模块5 构件内力计算及荷载效应组合建筑力学与结构
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包括求解结构构件指定截面的内力与绘制整个结构构件内 力图两大部分。
5.2.1 指定截面的内力计算 求解不同结构构件的指定截面内力采用的基本方法是
截面法，其基本步骤如下：
（1）按第四章方法求解支座反力； （2）沿所需求内力的截面处假想切开，选择其中一部分 为脱离体，另一部分留置不顾；
（3）绘制脱离体受力图，应包括原来在脱离体部分的荷 载和反力，以及切开截面上的待定内力；
5.1.3 应力 1．应力的基本概念
我们将内力在一点出的集度称为应力，用分布在单位面积上的内力来
衡量。一般将应力分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，垂直于 截面的应力分量称为正应力或法应力，用 表示；相切于截面的应力分
量称为剪应力或切向应力，用 表示。应力的单位为帕（Pa），常用单位 还有兆帕（ MPa ）或吉帕（ GPa ）。
图5.2剪力的正负号规定
3．弯矩符号的规定
弯矩用符号表示，其正负号规定如下：当截面上的弯矩使梁产生下凸的 变形为正，反之为负，如图5.3所示；柱子的弯矩的正负号可随意假设， 但弯矩图画在杆件受拉的一侧，图中不标正负号。弯矩的单位为牛顿·米 （ N·m）或千牛顿·米（ kN ·m ）。
（a）
（b）
图5.3 弯矩的正负号规定
（4）根据脱离体受力图建立静力平衡方程，求解方程得 截面内力。
1．轴向受力杆件的轴力 杆件受力如图5.11a所示，在力 、F1 F、2 作F3 用下处于平衡。已
知 F1 25kN，F2 35kN， F3 10kN，求截面1-1和2-2上的轴力。
图5.11 轴向受力杆件的内力
解：杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将 不相同，因此要分段求出杆的力。
轴力用符号N表示，背离截面的轴力称为拉力，为正值；
指向截面的轴力称为压力，为负值。如图5.1a的截面受拉，为 正号，图5.1b的截面受压，为负号。轴力的单位为牛顿（ N ） 或千牛顿（kN）。
图5.1 轴力的正负号规定
2．剪力符号的规定 剪力用符号用表示，其正负号规定如下：当截面上的剪力绕梁 段上任一点有顺时针转动趋势为正，百度文库之为负，如图5.2所示。 剪力的单位为牛顿（ N ）或千牛顿（kN）。
了解超静定结构的内力图形状，能够判定 控制截面的位置
了解荷载效应的基本概念
相关知识 内力及应力的基本概念 指定截面的内力计算 静定单跨梁的内力图绘制
超静定结构内力计算 荷载效应及荷载效应组合
权重 15% 35% 35%
5% 10%
5.1 内力的基本概念
5.1.1 内力
内力是指杆件受外力作用后在其内部所引起的各部分之 间的相互作用力，内力是由外力引起的，且外力越大，内力 也越大。
图5.5 平面弯曲的梁
梁横截面上必然会有正应力和剪应力的存在。
（1）弯曲正应力 如图5.6所示的弯曲变形，凹边各层纤维缩短，凸边各层纤维伸长。
这样梁的下部纵向纤维产生拉应变，上部纵向纤维产生压应变。从下部的
拉应变过渡到上部的压应变，必有一层纤维既不伸长也不缩短，即此层线
应变为零，定义这一层为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如 图5.7中z轴。
（1）求AB段的轴力 用1－1截面在AB段内将杆假想截开，取左段为研究对象（图5.11b），截 面上的轴力用 表示，并假设为拉力，由平衡方程：
工程构件内常见的内力有轴力、剪力、弯矩及扭矩。轴 力用 表示，与截面正交，与杆件重合；剪力用 表示，与截 面相切，与轴线正交；弯矩用 表示，与截面互相垂直；见图 5.1、图5.2及图5.3。
特别提示
内力除轴力、剪力、弯矩外，还有扭矩T ，由于工程中受扭构件较少，本节将不涉及扭矩的内容。
5.1.2 内力的符号规定 1．轴力符号的规定
教学目标
通过本模块的学习，掌握内力的概念及计算方法，能够进行简 单结构构件内力图的绘制，了解超静定结构内力的计算方法，了解 超静定结构内力的计算方法。
教学要求
能力目标 掌握截面法求内力的基本概念，掌握平面 弯曲梁截面应力分布
运用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩
熟练梁的内力图的规律，能够绘制简单梁 的剪力图和弯矩图，通过内力图，能够判 定梁控制截面的位置
（2）弯曲剪应力 平面弯曲的梁，横截面上任一点处的剪应力计算公式为：
（5-3）
式中：V—横截面上的剪力；
—截面对中性轴的惯性矩；
—横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分对中性轴 的静矩。
剪应力的方向可根据与横截面上剪力方向一致来确定。对矩形截面 梁，其剪应力沿截面高度呈二次抛物线变化，如图5.10所示，中性轴处剪 应力最大，离中性轴越远剪应力越小，截面上、下边缘处剪应力为零，中 性轴上下两点如果距离中性轴相同，其剪应力也相同。
2．轴向拉压杆件横截面上的应力计算 等直杆轴向拉伸（压缩）时横截面的正应力计算公式为： （5-1）
正应力有拉应力与压应力之分，拉应力为正，压应力为负。
(a)
(b)
图5.4轴向压杆横截面上的应力分布
3．矩形截面梁平面弯曲时横截面上的应力 一般情况下，梁在竖向荷载作用下产生弯曲变形，本书只
涉及平面弯曲的梁。平面弯曲指梁上所有外力都作用在纵向 对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内弯曲，如 图5.5所示。
图5.10 矩形截面梁剪应力分布
对于矩形截面梁来讲，截面弯矩引起的正应力在中性轴处为零，截 面边缘处正应力最大；而剪力引起的剪应力在中性轴处最大，在截面边 缘处剪应力为零。
5.2 静定结构内力计算 静定结构是指结构的支座反力和各截面的内力可以用平
衡条件唯一确定的结构，本节将介绍静定结构的内力计算，
图5.6 弯矩作用下梁的弯曲变形
图5.7 矩形截面
平面弯曲梁的横截面上任一点的正应力计算公式为：
M y
Iz
（5-2）
式中：M —横截面上的弯矩；
—截面对中性轴的惯性矩； —所求应力点到中性轴的距离。
图5.8 弯曲正应力分布
图5.9 正弯矩及负弯矩下正应力分布
如图5.9所示，如果截面上弯矩为正弯矩，中性轴至截面上边缘区域 为受压区，中性轴至截面下边缘区域为受拉区，且中性轴上应力为零， 截面上边缘处压应力最大，截面下边缘处拉应力最大；假若截面上的弯 矩为负弯矩时，中性轴至截面上边缘区域为受拉区，中性轴至截面下边 缘区域为受压区，且中性轴处应力为零，截面上边缘处拉应力最大，截 面下边缘处压应力最大。
5.2.1 指定截面的内力计算 求解不同结构构件的指定截面内力采用的基本方法是
截面法，其基本步骤如下：
（1）按第四章方法求解支座反力； （2）沿所需求内力的截面处假想切开，选择其中一部分 为脱离体，另一部分留置不顾；
（3）绘制脱离体受力图，应包括原来在脱离体部分的荷 载和反力，以及切开截面上的待定内力；
5.1.3 应力 1．应力的基本概念
我们将内力在一点出的集度称为应力，用分布在单位面积上的内力来
衡量。一般将应力分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，垂直于 截面的应力分量称为正应力或法应力，用 表示；相切于截面的应力分
量称为剪应力或切向应力，用 表示。应力的单位为帕（Pa），常用单位 还有兆帕（ MPa ）或吉帕（ GPa ）。
图5.2剪力的正负号规定
3．弯矩符号的规定
弯矩用符号表示，其正负号规定如下：当截面上的弯矩使梁产生下凸的 变形为正，反之为负，如图5.3所示；柱子的弯矩的正负号可随意假设， 但弯矩图画在杆件受拉的一侧，图中不标正负号。弯矩的单位为牛顿·米 （ N·m）或千牛顿·米（ kN ·m ）。
（a）
（b）
图5.3 弯矩的正负号规定
（4）根据脱离体受力图建立静力平衡方程，求解方程得 截面内力。
1．轴向受力杆件的轴力 杆件受力如图5.11a所示，在力 、F1 F、2 作F3 用下处于平衡。已
知 F1 25kN，F2 35kN， F3 10kN，求截面1-1和2-2上的轴力。
图5.11 轴向受力杆件的内力
解：杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将 不相同，因此要分段求出杆的力。
轴力用符号N表示，背离截面的轴力称为拉力，为正值；
指向截面的轴力称为压力，为负值。如图5.1a的截面受拉，为 正号，图5.1b的截面受压，为负号。轴力的单位为牛顿（ N ） 或千牛顿（kN）。
图5.1 轴力的正负号规定
2．剪力符号的规定 剪力用符号用表示，其正负号规定如下：当截面上的剪力绕梁 段上任一点有顺时针转动趋势为正，百度文库之为负，如图5.2所示。 剪力的单位为牛顿（ N ）或千牛顿（kN）。
了解超静定结构的内力图形状，能够判定 控制截面的位置
了解荷载效应的基本概念
相关知识 内力及应力的基本概念 指定截面的内力计算 静定单跨梁的内力图绘制
超静定结构内力计算 荷载效应及荷载效应组合
权重 15% 35% 35%
5% 10%
5.1 内力的基本概念
5.1.1 内力
内力是指杆件受外力作用后在其内部所引起的各部分之 间的相互作用力，内力是由外力引起的，且外力越大，内力 也越大。
图5.5 平面弯曲的梁
梁横截面上必然会有正应力和剪应力的存在。
（1）弯曲正应力 如图5.6所示的弯曲变形，凹边各层纤维缩短，凸边各层纤维伸长。
这样梁的下部纵向纤维产生拉应变，上部纵向纤维产生压应变。从下部的
拉应变过渡到上部的压应变，必有一层纤维既不伸长也不缩短，即此层线
应变为零，定义这一层为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如 图5.7中z轴。
（1）求AB段的轴力 用1－1截面在AB段内将杆假想截开，取左段为研究对象（图5.11b），截 面上的轴力用 表示，并假设为拉力，由平衡方程：
工程构件内常见的内力有轴力、剪力、弯矩及扭矩。轴 力用 表示，与截面正交，与杆件重合；剪力用 表示，与截 面相切，与轴线正交；弯矩用 表示，与截面互相垂直；见图 5.1、图5.2及图5.3。
特别提示
内力除轴力、剪力、弯矩外，还有扭矩T ，由于工程中受扭构件较少，本节将不涉及扭矩的内容。
5.1.2 内力的符号规定 1．轴力符号的规定
教学目标
通过本模块的学习，掌握内力的概念及计算方法，能够进行简 单结构构件内力图的绘制，了解超静定结构内力的计算方法，了解 超静定结构内力的计算方法。
教学要求
能力目标 掌握截面法求内力的基本概念，掌握平面 弯曲梁截面应力分布
运用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩
熟练梁的内力图的规律，能够绘制简单梁 的剪力图和弯矩图，通过内力图，能够判 定梁控制截面的位置
（2）弯曲剪应力 平面弯曲的梁，横截面上任一点处的剪应力计算公式为：
（5-3）
式中：V—横截面上的剪力；
—截面对中性轴的惯性矩；
—横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分对中性轴 的静矩。
剪应力的方向可根据与横截面上剪力方向一致来确定。对矩形截面 梁，其剪应力沿截面高度呈二次抛物线变化，如图5.10所示，中性轴处剪 应力最大，离中性轴越远剪应力越小，截面上、下边缘处剪应力为零，中 性轴上下两点如果距离中性轴相同，其剪应力也相同。
2．轴向拉压杆件横截面上的应力计算 等直杆轴向拉伸（压缩）时横截面的正应力计算公式为： （5-1）
正应力有拉应力与压应力之分，拉应力为正，压应力为负。
(a)
(b)
图5.4轴向压杆横截面上的应力分布
3．矩形截面梁平面弯曲时横截面上的应力 一般情况下，梁在竖向荷载作用下产生弯曲变形，本书只
涉及平面弯曲的梁。平面弯曲指梁上所有外力都作用在纵向 对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内弯曲，如 图5.5所示。
图5.10 矩形截面梁剪应力分布
对于矩形截面梁来讲，截面弯矩引起的正应力在中性轴处为零，截 面边缘处正应力最大；而剪力引起的剪应力在中性轴处最大，在截面边 缘处剪应力为零。
5.2 静定结构内力计算 静定结构是指结构的支座反力和各截面的内力可以用平
衡条件唯一确定的结构，本节将介绍静定结构的内力计算，
图5.6 弯矩作用下梁的弯曲变形
图5.7 矩形截面
平面弯曲梁的横截面上任一点的正应力计算公式为：
M y
Iz
（5-2）
式中：M —横截面上的弯矩；
—截面对中性轴的惯性矩； —所求应力点到中性轴的距离。
图5.8 弯曲正应力分布
图5.9 正弯矩及负弯矩下正应力分布
如图5.9所示，如果截面上弯矩为正弯矩，中性轴至截面上边缘区域 为受压区，中性轴至截面下边缘区域为受拉区，且中性轴上应力为零， 截面上边缘处压应力最大，截面下边缘处拉应力最大；假若截面上的弯 矩为负弯矩时，中性轴至截面上边缘区域为受拉区，中性轴至截面下边 缘区域为受压区，且中性轴处应力为零，截面上边缘处拉应力最大，截 面下边缘处压应力最大。