武汉大学2005数学分析试题解答

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武汉大学大一高数下五年期末考试试题

武汉大学大一高数下五年期末考试试题
D
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1

f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2

武汉大学近二十年数学分析考研真题

武汉大学近二十年数学分析考研真题

其中 N > 0 为一常数,且逐点有 fn (x) → f (x) (当 n → +∞ )。证明: (1) f (x) 在[a,b] 上连续。
(2) fn (x)→ f (x) 。
6.设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
,证明
+
1 32

1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2

1 2n
+ " 是否收敛?为什么?
∑ 3.求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4.求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3.设 f (x, y) 为连续函数,且当 (x, y) ≠ (0,0) 时,f (x, y) > 0 ,及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ,
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ,使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+

2005年高考数学试题(湖北等)的分析及评价

2005年高考数学试题(湖北等)的分析及评价

2005年高考数学试题(湖北等 )的分析及评价武汉市教育科学研究院 孔峰一、总体评价:2005年高考数学试题(湖北卷)严格依据教育部《数学科考试大纲》的各项要求,在遵循“有利于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于高校扩大办学自主权”原则的基础上,融入了新课程新大纲的理念,试题立意新颖,选材不拘一格。

与2004年全国其他独立命题省市试卷相比,试卷的结构、采用的题型和配备的题量,题型的分值比例等方面保持相对稳定。

与2004年全国新课程卷及2004年湖北卷的结构及考查内容更吻合一些,且比2004年湖北卷对新课程新大纲的整体把握与理解更加成熟,整份试卷从数学知识、思想方法、学科能力出发,多层次多角度地考查了学生的数学素养和学习潜能,对考生能力、知识灵活运用及综合运用提出了比较高的要求,尤其值得注意的是,对新增加内容的知识的考查、知识的灵活运用考查,以及在运用新增加内容知识去处理实际问题的实践能力的考查均提出了较高的要求,因此我们考生在高考复习中需引起足够重视和研究,订做到与时俱进。

二、2005年高考数学试题的特点今年,我省高考数学命题在2004年平稳过渡的基础上,站在新课程评价理念的高度,稳中求新、稳中求活。

在继续深化能力立意、倡导通性通法、坚持数学应用、加大新增知识的考查力度等各个方面又作了进一步的实践、探索、深化与创新。

审视试卷,笔者感悟到白纸黑字间的灵性的跳动,令人回味,试题命题呈现出诸多亮点,对我们高考复习有很多有益的启示。

1、立足基础,突出能力,考查思维的灵活性无论在选择题、填空题,还是解答题中均有许多试题突出对基础知识的考查。

但其中一些基础试题在强调基础知识的同时,试题对能力的考查也十分突出,可以从多方面去思考,体现了思维的灵活性。

不同能力的学生处理方式不同,体现了不同的思维水平和数学思维品质。

例1 (高考理科第7题文科第10题)若sin α+cos α=tan α (0<α<2π),则α∈A.⎪⎭⎫⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫⎝⎛4,6ππ C. ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ 本题以方程的形式出现,似乎应该求出角α,但这只是一种表象,透过现象看本质,选择支是角α的范围,于是只需角α的一个三角不等式,由此联想大家熟知的基本结论:当α是锐角时,sin α+cos α>1.于是tan α>1,答案选C 。

2005考研数一真题答案及详细解析

2005考研数一真题答案及详细解析

当F(x) 为偶函数时,有 F(— x)=F(x),
于是 F'(- X) • (—1) = F'(x),
即— f(— X) = j(x), 也即八— x) = — f(x),
可见 f(x) 为奇函数;
I: f +-c 勹 反过来,若 f(x) 为奇函数,则 f (t)dt 为偶函数,从而 F(x) = Ct)dt
1
x2
X
2 'xE(—1,1)'
I。厂 r 从而
(17)解
X2 f(x)=2S(x)+
l+x
=2xarctanx

lnCl
+x
2
x2 )+
1 +x
2
'
+x)广(x)dx=(x 2 +x)广(x) 3 - (2x+1)广(x)心
�-f'.<zx + 1)广!:)dx"
xE(-1,1).
『+ 。 = — (2x+1)f'(x)
g(�)=f(�)+� — 1=0,
c II)根据拉格朗日中值定理 , 存在r;E (0,�),1;E C�,1),使得
f'( 1/ )
= J(n
-f(O)

l—
=

e
'
�' J'烤)=
J(l) 1
— /CO -�
=1
-Cl -�) 1—�
= 1


从而
e f' J'(沪
1-� 烤)= �

� 1—

武汉大学数学分析硕士学位研究生入学考试试题解答

武汉大学数学分析硕士学位研究生入学考试试题解答

武汉大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 制作人:zhubin846152 考试科目:数学分析科目代码:359一、 判断下列命题是否正确(共5小题,每小题6分,共30分):1)单调序列{}n a 中有一子列{}i n a 收敛,则序列{}n a 收敛。

正确。

不妨设{}i n a 收敛于a ,利用单调性那么不难证明{}n a 也收敛于a2)子列{}n a 的子序列2{}n a 和21{}n a +收敛,则序列{}n a 也收敛不正确。

只要2{}n a 和21{}n a +收敛于不同的极限,A 、B 那么{}n a 不收敛3)序列{}n a 收敛,则序列{}n a 收敛,其命题也成立不正确。

序列{}n a 收敛=〉序列{}n a 收敛,但反之命题不成立如{}:(1)n n n a a =-4)n a ∑收敛,则1()n a o n=.不正确。

可以找到莱布尼兹级数{}:nn n a a =5)函数序列{()}n u x ,[,]x a b ∈,满足对任意的自然数p 和任意[,]x a b ∈,有以下性质:lim ()()0n n p n u x u x +→∞-=,则{()}n u x 一致收敛。

不正确。

不妨设[0,1]x ∈,{()}:()n n n u x u x x =,lim ()()lim(1)0p n n n p n n u x u x x x +→∞→∞-=-=。

显然{()}n u x 并非一致收敛。

二、 计算题(每小题8分,共32分)1)设(),'(0)xF x t dt F -=⎰求0()'()ln '(0)lim 0xx x x F x t dt F x xx F x -→→=⇒=====⎰(应用L ’Hospital 法则)2)求极限:2ln(1)lim x x xe x x →∞-+22222222(1())(())ln(1)2lim lim ()32lim2xx x x x x x o x x o x xe x x xxx o x x →∞→∞→∞++--+-+=++==(应用Taylor 展开) 3)2222222(),Vx y z dV V x y z a ++++=⎰⎰⎰计算积分:其中是球面和圆z =锥面22222222522444405()()sin 2sin sin 2(1)25(25VVVaax y z dV x y z dxdydz r r drd d a r drd d d d r dr a ππππθθϕϕϕθθϕϕππ++=++====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4)计算曲面积分333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰,S 为球面2221x y z ++=的外侧3332221244(333)123sin 3sin 5SVVI x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz rdrd d r dr d d πππϕϕθϕϕθ=++=++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、 判断级数与反常积分的敛散性(共4小题,每小题9分,共36分)1)21sin xdx x+∞⎰2)1sin 1xdx x x+∞+⎰21111114sin 1cos 22sin 2()14()242()421sin 2222xx dx dxx xx dx d x x x x dx dx x x ππππππ+∞+∞+∞+∞+∞+∞--=-=+--+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

2005年数学一试题和答案评析

2005年数学一试题和答案评析

2005年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为(2) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz(5)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B , 如果1=A ,那么=B 2 .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y, 则}2{=Y P = .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ](8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ](9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. (B ) 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] (10)设有三元方程1ln =+-xzey z xy ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ](11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ](12)设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵,则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ](13)设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ](14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ ]三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明: (I )存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ;(II )存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.(I )证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ,有022)(42=++⎰Cy x xydydx y ϕ;(II )求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(I ) 求a 的值;(II ) 求正交变换Qy x =,把),,(321x x x f 化成标准形; (III ) 求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数),且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求:(I ) (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ; (II )Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(I ) i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =; (II )1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov1.【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x , []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ,于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。

数学分析_各校考研试题及答案

数学分析_各校考研试题及答案

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数,求xy w解:令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=;)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ,证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解:因为an 非负单增,故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ;据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围,使f(x)分别满足:(1) 极限)(lim 0x f x +→存在(2) f(x)在x=0连续 (3) f(x)在x=0可导 解:(1)因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α(3)0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续,证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解;令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F (u )使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

(此题应感谢小毒物提供思路) 五、设f(x)在[a,b]上可导,0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 证:因f(x)在[a,b]可导,则由拉格朗日中值定理,存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

2005年考研数学一真题解析

2005年考研数学一真题解析

2005年考研数学一真题解析一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x , []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ,于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y (2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式:⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P , 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+', 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-, 由91)1(-=y 得C=0,故所求解为.91ln 31x x x y -=(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为:γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂因此,本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂,6y y u =∂∂,9zz u =∂∂,于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ (4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球面(或柱面)坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ (5)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B , 如果1=A ,那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα, 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y, 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时,11lim )(3=+=∞→n nn xx f ;当1=x 时,111lim )(=+=∞→n n x f ;当1>x 时,.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导,故应选(C).(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一:任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(,且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-⋅-',即 )()(x f x f =--,也即)()(x f x f -=-,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则⎰xdt t f 0)(为偶函数,从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数,可见(A)为正确选项.方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. (B ) 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2,再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ,)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ, 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ,)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ, )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ, 可见有2222y u x u ∂∂=∂∂,应选(B).(10)设有三元方程1ln =+-xzey z xy ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理,只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,,再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0,则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +=', yz x F y -=',x e y F xzz +-='ln , 且 2)1,1,0(='x F ,1)1,1,0(-='y F ,0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一:令 0)(21211=++αααA k k ,则022211211=++αλαλαk k k , 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关,于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时,显然有0,021==k k ,此时1α,)(21αα+A 线性无关;反过来,若1α,)(21αα+A 线性无关,则必然有02≠λ(,否则,1α与)(21αα+A =11αλ线性相关),故应选(B).方法二: 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA , 可见1α,)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).(12)设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵,则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设,存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使得 B A E =12,于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-,即*12*B E A -=,可见应选(C).(13)设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5, 其次,利用事件的独立性又可得一等式,由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设,知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P , 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知,)1,0(~10N X n nX =-,可排除(A); 又)1(~0-=-n t SX n nS X ,可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ,不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ,且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立,于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号,为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D , }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.874381=+ (16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径,进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ,所以当21x <时,原级数绝对收敛,当21x >时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1)记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n -∞=-=∈--∑,则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑,122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)0,S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ (17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知,f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分,知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f(18)(本题满分12分)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明: (I )存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ;(II )存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 (I ) 令x x f x F +-=1)()(,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ,即ξξ-=1)(f .(II ) 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈,使得0)0()()(--='ξξηf f f ,ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.(I )证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ,有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ;(II )求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明(I )的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系,这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论;而(II )中求)(y ϕ的表达式,显然应用积分与路径无关即可.【详解】 (I )如图,将C 分解为:21l l C +=,另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接,则=++⎰Cyx xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l yx xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l yx xydydx y ϕ.(II ) 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++,,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数,由(Ⅰ)知,曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关,故当0x >时,总有Q Px y∂∂=∂∂.24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端,得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+,将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =,从而2().y y ϕ=-(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(I ) 求a 的值;(II ) 求正交变换Qy x =,把),,(321x x x f 化成标准形; (III ) 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 (I )根据二次型的秩为2,可知对应矩阵的行列式为0,从而可求a 的值;(II )是常规问题,先求出特征值、特征向量,再正交化、单位化即可找到所需正交变换; (III )利用第二步的结果,通过标准形求解即可.【详解】 (I ) 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A , 由二次型的秩为2,知 020011011=-++-=aa a a A ,得a=0. (II ) 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A , 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ,得特征向量为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα,③ ④解 0)0(=-x A E ,得特征向量为:.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交,直接将21,αα,3α单位化,得:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη 令[]321ααα=Q ,即为所求的正交变换矩阵,由x=Qy ,可化原二次型为标准形:),,(321x x x f =.222221y y + (III ) 由),,(321x x x f ==+222122y y 0,得k y y y ===321,0,0(k 为任意常数). 从而所求解为:x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη,其中c 为任意常数. (21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数),且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解,关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少,而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知,B 的每一列均为Ax=0的解,且.3)()(≤+B r A r(1)若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系,故Ax=0 的通解为:2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9,则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1) 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为:11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.2) 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为:0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为 2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧= 求:(I ) (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ;(II )Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可;而求二维随机变量函数的概率密度,一般用分布函数法,即先用定义求出分布函数,再求导得到相应的概率密度.【详解】 (I ) 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x =.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y (II ) 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=,1) 当0<z 时,0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ;2) 当20<≤z 时,}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时,.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为: .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为:.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(I ) i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =; (II )1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和,再用方差的性质进行计算即可;求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ,本质上还是数学期望的计算,同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设,知)2(,,,21>n X X X n 相互独立,且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===,.0=X E(I )∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()( =∑≠+-n i j j i DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n nn n -=-⋅+- (II ) )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑==.112nn n -=+-。

数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷

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n+1
n

x x x x l xl x xl x =

n+ p
n+ p−1 +…+

n+1
< 2[
n
2 n+ p
1
+ ... +

] 2
1
n +1
l x x l l l x x <
2( − 2 l −1
)
1
1
n
=M
−n
(M=
2− 2 l −1
1)
显然由柯西收敛准则知,对于 ∀ε > 0 , ∃N > 0 ,使得 n>N 时
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2005年数学二试题分析、详解和评注

2005年数学二试题分析、详解和评注

以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设x x y )sin 1(+=,则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一: x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +,于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+,从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二: 两边取对数,)sin 1ln(ln x x y +=,对x 求导,得xxx x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++=', 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+=',故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数,而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.55【例2.15】(2) 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x , 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。

这里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当∞→x 时,极限xx f a x )(lim∞→=不存在,则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形,即在右或左侧是否存在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑+∞→x 的情形.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.192【例7.32】(3)=--⎰1221)2(x xxdx4π. 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =,则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt tt tt =.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd【评注】 本题为广义积分,但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.130【例4.54】(4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式:⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ,再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+', 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-, 由91)1(-=y 得C=0,故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外,本题也可如下求解:原方程可化为x x xy y x ln 222=+',即 x x y x ln ][22=',两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln , 再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P.154(5)当0→x 时,2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小,则k=43 . 【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ,由此确定k 即可.【详解】 由题设,200cos arcsin 1lim)()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k xx x x x ,得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分,本质上,这类问题均转化为极限的计算.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.38【例1.62~63】(6)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B , 如果1=A ,那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα, 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示,关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。

2005年数学四分析、详解和评注

2005年数学四分析、详解和评注

2005年数学四试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】 本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 12s i n l i m2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x 【评注】 若在某变化过程下,)(~)(x x αα,则).()(lim )()(lim x x f x x f αα= (2) 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 0)(='xy ,积分得 C xy =, 代入初始条件得C=2,故所求特解为 xy=2.【评注】 本题虽属基本题型, 也可先变形xdxy dy -=, 再积分求解.(3)设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+,则=)0,1(dz dy e edx )2(2++ .【分析】 基本题型,直接套用相应的公式即可. 【详解】)1l n (y xe e xzy x y x +++=∂∂++,yx xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.(4)设行向量组)1,1,1,2(,),,1,2(a a ,),1,2,3(a ,)1,2,3,4(线性相关,且1≠a ,则a=21. 【分析】 四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定a. 【详解】 由题设,有=1234123121112aa a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ,但题设1≠a ,故.21=a.【评注】 当向量的个数小于维数时,一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. (5)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B , 如果1=A ,那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα, 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示,关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。

2005数学分析解答

2005数学分析解答

2005数学分析解答D解:112022000111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y yDdxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydyy y y y y y ==+++=+-=++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、计算第二类曲线积分:22C ydx xdyI x y--=+⎰,22:21C x y +=方向为逆时针。

解:22220022222tan 2222cos ,[0,2)2sin cos cos 222113cos 22cos 2213(2)(1)12arctan 421(2)(1)2311421C x x y ydx xdy I d x y x x x x d x dx x x x x ππθθθπθθθθθθθθ+∞+∞=-∞-∞=⎧⎪∈⎨=⎪⎩---=−−−→=+++-+-++−−−−−→=--++++=-⎰⎰⎰换元万能公式代换226426212dx d x ππ+∞+∞-∞-∞+=-+++⎰6、设a>0,b>0,证明:111b ba ab b ++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭。

证明:1111()1111(1)111()'()1[ln(1)]0()()()b bxb b bbxa a ab f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫=++-> ⎪+-⎝⎭,构造函数展开可以证明所以递增,从而得证一、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数,且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明:f(x)在[a,b]上几乎处处为0。

证明:反证法,假设A={x|f(x)≠0},那么mA>0。

2005年考研数学试题详解及评分参考介绍

2005年考研数学试题详解及评分参考介绍
n n ®¥
3n
= x lim(
n ®¥
3
1 x
3n
+ 1) = x ,故 f (x) = lim n 1 + x
n ®¥
1 n
ì ï 1, =í 3 ï îx ,
x £1 x >1
.
于是有 f -¢( -1) = lim -
- x3 - 1 = -3, x ®1 x +1 1 -1 f -¢(1) = lim = 0, x ®1- x - 1
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郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·2005 年数学试题详解及评分参考
z , Fz¢ = - ln y + e xz x ,于是有 y Fx¢(0,1,1) = 2 ¹ 0 , Fy¢(0,1,1) = -1 ¹ 0 , Fz¢(0,1,1) = 0 . 因此根据隐函数存在定理,由此 可确定相应的隐函数 x = x( y, z ) 和 y = y ( x, z ) . 故选 (D) . Fx¢ = y + e xz z , Fy¢ = x (11) 设 l1 , l 2 是 矩阵 A 的 两 个 不同 的 特征值 , 对 应的 特征 向量分 别 为 a 1 , a 2 ,则 a 1 ,
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(4) 设 W 是由锥面 z =
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整个边界的外侧,则
òò xdydz + ydzdx + zdxdy =
S
.
【答】 应填 (2 - 2)p R 3 . 【解】 由高斯公式,得
2 3 òò xdydz + ydzdx + zdxdy = 3òòò dV =3ò dq ò 4 sin j dj ò r dr = (2 - 2)p R . S W 0 0 0 2p

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷湖北卷文

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷湖北卷文

2005年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(文史类)第I 部分(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ,则P+Q 中元素的个数是( )A.9B.8C.7D.62.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题:其中真命题的个数是( )①“b a =”是“bc ac =”充要条件; ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件; ④“a <5”是“a <3”的必要条件.A.1B.2C.3D.43.已知向量a =(-2,2),b =(5,k ).若|a +b |不超过5,则k 的取值范围是 ( )A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]4.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )5.木星的体积约是地球体积的30240倍,则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍B.6030倍C.120倍D.12030倍6.双曲线)0(122≠=-mn n y m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( )A.163B.83C.316D.387.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当1021<<<x x 时,使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是( )A.0B.1C.2D.3 8.已知a 、b 、c 是直线,β是平面,给出下列命题:①若c a c b b a //,,则⊥⊥;②若c a c b b a ⊥⊥则,,//;③若b a b a //,,//则ββ⊂;④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交;⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a ,b 都垂直. 其中真命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.49.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( )A.168B.96C.72D.14410.若∈<<=+απαααα则),20(tancossin()A.)6,0(πB.)4,6(ππC.)3,4(ππD.)2,3(ππ11.在函数xxy83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是()A.3B.2C.1D.012.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中,正确的是()A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(湖北卷.文)

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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(湖北卷.文)绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题卷(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分(选择题共60分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.考试结束,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ,则P+Q 中元素的个数是()A .9B .8C .7D .6解:集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ?=其对应的和有一个重复:0+6=1+5, 故P+Q 中的元素有8个,选(B)2.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题:①“b a =”是“bc ac =”充要条件;②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件;④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是() A .1 B .2 C .3 D .4解:①是假命题,∵由ac=bc 推不出a=b ;②是真命题;③是假命题;④是真命题,∵“a <3”?“a <5”,选(B) 3.已知向量a =(-2,2),b =(5,k ).若|a +b |不超过5,则k 的取值范围是()A .[-4,6] B .[-6,4] C .[-6,2] D .[-2,6]解:∵22222||28252(102)134a b a b ab k k k k +=++=+++-+=++ ,由题意得k 2+4k+-12≤0,解得-6≤k ≤2,即k 的取值范围为[-6,2],选(C) 4.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是()解:|1|||ln --=x e y x =111,1101,x x x x x x-+=≥-+<5.木星的体积约是地球体积的30240倍,则它的表面积约是地球表面积的()A .60倍B .6030倍C .120倍D .12030倍解:设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2由题意得3132r r =,则木星的表面积∶地球的表面积=2311223221120r r r r r r =?===,选(C) 6.双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为()A .163 B .83 C .316 D .38 解:抛物线x y 42=的焦点为(1,0),∴1,2,m n ?+=?=得m=14,n=34,∴mn=316,选(A)7.在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g,222====这四个函数中,当1021<<<="">)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是()A .0B .1C .2D .3解:∵当1021<<<="">,121222log log 22x x x x++>∴>即当1021<<<="" 2x,="" bdsfid="180" p="" x="" 时,使log="">()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立,其它3个函数都可以举出反例当1021<<<="">)()()2(2121x f x f x x f +>+不成立(这里略),选(B) 8.已知a 、b 、c 是直线,β是平面,给出下列命题:①若c a c b b a //,,则⊥⊥;②若c a c b b a ⊥⊥则,,//;③若b a b a //,,//则ββ?;④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交;⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a ,b 都垂直. 其中真命题的个数是() A .1 B .2 C .3 D .4 解:①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A)9.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是()A .168 B .96 C .72 D .144 解:本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况:情况一:连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P 情况二:连续的编号的电影票为1,2;4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三:连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四:连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种) 10.若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin()A .)60(πB .)4,6(ππ C .)3,4(ππ D .)2,3(ππ解:∵sin α+cos α)4πα+∈),∴排除(A),(B),当α=4π时,tan α=1,sin α+cos α,这时sin α+cos α≠tan α,∴选(C) 11.在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是() A .3B .2C .1D .0解:y '=3x 2-8,由题意得0<3x 2-8<13x <<或3x -<<,其中整x 的可取值为0个,选(D) 12.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是() A .②、③都不能为系统抽样 B .②、④都不能为分层抽样 C .①、④都可能为系统抽样 D .①、③都可能为分层抽样解:①②不是系统抽样,可能为分层抽样; ③可能为系统抽样,也可能为分层抽样:④既非系统抽样也不是分层抽样,综上选(D)第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13.函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 解:x 必须满足402030x x x ->??-≥??-≠?解之得,∴函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是{x|3<x<4或2≤x<3}< bdsfid="271" p=""></x<4或2≤x<3}<>14.843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .解: 342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-,令12-4r=0,r=3,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=-32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k kk T C x C x x --+==,令8-2k=0,k=4,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70,∴843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于3815.函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .解: 函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期为2π,∵1sin 2sin 02|sin |cos 1sin 2sin 02x x x x x x ?≥??=?-的最大值为12,∴1cos |sin |-=x x y 的最大值为12-,∴1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为122π-. 16.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费元. 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量x f t x x x ?=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围. 18.(本小题满分12分)在△ABC 中,已知63,31cos ,3tan ===AC C B ,求△ABC 的面积.19.(本小题满分12分)设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-=(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;(Ⅱ)设nnn b a c =,求数列}{n c 的前n 项和T n . 20.(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.21.(本小题满分12分)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;(Ⅲ)当p 1=0.8,p 2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字). 22.(本小题满分14分)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点,点N (1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13.)4,3()3,2[? 14.38 15.212-π 16.500 三、解答题17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1:依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥?≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线,故要使x x t 232-≥在区间(-1,1)上恒成立?.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2:依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线,时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1:设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ,.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =?==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==A bc S ABC 解法3:同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=?=?>?==<<∴<<=-=+==+-∴??-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即故所求面积.3826sin 21+==B ac S ABC 19.本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解:(1):当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=?-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即(II ),4)12(422411---=-==n n nn nn n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴-- 两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20.本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1:(Ⅰ)过E 作EH//BC 交CC 1于H ,则CH=BE=1,EH//AD ,且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1,∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF(Ⅱ)延长C 1E 与CB 交于G ,连AG ,则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ,垂足为M ,连C 1M ,由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ,且AG ?面AEC 1F ,所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中,作CQ ⊥MC 1,垂足为Q ,则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+==∴=?===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2:(I )建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),B (2,4,0),A (2,0,0), C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3).设F (0,0,z ). ∵AEC 1F 为平行四边形,62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴(II )设1n 为平面AEC 1F 的法向量,)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然=+?+?-=+?+=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由 ??-==∴=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ,则.333341161133cos 1111=++==α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=?==αCC d 21.本小题主要考查概率的基础知识和运算能力,以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解:(I )在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为,5 1p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -(II )对该盏灯来说,在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1-p 1)2;在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2),故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=(III )至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况,换5只的概率为p 5(其中p 为(II )中所求,下同)换4只的概率为415p C (1-p ),故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p22.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(I )解法1:依题意,可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入,整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根,0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点,得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1,代入②得,λ>12,即λ的取值范围是(12,+∞). 于是,直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2:设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意,.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ(II )解法1:.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程,整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根,).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-?-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12,使得A 、B 、C 、D 四点共圆,则CD 必为圆的直径,点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时,A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心,2||CD 为半径的圆上.(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形,A 为直角即|,|||||2DN CN AN ?=?).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知,⑧式左边=.212-λ由④和⑦知,⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立,即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2:由(II )解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分代入椭圆方程,整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程,整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=?,∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点,∴A 、B 、C 、D 四点共圆.(注:也可用勾股定理证明AC ⊥AD )。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(全国卷Ⅲ.文)(四川,陕西,云南)

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2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修Ⅰ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1-P)n -k一、选择题:每小题5分,共60分. 1.已知α为第三象限角,则2α所在的象限是 ( )A .第一或第二象限B .第二或第三象限C .第一或第三象限D .第二或第四象限解:α第三象限,即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选D 2.已知过点A(-2,m)和B(m ,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m 的值为( )A .0B .-8C .2D .10 解:直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+-,由AB a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B 3.在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 ( )A .-14B .14C .-28D .28解:(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为 458814C C -=,选B4.设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ,P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点,且PA=QC 1,则球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径A .16VB .14VC .13VD .12V解:如图,1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选C 5.设713=x,则( )A .-2<x<-1B .-3<x<-2C .-1<x<0D .0<x<1解:211337--<<,21x -<<-,选A 6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( )A .a <b<cB .c<b<aC .c<a <bD .b<a <c解:由题意得a=lnln ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选C7.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 ( )A .0x π≤≤B .744x ππ≤≤C .544x ππ≤≤ D .322x ππ≤≤sin cos x x =-得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选C 8.αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =( )A .tan αB .tan 2αC .1D .12解:22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选B9.已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为 ( )A .43 B .53C D 解:由120MF MF ⋅=,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上,且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2,即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x 选C 10.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )A .2 B C .2 D 1解:由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选D 11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有 ( )A .3个B .4个C .6个D .7解:共有7个,它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面;四面体的四条高的四个中垂面,选D12.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A ~F 共16个计数例如,用十六进制表示:E+D=1B ,则A ×B= ( ) A .6E B .72 C .5F D .B0解:∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选A第Ⅱ卷二.填空题:每小题4分,共(16分)13.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影,如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.解:设执“不喜欢”的学生为x 人,则执“一般”的学生为(x+12)人,由题意得1123x x =+,x=6,∴执“喜欢”的学生有30人,全班共有人数为12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人。

武汉大学考研真题2005数学分析解答

武汉大学考研真题2005数学分析解答
证明:
八、在底面半径为a,高为h的正圆锥内作长方体,其一面与圆锥地面重合,对面四个顶点在锥面上,求长方的最大体积。
解:
九、设 , ,在(0,a)内可导,以及在(0,a)内取到最值,且满足f(0)=0,f(a)=a。证明:
1) ;2)
证明:1)命题有问题,取a=1/2,f(x)=5x-8x2
f(0)=0,f(1/2)=1/2
解:(1)绝对收敛性:(主要使用放缩法)
(2)相对收敛性:(A-D判别法)
五、计算 ,其中Γ为曲线
,从z轴的正方向看过去,Γ是反时针方向
解:(利用奇偶性做)
六、设 ,且为连续函数,求证:
证明:(画出函数图像,分两段讨论:)
七、证明含参变量反常积分 上一致收敛,其中δ>0,但是在(0, )内不一定一致收敛。
f(x)在5/16取到最值,但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0,与命题1矛盾。
武汉大学
2005年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题解答
一、设 满足: , ,证明 收敛。
证明:(分析:压缩映像原理)
二、对任意δ> 0。证明级数 在(1,1+δ)上不一致收敛。
证明:(利用反证法,Cauchy收敛准则和定义证明。)
三、设
解,(本题利用莱布尼兹求导法则:)
四、判断级数 的绝对收敛性和相对收敛性
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2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答(武 汉 大 学)一、设{}n x 满足: 11||||||n n n n n x x q x x +--=-,||1n q r ≤< ,证明{}n x 收敛。

证明:(分析:压缩映像原理)11111111112121211,|12||||||||,||||(1...)||||1||111ln||l n n n n n n n n n p p n p n ii n n i n n p n rm q m x x q x x m x x Cauchy x x x xm m x x m x x m m x x m mm x x N εε+--+--+-+=+--+=<<-=-<-∀-≤-<+++---=-<----=∑令:则显然|(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用收敛准则,对取n ||n p n n Nmx x ε+>-≤+1,对任意的。

从而知命题收敛二、对任意δ > 0。

证明级数01nn x +∞=∑在(1,1+δ)上不一致收敛。

证明:(利用反证法,Cauchy 收敛准则和定义证明。

)10,(1,1),,,11()11111(1,{1(1,1),M N Mn n nn N x N n M N x x x x x x min εδεδδ-+=∀>∀∈+∃>->=>-∈+⊆+∑如果级数收敛,那么对于当时只需令代入上式,矛盾从而知非一致收敛三、设1()||,"()f x x y f x =-⎰求解,(本题利用莱布尼兹求导法则:)()()()()1101010()()()()()(())(())()||sin ()sin ()sin ,[0,1]()()sin ,(1,)()sin ,(,0)'(b x a x b a x x F x f x dxF f x b a dx f b f a f x x y x y y x x f x x y x y x x f ααααααααααααααα=∂∂∂∂=+-∂∂∂∂=-⎧-+-∈⎪⎪=-∈+∞⎨⎪⎪-∈-∞⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,,,,10101,[0,1]),(1,)sin ,(,0)2sin [0,1]"()0,(1,)0,(,0)x x x x x x x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=∈+∞⎨⎪⎪-∈-∞⎩⎧∈⎪=∈+∞⎨⎪∈-∞⎩⎰⎰⎰⎰四、判断级数2ln ln sin ln n nn n +∞=∑的绝对收敛性和相对收敛性 解:(1)绝对收敛性:(主要使用放缩法)21,|sin ||sin(1)|2sin 2,ln ln 1ln ln ln ln ln ln |sin ||sin ||sin |ln ln ln ln 2n M n M n M M n n N n n A M M n n n n n n n n n An +∞+∞+∞===+∞=∀∈++≥=>=>>∑∑∑∑首先,不难证明对于当足够大的时候。

显然,该级数发散。

即不绝对收敛(2)相对收敛性:(A-D 判别法) {}0{}n n n n n n a b a a a b ∑∑∑<1>收敛于,有界<2>有界,收敛满足上述任意一个条件收敛221cos12sin sin ()11cos cos22ln ln 1lim lim 0(')ln ln Dirichlet n n n n n n n L Hospital n n+∞+∞==→∞→∞=<==∑∑积化和差法则根据判别法,知该级数收敛五、计算22()(2)()I y z dx x yz dy x y dz Γ=-+-+-⎰,其中Γ为曲线222222,0,022x y z az b a x y bx⎧++=⎪≥<<⎨+=⎪⎩,从z 轴的正方向看过去,Γ是逆时针方向 解:(利用奇偶性做)2222,4cos sin 22cos 2cos sin [,]2(12sin )2()224()(2)x y z z dx b d yd x b y b dy b d x b d by z dz d z I y z dx x yz dy θθθθθθθππθθθθθθθθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎧⎪⎧=-=-=⎪⎪⎪=∈-⇒=-=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪==⎪⎩=-+-代入方程得到2222222222(),(0)(cos 21)cos 22cos1cos 224x y dzxdy bd b d b d b ππππππππθθθθθθθπΓ----+-==+=+==⎰⎰⎰⎰⎰利用奇偶性,第一第三个积分为六、设()[0,1]f x 在上变号,且为连续函数,求证:10[0,1]min ()|'()|f x f t dt ≥-⎰证明:(画出函数图像,分两段讨论:)minminminmin1min min 01min min 0[01]inf{|()0},()0(1)[0,]()'()|'()||'()|(2)[1]()'()|'()||'()|x x x x x f x f x f x f t dt f t dt f t dt x f x f t dt f t dt f t dtξξξξξξξξξ∈=>=∈⇒=-≥-≥-∈⇒=≥-≥-⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用介值定理,取,,不难证明,七、证明含参变量反常积分0sin [](1)xydy x y δ+∞+∞+⎰在,上一致收敛,其中δ>0,但是在(0, +∞)内不一定一致收敛。

证明:0022sin 1sin sin (1)lim (1),0,,1sin ||M M M N xy xyy dy dxy dyx y x x xy x yN M Ny dy x x y δδεεε+∞+∞→+∞==+++∀>∃=∀>≤+≤<<⎰⎰⎰⎰根据定义。

(利用了Cauchy-Schwarz 不等式)02sin [0](1),,sin sin sin ||11xMM xM xM xN N xN xN xydy x y Cauchy N M N x Mydy xy y M dxy dy y dy M MN x xy x y M M x x x x MM πεε+∞+∞+∀∃∀><+-+++>=≤≤=+⎰⎰⎰⎰⎰(2)在,不一致收敛反证法:根据收敛准则,>0,当时当足够大时,上式显然不成立,矛盾。

故原命题成立八、在底面半径为a ,高为h 的正圆锥内作长方体,其一面与圆锥地面重合,对面四个顶点在锥面上,求长方体的最大体积。

解:2223A 1sin ,2'1''2128()(2)((2))1222222'2S d h V S h d h a d h d d h d d a V d h a d a d a a a dh h ha θ=≤⎧==⎪-⎪⇒==-≤++-=⎨⎪-=⎪⎩顶顶首先,由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆A ,四个顶点组成在圆上。

所以,易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。

另外,顶面的长方形对角线为圆的直径d ,即为定值。

当且仅当底面为正方形的时候取到。

不妨设,高为227Lagrange Lagrange h 本题还可以用乘子法解决。

但是,我觉得用初等方法也可以。

我不用乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了。

九、设(01)a ∈,,()[0,](0,)f x a a 在上连续,在,在(0,a )内可导,以及在(0,a)内取到最值,且满足f(0)=0,f(a)=a 。

证明:1)(0,),()a f a ηηη∃∈=使得; 2)(0,),'()a f a ξξ∃∈=使得证明:1)命题有问题,取a=1/2,f(x)=5x-8x 2f(0)=0,f(1/2)=1/2 f(x)在5/16取到最值,但是f(x)-ax 只在x=0,x=9/16等于0,与命题1矛盾。

()()()()[0,]()0,(0,)(0,),'()0'()()0,',(')()(0)0,(0,'),()()Rolle g x f x ax f x g x a g x x a a f g a g g g g g g ξξξξξξξξηξηξ=->∈∈=⇒=-=<>=∈=2)构造函数。

由于为连续函数,所以在上为连续函数,且一致连续反证法:如果命题不正确,那么根据题设,存在使得由于加上一致连续的条件,存在由于利用连续性和介值定理,存在根据中(,),'()0'()g f aζηξζζ∃==-值定理,得到括号里的是我的个人意见,主要是一些思路。

本人水平不够,如果有错误,希望大家不吝指出,并恳请大家原谅。

希望大家继续支持bossh !。

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