电路的频率响应 (3)

= 1
0
f (t)sin(kw1t)d(w1t)
+1
0 f (t )sin(kw1t )d(w1t)
= 1
0
f (t)sin(kw1t)d(w1t)
+1
0 f (t )sin(kw1t )d(w1t)
=0
f (t)
2. 奇函数， f (t)=－f (－t)
－T/2
T/2
O
t
1
ak =
频谱
三. 利用函数的对称性计算傅氏级数展开式的系数 f (t) 1. 偶函数， f (t)= f (－t)
1
bk =
f (t )sin(kw1t )d(w1t )
－T/2 O
T/2
t
关于纵轴对称
= 1
0
1
f (t)sin(kw1t)d(w1t)
+
0 f (t )sin(kw1t )d(w1t)
ak cos(kw1t ) + bk sin(kw1t )
k =1
f (t ) = a0 + a1 cos(w1t ) + b1 sin(w1t )+ a2 cos(2w1t ) + b2 sin(2w1t )+ + ak cos(kw1t) + bk sin(kw1t )+
= a0 +
2
=
I
2 k
1
T
T
0 2I0 cos(kw1t +y k )dt = 0
1
T
T
0 2Ikm cos(kw1t +y k )Iqm cos(qw1t +y q )dt = 0
则 i 的有效值为
I =
I 02
+
I12
+
I
2 2
+
I
2 3
+
=
I
2 0
+
I
2 k
k =1
(k q)
i 的有效值为
I =
•实际交流发电机发出的电压波形；
•收音机、电视机收到的信号电压或 非正
电流；
弦信
•应用于自动控制、计算机等技术领 号
域的脉冲信号。
线性 电路
非正弦 电压或
电流
非正弦电流可分为周期的和非周期的两种。本章主要讨论在 非正弦周期电压、电流或信号的作用下，线性电路的稳态分 析和计算方法。
一.非正弦周期信号（函数）
f(t)
Em
T/2 T
t
0
π 2π
ω1t
-Em
解: f（t）在第一个周期内的表达式为
f (t) = Em f (t) = Em
利用公式求系数为:
0 t T 2
T t T 2
a0
=
1 T
T
0
f (t )dt
=
0
ak
=
1
2
0
f (t )cos(kw1t )d (w1t )
= 1
0
E
m
cos
(kw1t
ak cos(kw1t ) + bk sin(kw1t )
k =1
上式中的系数，可由下列公式计算：
a0
=
1 T
T
0
f (t )dt
=
1 T
T
2 T 2
f (t )dt
ak
=
2 T
T
0
f (t )cos(kw1t )dt =
2 T
T
2 T 2
f (t )cos(kw1t )dt
=1
2
0
f
(t )cos(kw1t
工程上，傅里叶级数常用另一种形式：
f (t ) = a0 + a1 cos(w1t ) + b1 sin(w1t )+ a2 cos(2w1t ) + b2 sin(2w1t )+ + ak cos(kw1t) + bk sin(kw1t )+
= a0 +
ak cos(kw1t ) + bk sin(kw1t )
非正弦周期信号：电压、电流的波形为非正弦周期函数。
注意： 信号周期性变化 非正弦波
f (t)
f (t)
t
全波整流
i
u
T
t
半波整流
u
O
脉冲波形
tO
T
方波电压
tO
T 2t
T
锯齿波
二.产生的原因
1. 电源输入本身为非正弦； 2. 线路中有非线性元件； 如：二极管单向导电性
例
f (t )
f (t )
t t
U
2 0
+
U12
+
U
2 2
+
U
2 3
+
=
U
2 0
+
U
2 k
k =1
例1 i =10+10 2 coswt+25
cos32wt
+2 coskwt 求I
解：
I=
1002
+1012
+
532
+
2
2
k
=
229
例2 u =10+10coswt+4cos(3wt-9O 0 )
+4sin(3wt)+2cos5wt 求U=?
u 3. 不同频率正弦波共同作用
1
+
+
u1 _
u3
+
u 电路
u3 _
_
u
u = u1 + u3
wt
u1 = um1sinw t
wt
u3 = um3sin3wt
wt
三.研究方法——谐波分析法
线性电路在非正弦周期量作用下的稳态分析方法：首先应用
傅里叶级数(Fourier)展开方法，将非正弦周期激励电压、电流
k =1
还可以写成：
f (t ) = A0 + A1m cos( w 1t + y 1 ) + A2m cos( 2w 1t + y 2 ) + L
+ Akm cos( kw 1t + y k ) + L
= A0 + Akm cos( kw 1t + y k ) k =1
f (t ) = A0 + A1m cos(w1t +y 1 ) + A2m cos(2w1t +y 21 ) +
I
2 0
+
I12
+
I
2 2
+
I
2 3
+
=
I
2 0
+
I
2 k
k =1
即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐
波有效值的平方之和的平方根。
此结论可以推广用于其他非正弦周期量。如果非正弦周 期电压的表达式为
u(t ) = U0 + Ukm cos(kw1t +y k ) k =1
则其有效值为
U =
第13章 非正弦周期电流的电路
13-1 非正弦周期电流的电路 13-2 周期函数分解为傅里叶级数-自学 13-3 有效值、平均值、平均功率 13-4 非正弦周期电路的计算 13-5 对称三相电路中的高次谐波
§13-1 非正弦周期电流的电路
引言：
线性电路中，当有一个正弦电
源作用或多个同频电源同时作 同频
+1
0 f (t)cos(kw1t)d(w1t )
=0
3.
f
(t)
=
f
(t
+
T 2
)
奇谐波函数，镜对称
a2k = b2k = 0
f (t)
O －T/2
T
t
4. 任意一个函数都可以分为两个这样的函数之和：
f (t) = f e(t) + f o(t)
其中:
f e(t) = 1 [ f (t) + f (t)] 2
)d(w1t )
=
1
f (t )cos(kw1t )d(w1t )
bk
=
2 T
T
0
f (t )sin(kw1t)dt
=
2 T
T
2 T 2
f (t )sin(kw1t )dt
=1
2
0
f
(t
) s in(kw 1t
)d(w1t )
=
1
f (t )sin(kw1t )d(w1t )
上述计算式中k=1, 2, 3, …
1 T
T
0 [I0 +
Ikm cos(kw1t +y k )]2 dt
k =1
I =
1 T
T
0 [I0 +
Ikm cos(kw1t +y k )]2 dt
k =1
上式中的平方项展开后将含有下列各项：
1
T
T 0
I
2 0
dt
=
I
2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2
(kw1t
+y
k
)dt
=
I
2 km
/
用时，电路各部分的稳态电压、 正弦
电流都是同频的正弦量。