高考数学专题20 立体几何大题(解析版)

专题20 立体几何大题（解析版）
立体几何解答题高考中的必考题，占12分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。

如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。

立体几何解答题中的易错和易混点
易错点1：求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法；
易错点2：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见；
易错点4：求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 易错点5：求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 易错点6： 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90° 直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
易错点7：用向量法求线面角得的是正弦值，而不是余弦值；
易错点8：用向量法求二面角时，最后一步忘了判断二面角的平面角是钝角还是锐角，导致结果错误。

题组一 1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8， 点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图： （Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ， 则114,8AM A E EM AA ==== 因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===
于是226MH EH EM =
-=，所以10AH =
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向， 建立如图所以的空间直角坐标系D xyz -，则
(10,0,0),(10,10,0),(10,4,8),(0,4,8),(10,0,0),(0,6,8)A H E F FE HE ==- 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则
0,0,n FE n HE ⎧=⎪⎨
=⎪⎩即100,
680,x y z =⎧⎨-+=⎩
所以可取(0,4,3)n =
又(10,4,8)AF =-， 故||45
|cos ,|15
||||n AF n AF n AF <>=
=
所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为
415
15
所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为
24
． 2.（2016全国III ）如图，四棱锥P ABCD -中，
PA ⊥底面ABCD ，AD BC ，=3AB AD AC ==，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN 平面PAB ；
（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）由已知得23
2
==
AD AM ，
取BP 的中点T ，连接TN AT ,．
由N 为PC 中点知BC TN //，22
1
==BC TN ．
又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //．
因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．
（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，
且5)2
(22
22=-=-=BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，
)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2
5
(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,2
5
(
-=PN ， )2,1,2
5
(
=AN ． 设(,,)x y z =n 为平面PMN 的法向量，则00
PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-022
5042z y x z x ，
可取(0,2,1)n =，
于是||85
|cos ,|25
||||n AN n AN n AN ⋅<>=
=
． 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
85
25
题组二
3.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
12
2
AA AC CB AB ===
E
D
C
B
A
A 1
B 1
C 1
P
A
B D
C N M
（Ⅰ）证明：1BC //平面1A CD ；
（Ⅱ）求二面角1D A C E --的正弦值．
【解析】（Ⅰ）连结1AC ，交,D E 分别是1,AB BB 的中点，1A C 于点O ，
连结DO ，则O 为1AC 的中点，
因为D 为AB 的中点，所以OD ∥1BC ，又因为OD ⊂平面1A CD ，
1BC ⊄平面1A CD ，所以1BC //平面1A CD ；
（Ⅱ）由1AA
=AC=CB=
2
AB 可设：AB=2a ，则1AA
， 所以AC ⊥BC ，又因为直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图， 则(0,0,0)C
、1)A 、
D
、E ，
1(2
)CA a =，
2
(2
CD =，(0,CE =， 1(,A E =-，
设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，则0n CD ⋅=且10n CA ⋅=，
可解得y x z =
-=，令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为(1,1,1)n =--，
同理可得平面1A CE 的一个法向量为(2,1,2)m =-，
则cos ,n m <>=
，所以6sin ,3
n m <>= 所以二面角D-1A C -E
4．（2012新课标）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，
11
2
AC BC AA ==
，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1． （Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；
（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．
【解析】（Ⅰ）在Rt DAC ∆中，AD AC =，得：45ADC ︒
∠=
同理：1114590A DC CDC ︒
︒
∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （Ⅱ）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H
1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合
A
C
B
1
B 1
A D
1
C 1
且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，则122
a
C O =
，1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒
传统法求二面角的大小：作出二面角的平面角并通过解三角形计算。

作平面角常用方法如下：
①先确定二面角的棱，在棱上找一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为平面角。

②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，两交线所成的角即为平面角
③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个半平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所成角为平面角。

④利用特殊图形的垂直关系直接作出平面角。

此类问题的特征是图形中一般有二面角的平面角，只须利用前面三种方法进行判断即可找到二面角的平面角。

题组三
5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB 、R t △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B-CG-A 的大小.
【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．
由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．
（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH =3．以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系–H xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0，3），
CG =（1，0，3），AC =（2，–1，0）．
设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,
20.x z x y ⎧+=⎪⎨
-=⎪
⎩ 所以可取n =（3，6，–3）．
又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0）， 所以3
cos ,||||2
⋅〈〉=
=
n m n m n m ．
因此二面角B –CG –A 的大小为30°．
附：平面图形的翻折问题：
（1）将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转
（2）求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折
过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立几问题。

（3）把平面图形翻折成空间图形后的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量。

一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是变的。

题组四 6．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三
角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，
AB BD =．
(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C
--的余弦值．
【解析】（1）由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC =．
又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠
取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =． 又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥． 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角． 在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=．
又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=． 所以平面ACD ⊥平面ABC ．
（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则(1,0,0)A
，B ，(1,0,0)C -，(0,0,1)D ．
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的
体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1
2
，
即E 为DB 的中点，
得1)2E ． 故(1,0,1)AD =-，(2,0,0)AC =-
，1()2
AE =- 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0，0，n n
即x z x y z -+=⎧⎪
⎨-++=⎪⎩
01
022
可取=n 设m 是平面AEC 的法向量，则0，
0，
AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m
同理可得(0,=-m
A B C D
E
则cos ,=
=
7
7
n m n m n m 所以二面角D AE C --的余弦值为
7
7
． 7．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的
平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，
D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．
因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．
因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ． 又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．
而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．
(2)以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．
当三棱锥M ABC -体积最大时，M 为CD 的中点．
由题设得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)M ，
(2,1,1)AM =-，(0,2,0)AB =，(2,0,0)DA = 设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则
0,0.
AM AB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n 即20,
20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n ．
DA 是平面MCD 的法向量，因此
5
cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ， 25
sin ,5
DA =
n ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是
25
5
．
题组五 8．（2014新课标II ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD
为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ； （Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3， 求三棱锥E ACD -的体积．
【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．
M D C
B
A
z
y
x
A B
C
D M
又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．
EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ． （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，
AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,3,0),D 31(0,
,),22E 31(0,,)22
AE =． 设(,0,0)(0)B m m >，则(,3,0),C m (,3,0)AC m =． 设1(,,)x y z =n 为平面AEC 的法向量，
则
110,0,
AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即
30,
31
0,22
mx y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可取
13
(
,1,3)m
=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面DAE 的法向量，
由题设121cos ,2=
n n ，即2
31342m =+，解得3
2
m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为1
2
．
三棱锥E ACD -的体积11313
332228
V =⨯⨯⨯⨯=．
9．（2011新课标）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
平行四边形，60DAB ∠=︒，
2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明：PA BD ⊥；
（Ⅱ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．
【解析】（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，
由余弦定理得3BD AD =
从而2
2
2
BD AD AB +=，故BD ⊥AD
又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD ． 故 P A ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ，()03,0B ，，()
1,3,0C -，()0,0,1P ．
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n ，
则00
AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即 30
30
x y y z ⎧-+=⎪⎨
-=⎪⎩ x
y
z O
A
B C
D
P
E
因此可取n =(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则 0
PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m
可取m =（0，-1，3-）
427
cos ,727
-=
=-m n 故二面角A-PB-C 的余弦值为27
7
-
． 题组六 10．（2010新课标）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，
AB CD ∥，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点.
（Ⅰ）证明：PE BC ⊥； （Ⅱ）若60APB ADB ∠=∠=，求直线PA 与平面PEH 所 成角的正弦值．
【解析】以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长
为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B
（Ⅰ）设(,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则1(0,,0),(,
,0).22m
D m
E 可得1(,,),(,1,0).22
m
PE n BC m =-=-
因为0022
m m
PE BC ⋅=-+=，所以PE BC ⊥
（Ⅱ）由已知条件可得 33,1,33
m n C =-=-故 (,0,0) 313(0,,0),(,,0),(0,0,1)326
D E P -- 设 (,,)n x y x =为平面PEH 的法向量则0,0,
HE HP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即13026
0x y z ⎧-
=⎪⎨⎪=⎩
因此可以取(1,3,0)=n ，由(1,0,1)PA =-，可得2cos ,4
PA =
n ， 直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值
24.
立体几何十大经典类型（解题思想方法归纳） 类型一： 证明线线平行
1.证明两直线a 、b 平行，若直线a 和直线b 共面时，则可以用平面几何中常用的一些方法（如证明a 和b 是一个平行四边形的一组对边）证明它们无公共点。

在立体几何中一般还有以下几种思路：
①根据公理4 ②根据“线面平行”的性质定理
③根据“线面垂直”的性质定理，若直线a 和b 都与平面α垂直，则a //b 。

④根据“面面平行”的性质定理 ⑤根据三角形中位线的性质。

⑥根据平行四边形的性质。

⑦根据对应线段成比例。

2.设法转化为线面平行、面面平行、线面垂直的相关问题 3.向量方法：证明向量共线。

类型二： 证明线面平行 1.传统几何方法：
①根据直线与平面平行的定义 ②根据直线与平面平行的判定定理 ③根据平面与平面平行的性质定理 2.方法②通过“线线平行证明线面平行”，是由低维升向高维的一种思维方式；方法③通过“面面平行证明线面平行”，是由高维降向低维的一种思维方式。

这两种思维方式是立体几何中基本的思维方法。

3.向量方法：
①转化为证明向量共线。

②根据共面向量定理。

③证明向量与平面的法向量相互垂直。

类型三： 证明面面平行 1．传统几何方法：
①根据两个平面平行的定义 ②根据两个平面平行的判定定理 ③垂直于同一条直线的两个平面平行 ④平行于同一平面的两个平面平行 思维过程：注意三者的转化
线线平行−−
→−判定线面平行−−→−判定
面面平行 线线平行−−
−←性质
线面垂直−−−←性质
面面平行 向量方法：
①转化为用向量证明线线平行、线面平行问题。

②证明两个平面的法向量共线。

类型四： 证明线线垂直
1． 证明线线垂直，若两条直线在同一平面内，可用平面几何中证明两条直线垂直的方法来
证明它们垂直。

立体几何一般有以下几种证明方法： ①根据定义
②如果直线a //直线b ，直线a ⊥直线c ，则c b ⊥ ③如果直线⊥a 平面α，α⊂c 则c a ⊥ ④三垂线定理及其逆定理
⑤根据二面角的平面角的定义⑥等腰（等边）三角形中的中线 ⑦菱形（正方形）的对角线互相垂直 ⑧勾股定理中的三角形
⑨1:2:2 的直角梯形中 ⑩利用相似或全等证明直角，直径所对的圆周角 2． 向量方法：证明向量相互垂直。

类型五： 证明线面垂直 1． 传统几何方法：
①如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线，则这条直线和这个平面垂直 ②线面垂直的判定定理
③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线也与另一个平面垂直 ④两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 ⑤面面垂直的性质定理
2． 向量方法：
①转化为证明向量垂直。

②证明向量与平面的法向量共线。

类型六： 证明面面垂直 1．传统几何方法：
①根据面面垂直的定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直
②根据面面垂直的判定定理
③利用结论：如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它垂直于另一个平面 2 ．向量方法：
①转化为用向量证明线线垂直、线面垂直问题。

②证明两个平面的法向量相互垂直。

类型七： 求异面直线所成角
1． 传统几何方法：先判断这个角是否是直角，如果是直角可直接证明并得出结论，一般求
角的步骤是：
（1）利用平移作出要计算的角； （2）构造含该角的三角形； （3）解三角形求角 2． 异面直线所成的角作法： ①定义。

在具体问题中异面直线的给出是异面线段形式表示的，因此由异面直线所成角的定义我们可以选择两条线段的四个端点，过其中一个端点作另外一条线段的平行线，选择点的原则是过这点作另外一条线段的平行线要容易作（往往是这点和另外一条线段在一个三角形中且这点在三角形的一边上，或这点和另外一条线段在已知一个平面内且作平行线要好作）
②利用中位法。

如给出异面直线AB 和CD ，连接AC 、AD 、BC ，然后再分别取这三条线段的中点E 、F 、G ，连接EF 、EG 、FG 得到△EFG ，则∠FEG 就是所求角或所求角的补角。

这种方法优点是作异面直线所成角比较容易，但缺点是△EFG 中有一边GF 的长度不容易求。

3． 向量方法：
转化成求两个向量的夹角（即等于所求的异面直线所成的角或其补角的大小）
类型八： 求平面的斜线与平面所成角 1． 传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。

②利用三面角定理（即最小角定理）21cos cos cos θθθ⋅=求1θ。

2． 向量方法：设n 为平面α的法向量，直线a 与平面α所成的角为θ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛>∈<-><⎥⎦⎤ ⎝⎛>∈<><-=πππππθ,2,,2,2,0,,,2n a n a n a n a
类型九： 求二面角
1． 作出二面角的平面角并通过解三角形计算。

作平面角常用方法如下：
①先确定二面角的棱，在棱上找一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为平面角。

②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，两交线所成的角即为平面角。

③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个半
平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所成角为平面角。

④利用特殊图形的垂直关系直接作出平面角。

此类问题的特征是图形中一般有二面角的平面角，只须利用前面三种方法进行判断即可找到二面角的平面角。

2． 求二面角的大小有时也可不必作平面角，只须判断出二面角与某个线面角或线线角相
等，求出即可。

①用射影面积公式：S
S /
cos =θ （其中S 为斜面面积，/S 为射影面积，θ为斜面与其射影面所成的二面角的平面角）。

此法
适用于棱未给出或平面角难以作出的情形。

②公式法：如利用两条异面直线上两点间的距离公式可求出二面角，公式为：θcos 2222mn n m d EF -++=
③向量方法：
只要在两个半平面内各有棱的垂线a 、b （不必相交），则向量a 、b 所成的角的大小等于所求二面角或其补角的大小。

另法：设1n 、2n 分别为两个半平面的法向量，则它们所成的角的大小等于所求二面角或其补角的大小。

3． 对于棱未给出的二面角的求法可通过“作平行线”法或“找公共点”法寻求棱。

类型十： 求距离
1． 立体几何主要研究以下八种距离：点点距、点线距、点面距、线线距（平行线间距离与
异面直线间的距离）、线面距、面面距及球面上两点间的距离（课本9.10）。

（1）无论哪种距离，其定义原则有以下两条：一是惟一性，二是最短原则。

（2）以上距离之间有些可以互相转化，如两平行线间距离可以转化成点线距，线面距与面面距都可转化成点面距，再转化成点线距。

（3）关于点线距问题经常用到三垂线定理或其逆定理来作出距离，其关键是垂足位置的确定。

（4）点线距、点面距为重点，异面直线间的距离是难点。

2． 求点到平面的距离，主要有以下方法：
①作出垂线段，直接求垂线段的长度。

②若点在一个平面上，而此平面又垂直于已知平面，利用面面垂直必推出线面垂直，得出表示距离的垂线段。

（若上述平面难以找到，可以转化为与所求距离等价的另一个平面、直线或点到已知平面的距离）
③垂足不易确定时，可转化为三棱锥的高，再利用等积法求点面距离。

④向量方法：
若平面α的一法向量为n ，直线AB 与平面α交于点A ，
点B 到平面α的距离为h ，则
h =
3． 求异面直线间的距离的方法：
①求公垂线段的长度
②可把距离看作某图形的高，转化为其他距离问题。

例如转化成其中一条异面直线（a ）到过另一条异面直线（b ）且与这条直线（a ）平行的平面的距离。

③转化为求线段长函数的最小值。

④公式法：(见课本49页)
θcos 2222mn n m l d --=设n 为两异面直线公垂线的方向向量，E 、F 分别为这两条直线上各一点，则EF 在n 的单位向量e 上的正射影的长度即为所求的距离，即所求距离
h =
⋅=。