北航 材料力学 全部课件 习题答案

依据
ρmin R1 σ Ey
ρ
1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
σ t,max
Ey1 R1
σ c, max
Ey2 R1
6-6 图 a 所示正六边形截面，边长为 a，试计算抗弯截面系数 Wz 与 Wy。
解：1. Wz 计算 由图 b 可以看出，
所以，ADB 对 z 轴的惯性矩为
题 6-6 图
梁内的最大弯矩则为
MC
qa2 4
M max
9qa2 32
(a)
2. 应力计算（解法一）
横截面 C 底部的弯曲正应力为
由此得 代入式（a），得 于是得梁的最大弯曲正应力为
C,max
qa2 4Wz
EC
q 4ECWz a2
M max
9 E CWz 8
max
M max Wz
9EC 8
9(200109 Pa)( 3.0104 ) 67.5MPa 8
题 6-7 图
解：(1) 为使弯曲强度最高，应使Wz 值最大。
由此得
Wz
bh2 6
b (d 2 6
b2 )
dWz 1 (d 2 3b2 ) 0 db 6
b 3 d， h d 2 b2 6 d
3
3
(2) 为使弯曲刚度最高，应使 I z 值最大。
Iz
bh3 12
h3 12
d 2 h2
dI z 3h2 (d 2 h2 ) h4 0
横截面 AB 将梁的下部切出，试绘单元体 ABCD 各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是 如何平衡的。
题 6-12 图 解： 1. 单元体的应力分析 梁内各横截面的剪力相同，其值均为 F；在固定端处，横截面上的弯矩则为
x2
dx
ql3 12EWz
6-10 图示截面梁，由№18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kN·m，材料的弹性模
量 E = 200GPa，泊松比 = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。
题 6-10 图 解：1.截面几何性质 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 6-10。
试计算梁底边 AB 的轴向变形。
解：梁的弯矩方程为
题 6-9 图
M (x) ql x q x2 22
横截面 x 处底边微长 dx 的轴向变形为
d(l) (x)dx M (x) dx EWz
所以，梁底边 AB 的轴向变形为
Δl
l M (x)dx 1
0 EWz
EWz
l 0
ql 2
x
q 2
( y1)
My1 EI z
ΔCD
h1 0
εdy1
M EI z
h1 0
y1d y1
Mh12 2EI z
0.29 20103 0.07932 2 200109 1660108
m
5.4
9
106
m
0.00549mm
6
6-12 图 a 所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷 F 作用。现用纵截面 AC 与
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
3a4 5 3a4
4
16
Wz
Iz ymax
5
3a 4 16
2 a3
5a3 8
2. Wy 计算 ADB 对 y 轴的惯性矩为
I
y,t
hb3 36
bh 2
b 3
a 2
2
11 3a4 192
中部矩形截面对 y 轴的的惯性矩为
2
I y,r
2ha3 12
3a 4 12
于是得整个六边形截面对 y 轴的惯性矩为
Iy
4I
y,t
I
y,r
411 3a4 192
3a4 5 3a4 12 16
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
Wy
Iy zmax
5
3a 4 16
1 a
5 3a3 16
6-7 图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。
dh
12 d 2 h2
由此得
h 3 d， b d 2 h2 d
2
2
Leabharlann Baidu
3
6-8 图 a 所示简支梁，由№18 工字钢制成，弹性模量 E = 200 GPa， a=1m。在均布
载荷 q 作用下，测得截面 C 底边的纵向正应变 = 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
题 6-8 图
解：1. 内力分析 梁的弯矩图如图 b 所示，横截面 C 的弯矩为
E
max
Ed Dd
M
Wz max
πd 3 32
Ed Dd
Eπd 4 32(Dd )
6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为 y1
与 y2，材料的弹性模量为 E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
题 6-3 图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为
AB
b
bM EWz
0.29 0.094 20103 200109 185106
m
1.474105 m 0.01474mm
3．计算上半腹板 CD 的长度改变量
距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为
该处的横向应变为
σ( y1)
My1 Iz
（ y1 以向上为正）
由此可得线段 CD 的伸长量为
5
由附录 F 表 4 查得
并从而得
图 6-10
h 180mm， b 94mm, t 10.7mm I z 1660cm4， Wz 185cm3
h1 h/2 t 79.3mm。
2．计算顶边 AB 的长度改变量
顶边处有
由此可得 AB 边的伸长量为
σ
max
M Wz
ε μ ε μ σ max E
3. 应力计算（解法二） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
C,max EC
由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为
4
max
M max MC
C,max
9qa2 32
4 qa2
E C
9E C 8
67.5 MPa
计算结果相同。
6-9 图示简支梁，承受均布载荷 q 作用。已知抗弯截面系数为 Wz，弹性模量为 E，
b a , h 3a
2
2
I z,t
bh3 36
bh 2
h 2 3
bh3 12
1 12
a 2
3a 3 2
3a 4 64
中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为
I z,r
a(2h)3 12
a 2 12
3a
3
2
3a 4 4
于是得整个六边形截面对 z 轴的惯性矩为
Iz
4I z,t
I z,r
4
3a 4 64
第六章 弯曲应力
6-2 如图所示，直径为 d、弹性模量为 E 的金属丝，环绕在直径为 D 的轮缘上，试求
金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。
解：金属丝的曲率半径为
题 6-2 图
所以，金属丝的最大弯曲正应变为
Dd 2
最大弯曲正应力为
max
ymax
d 2
2 d Dd Dd
而弯矩则为
max