能说锌格子。
每个结构基元内容：
2C，4H
a
结构基元的重复周期： a
点阵点： 把点阵点设在一个C的等同点系上
晶体点阵结构理论
金刚石晶体
等同点系数目：2
结构基元： 2个C原子
晶体点阵结构理论
三、点阵单位和晶格
点阵包含无限多个点阵点，在连接任意两个点阵点的
矢量方向上，这些点在空间都呈周期性排列。如果从点阵 中一点出发，选取3个互不平行的、连接相邻两个点阵点的 单位向量a、b、c，由此决定的平行六面体称为点阵单位， 也是点阵的一种几何表示形式。 a=I a I b=I bI c= Ic I a =b^c b =c^a g =a^b a, b, c, a, b, g 合称为描述点阵单位的点阵参数
5 2 1 4 3 4 1 3 4 6 5 2 1 3 6 5 2 4 1 3 6 5 2 4 1 3 6 5 2 4 1 3
6
5 2
6
5
6 2
4
1 3
有6套等同点系，2套C，4套H
晶体点阵结构理论
判断结构基元和点阵的方法 1.找出所有等同点系，指出数目和内容。 2.从每个等同点系上各取一个原子，集合起来就是结构基元。 3.把结构基元抽象为点阵点，点阵点设在其中任一个等同点 系的位置，点阵点组合构成点阵。 注意：结构基元的重复周期为一个等同点系的周期。
c a b
oP
oI
oC
oF
正交 orthorhombic a b c, a = ß= g = 90o C-底心(C-face centred)
晶体点阵结构理论
c b a b b
单斜 monoclinic (P C) a b c, a = g = 90o, b 90o
mP
mC
c
三斜 anorthic (P) (triclinic) a b c, a b g 90o
晶体的点阵结构理论
a a a
cI cF 立方 cubic a = b = c, a = ß= g = 90o P-简单(Primitive) I-体心(Body centred) F-面心(All-face centred) 六方P hexagonal (P) a = b c, a = ß= 90o, g = 120o hP hR R心六方
b a a g b
aP
晶体点阵结构理论
四、平移群 点阵和晶格都是几何表示方式，很直观，但画起来 很直观且不便于运算，所以可以采用一种简洁便于运算 的代数表示方式，如对于下图所示的点阵（部分），从 坐标原点O出发，按照单位矢量a、b、c平移，每次平移 后，平移矢量端点处出现一个点阵点，无数次平移后， 点阵就产生了。 所有的平移矢量都可以被 概括在平移群中， Tm, n, p=ma+nb+pc (m, n, p = 0, 1, 2, …) 周期平移或初基平移
晶体点阵结构理论发展的历史
1842年德国学者弗兰肯汉姆提出晶体结构应该是按照 周期性排列成三维晶格(单胞)来取代阿羽依的“分子”多 面体，并推导出15种可能存在的空间格子，随后法国学者 布拉维根据三维晶格的对称性和正交性，修正了弗兰肯汉 姆所提出的15种空间格子理论，于1855年确定了晶体结构 中一切可能的空间格子共有14种不同类型，这就是在晶体 学中有重要地位的14种布拉维空间格子(点阵)，从群论来 看，这14种布拉维点阵又称为14种平移群，14种布拉维点 阵全面地反映了晶体结构中原子或分子排列的基本规律， 它是确定单胞(晶胞)参数(a、b、c;α 、β 、γ )的依据， 又是晶体的微观对称性—空间群不可分割的组成部分。
晶体点阵结构理论
一、结构基元与点阵 1.一维周期性结构与直线点阵
周期性结构 · · · · · · · · 点阵
·
·
·
·
·
·
·
晶体点阵结构理论
2.二维周期性结构与直线点阵
a b
铜晶体密置层
铜晶体密置层的点阵
晶体点阵结构理论
石墨层状分子
从数学角度给出点阵的定义：按连接任意两个点 的矢量将所有的点平移而能复原的一组无限多个点。
晶体点阵结构理论
点阵和晶格的含义相似，都是从晶体中抽象出来的几何
图像，在英文中都称为lattice。点阵用结构基元抽象出的点
阵点的空间排列反映晶体结构的周期性，晶格则用直线把点 阵划分成平行并置的点阵单位来反映晶体结构的周期性。 不过，点阵和晶格也有稍许区别：对任何指定的晶体，其 点阵具有唯一性，而晶格（及点阵单位）不具有唯一性。
晶体点阵结构理论发展的历史 1801年法国学者阿羽依提出了有理指数的定律，根据 这一定律，晶体结构应具有周期性，并有三个轴单位矢量a 、b、c,按照它们的方向及其相互间的夹角α 、β 、γ 可构 成一个初基平行六面体，后来称此种平行六面体为单胞。 阿羽依假定晶体的“分子”具有这样的 形态，他从晶体的解理性得出存在这种 微观平行六面体。同时他提出方解石 （CaCO3）解理成越来越小的菱面体，最 后可以得到最小的菱面体基元，这种菱 面体基元可以填满三维空间，最后形成 了具有多面体外形的晶体。显然，有理 指数定律更加透露出这些结构基元在三 维空间周期性排列的信息。
晶体点阵结构理论
晶体点阵结构理论
因为复单位取法有无限多种，所以需要规定一种正当平面单位。 平面点阵的正当单位有四种形状和五种型式。 a a b b a
a b
b
矩 b 形
正方形 六方形
a
矩形(带心)
斜交形
a=b
a=b
a b
a b ab90°
ab=90° ab=120° ab=90°
晶体点阵结构理论
晶体点阵结构理论发展的历史
从以上所述，不难看出，晶体学的发展与其继承的关 系，有理指数定律和14布拉维点阵类型，虽然已经肯定了 晶体是原子在三维空间作周期性堆积，但当时缺少科学实 验的证明。 1912年德国物理学家劳厄等通过晶体对X射线衍射实 验，完全证实了晶体点阵结构理论的正确性，并极大地推 动了晶体学的发展，同时也说明了实验科学的重要性。
晶体点阵结构理论
晶体结构周期性的几何表示形式和代数表示形式
几何表示形式：点阵
直线点阵 平面点阵 空间点阵
代数表示形式：平移群 Tm=ma Tm, n=ma+nb Tm, n, p=ma+nb+pc
晶体点阵结构理论
五、晶胞 1.晶胞的概念 把晶体抽象成空间点阵，又用直线网格的形式—— 晶格表示出来，其中包含着无数并置的平行六面体—— 点阵单位。如果把这晶格放回到晶体中去，晶格会把晶 体切分成无数个并置的平行六面体小晶块，每个点阵单 位对应着一个小晶块，称为晶胞，它代表晶体结构的基 本重复单位。点阵单位的点阵参数a、b、c，α 、β 、γ 也是晶胞的晶胞参数，表达了晶胞的形状和大小。只不 过，但晶胞是由真实的质点构成的，而点阵单位只是数 学概念。
晶体点阵结构理论
素晶胞则对应于点阵中的一个素单位，尽管也净含 1个点阵点，但总由8个顶点“合成”（8*1/8=1）。素单 位的点阵参数a、b、c，α 、β 、γ 本身就代表了点阵的 信息，这些也是晶胞参数，素晶胞只要平行并置就能构成
晶体，不需要点阵提供如何排列的信息。
尽管素晶胞是代表晶体结构的最小重复单位，但取 法有无穷多种。所以，研究晶体结构几乎总是选择正当晶 胞, 这可能是素晶胞或复晶胞，正当晶胞平行并置同样能 构成整个晶体。
cP
hexagonal (R)
a = b c, a = ß= 90o, g = 120o
晶体点阵结构理论
四方 tetragonal (P I) a = b c, a = ß= g = 90o
c a a
tP
tI
P-简单(Primitive) I-体心(Body centred) F-面心(All-face centred)
晶体点阵结构理论
4.晶胞的两个基本要素 (1)晶胞的大小、形状和型式：大小、形状可用晶胞参数 a, b, c, a, b, g 确定，型式指素晶胞还是复晶胞。 (2)晶胞的内容：原子的种类、数目和位置 设晶胞的顶点为 O, 各原子的位置用原子位置矢量 r=xa+yb+zc的(x,y,z)描述，称为原子的坐标参数，他们都 是小于1的数，又称分数坐标。 Z 注意： c ·分数坐标与坐标原点和a、b、c相关。 P b zc ·晶体中的坐标系采用晶轴系。 aO xa Y yb ·x,y,z分别以a、b、c为轴单位来度量， 即使a≠b≠c，只要原子的位置矢量是 X a/2+b/2+c/2，分数坐标仍是（1/2，1/2，1/2）。
晶体点阵结构理论发展的历史
晶体学的诞生可以说是从17世纪开始的。1669年丹麦 学者斯丹诺首先提出了晶面角守恒定律，即在相同的热力 学条件下，生长同样成分同种晶体之间，其对应的晶面交 角恒等。此定律的提出，不仅为后来人们对晶体形态学的 研究奠定了基础，同时也透露出晶体结构中原子作周期性 排列的信息。 1749年俄国科学家洛蒙诺索夫在论文《硝石的形成和 本质》中给出了硝石晶体结构的微粒呈六角形分布，并写 道：“假定硝石的组成粒子是球状，并且尽可能堆积，那 就很容易解释，为什么硝石生长成六角晶体。”
晶体点阵结构理论
选取结构基元的三种做法：
晶体点阵结构理论
3.三维周期性结构与直线点阵
a a a
α-Po Cu Ag Au 等
Li Na K Cr MoFra Baidu bibliotekW等
Ni Pd Pt
晶体点阵结构理论
CsCl型晶体结构
CsCl型晶体点阵
NaCl型晶体结构
NaCl型晶体点阵
晶体点阵结构理论
二、利用等同点系确定结构基元和点阵 等同点系：把内容相同，周围环境也相同的原子叫一个等 同点系。 在等同点系内，内容相同，周围环境也相同；在等同 点系之间，重复的周期一样，即方向大小一样。
3、平面点阵中的素单位和复单位 净含一个点阵点的空间点阵单位是素单位，取法有无限多 种，体积都相同；净含多于一个点阵点的空间点阵单位是复单
位，取法也有无限多种。所以需要规定一种正当空间单位。 正当空间单位的标准:（次序不能颠倒）
1. 与空间点阵对称性一致的平行六面体 2. 直角数目尽可能多 3. 包含点阵点数目尽可能少（即体积尽可能小） 正当空间单位有6种形状，14种型式