高中数学人教A版必修三同步辅导与检测1.3.2秦九韶算法和进位制
2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测：1.3.3算法综合问题
D．至少含两个结构
4．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( C )
A．312 B．1010 C．82 D．74
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◆数学•必修3•(配人教A版)◆ 多层条件结构的嵌套
设计一个计算方程ax2＋bx＋c＝0解的 程序框图．
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2．学习算法不但能发展同学们有条理的思考与表 达的能力，而且能提高逻辑思维能力．程序框图与算法 语句的学习中应注意哪些问题？
解析：在程序框图与算法语句的学习中应注意的问 题主要有：各种框图有其固定的格式和作用，不要乱 用．条件结构中不要忘了“是”与“否”，流程线不要 忘记画箭头，条件分支结构的方向要准确．还有，程序 或程序框图不要出现死循环(无限步的循环)，进位制中， n进位制的数中不会出现大于等于n的数字，等．
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思考应用
1．如何理解现代意义上的算法思想？其基本要求 有哪些？
解析：算法思想通常是指可以用计算机来解决某一 类问题的程序或步骤，指按照一定的步骤，一步一步去 解决某个问题的程序化思想．我们将要学习的很多知识 都可以运用算法思想，设计出程序框图，能使解答过程 一目了然．其基本要求有：①步骤有限步完成；②步骤 确定有效；③步骤有顺序．当然，一类问题的算法往往 不唯一．
3．在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、 操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程．在 具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻 辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．
2019-2020学年数学高中人教A版必修3学案：1.3算法案例 第2课时 Word版含解析
第一章算法初步1.3算法案例1.3算法案例(第2课时)——秦九韶算法学习目标1.学习秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质.2.模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙.3.通过对秦九韶算法的学习,充分认识到我国文化历史的悠久.合作学习一、设计问题,创设情境我们已经学了多项式的计算,下面我们计算一下多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值,并统计所做的计算的种类及计算次数.根据我们的计算统计可以得出我们共需要次乘法运算,次加法运算.我们把多项式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,再统计一下计算当x=5时的值时需要的计算次数,可以得出仅需次乘法和次加法运算即可得出结果.显然少了次乘法运算.这种算法就叫秦九韶算法.二、信息交流,揭示规律秦九韶计算多项式的方法【例1】已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.思考:例1计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算?三、运用规律,解决问题利用秦九韶算法求f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.四、变式训练,深化提高【例2】设计利用秦九韶算法计算多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0的值的程序框图.练习:依据例2的程序框图编写程序.五、反思小结,观点提炼1.本节课我们学习了哪些知识内容?2.你认为秦九韶算法的原理是什么?3.秦九韶算法的程序设计用到了什么逻辑结构?布置作业课本P48习题1.3A组第2题.参考答案一、设计问题,创设情境10,5,4,5,6.二、信息交流,揭示规律f(x)=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1)x+a0=((a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2)x+a1)x+a0…=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=a n x+a n-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+a n-2,v3=v2x+a n-3,…v n=v n-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法. 【例1】解:根据秦九韶算法,把f(x)改写为f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值:v0=4;v1=4×5+2=22;v2=22×5+3.5=113.5;v3=113.5×5-2.6=564.9;v4=564.9×5+1.7=2 826.2;v5=2 826.2×5-0.8=14 130.2.所以,当x=5时,多项式的值等于14 130.2.思考:需要5次乘法,5次加法.三、运用规律,解决问题解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,所以有v0=7;v1=7×3+6=27;v2=27×3+5=86;v3=86×3+4=262;v4=262×3+3=789;v5=789×3+2=2 369;v6=2 369×3+1=7 108;v7=7 108×3=21 324.故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324.四、变式训练,深化提高【例2】解:程序框图如下:INPUT“n=”;nINPUT“an=”;aINPUT“x=”;xv=ai=n-1WHILE i>=0PRINT“i=”;i INPUT“ai=”;av=v x+ai=i-1WENDPRINT vEND五、反思小结,观点提炼略。
高中数学1.3-2秦九邵算法名师课件新课标人教A版必修3
第一步，计算v1=anx+an-1= v0x+an-1. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
第k步，vk=vk-1x +an-k (k=1，2，…，n)
※秦九韶算法的递推关系式 (P38)
v0=an vk=vk-1x +an-k
(k= 1，2，…，n)
例1 已知一个5次多项式为
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
需要做加法(或减法)与乘法运算的次数 分别为( D )
A 5,4 B 5,5 C 4,4 D 4,5
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？循环结构 (当型)
第一步，输入多项式的次数n，最高次
项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断“i≥0”是否成立.若是，则 返回第三步，否则，输出多项式的值v.
例2 阅读下列 INPUT “x=”；a
程序，说明它 n=0
解决的实际问 y=0
题是什么？ WHLE n<5
求多项式
y=y+(n+1)*a∧n
f (x) 1 2x
n=n+1
3x2 4x3 5x4 WEND
在x=a时的值. PRINT y
END
这样每次都可以利用上一次计算的结果， 再将这些数与x和1相加，那么一共做了 多少次乘法运算和多少次加法运算？
4 次乘法运算，5次加法运算.
思考3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
数学知识点人教A版高中数学必修三1.3《算法案例(秦九韶算法)》word教案-总结
时案例2 秦九韶算法（一）导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.思路2（直接导入）前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.（三）应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v 0=5；v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k-1的值，若令v 0=a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n-1.第三步，输入i 次项的系数a i .第四步，v=vx+a i ,i=i-1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i ＞=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n，如果在一种算法中，计算k x0（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次，加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.（四）知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．（五）拓展提升用秦九韶算法求多项式f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.（六）课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.（七）作业已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.。
人教A版高中数学必修三课件1.3.2秦九韶
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
2019年数学人教A必修三1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制
解析：选 B.五进制数 42(5)化为十进制数为 4×51＋2×50＝22. 故选 B.
3．(2019· 广西南宁市第三中学月考)将八进制数 135(8)化为二进 制数为( ) B．1011101(2) D．1111001(2)
A．1110101(2) C．1010101(2)
解析：选 B.135(8)＝1×82＋3×8＋5＝93＝1×26＋1×24＋1×23 ＋1×22＋1＝(1011101)(2)．故选 B.
中国古代数学文化中的算法问题
(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家， 普州安岳(现四川省 安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦 九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给 出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，3，则输出 v 的值为( )
2． (2019· 贵州省铜仁市第一中学期中考试)用秦九韶算法计算多 项式 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x 在 x＝3 时，可得 v4＝(v4 表示由内到外第四个一次多项式的值)( A．789 C．262 B．－86 D．－262 )
【答案】 A
利用秦九韶算法求多项式的值的步骤
1． (2019· 湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)用秦九韶 算法求多项式 f(x)＝2x5－x4＋2x2＋5x＋3 当 x＝3 的值时，v0 ＝2，v1＝5，则 v2 的值是( A．2 C．15 B．1 D．17 )
解析：选 C.f(x)＝2x5－x4＋2x2＋5x＋3 ＝(2x4－x3＋2x＋5)x＋3 ＝((2x3－x2＋2)x＋5)x＋3 ＝(((2x2－x)x＋2)x＋5)x＋3 ＝((((2x－1)x)x＋2)x＋5)x＋3， 当 x＝3 时，v0＝2，v1＝2×3－1＝5，v2＝5×3＝15.故选 C.
【高中数学必修三】1.3.2秦九韶算法 精品优选公开课件
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
显然，采用第二种算法，计算机能够更快地得到结果。
那么，有没有更有效的算法呢？
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
分析：算法1中用了几次乘法运算？ 和几次加法运算？
算法二：先计算x2的值，然后依次计算 x2·x、（ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
世界上有一种爱很伟大，那就是母爱！世上有一个人最值得我们去回报，那就是母亲。 母亲像什么，母亲像天使一样把一点一滴汗水与祝福慢慢地撒在我们的心里。
母亲是什么，母亲为我们打开成长的大门，母亲是上帝派下来哺育我们的天使。 在人生崎岖坎坷的旅途上，是谁给予你最真诚、最亲切的关爱，是谁对你嘘寒问暖，时刻给予你无私的奉献；是谁不知疲倦地教导着你为人处世的道理；是谁为了你的琐事而烦恼？
1.3.2 案例2、秦九韶算法
复习
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（
）
和（
）.
辗转相除法 更相减损术
2、两个数21672，8127的最大公约数是（ A ）
A、2709
B、2606
C、2703
D、2706
问
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
人教版数学高一A版必修3学案 1.3.算法案例2
数学学案——秦九韶算法与排序（1）教学目标（a ）知识与技能1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b ）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c ）情态与价值通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解2.排序法的计算机程序设计（3）学法与教学用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。
显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。
2020学年高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法练习(含解析)新人教A版必修3(最新整理)
第9课时秦九韶算法知识点一秦九韶算法的原理1．用秦九韶算法计算f(x）＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x当x＝x0时的值，需要加法(或减法）与乘法运算的次数分别为( ）A．5，4 B．5,5 C．4，4 D．4，5答案D解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法,缺一项就减少一次加法运算．f(x）中无常数项,故加法次数要减少一次,为5－1＝4．故选D．2．用秦九韶算法求多项式f（x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )A．－4 B．－1 C．5 D．6答案D解析n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1,由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5,v2＝v1x＋a2＝6．3．用秦九韶算法求多项式f（x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时,先算的是( ）A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34答案D解析因为f（x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝（…((a n x＋a n－1）x＋a n－2)x＋…＋a1)x ＋a0,所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时,先算的是7×4＋6＝34．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4－2x3＋3x2－7x－5，当x＝4时的值，给出如下数据．①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143其中运算过程中(包括最终结果)会出现的数有________．(只填序号）答案②③④⑤解析将多项式改写成f（x）＝(（（x－2）x＋3)x－7）x－5．v＝1；v＝1×4－2＝2；1v＝2×4＋3＝11；2v＝11×4－7＝37；3v＝37×4－5＝143．4知识点二利用秦九韶算法计算多项式的值5．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝(((（(（7x＋6）x＋5)x＋4）x＋3)x＋2）x＋1）x,所以有v＝7；v＝7×3＋6＝27；1v＝27×3＋5＝86；2v＝86×3＋4＝262；3v＝262×3＋3＝789;4v＝789×3＋2＝2369;5v＝2369×3＋1＝7108；6v＝7108×3＝21324．7故当x＝3时，多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324．易错点利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误6．已知f（x）＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．易错分析由于没有抓住秦九韶算法原理的关键,没有正确改写多项式并使每一次计算只含有x的一次项而致误．正解f（x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝（（（3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v＝3×（－2)＋0＝－6；1v＝－6×(－2）＋2＝14；2v＝14×（－2)＋4＝－24；3v＝－24×（－2）＋2＝50．4故f（－2）＝50．一、选择题1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋9x5＋5x4＋6x3＋12x2＋8x－7在x＝2时的值，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．5,5 B．5，6 C．6，6 D．6，5答案C解析因为f(x）的最高次数是6，所以需要做乘法和加法的次数都是6．2．用秦九韶算法求多项式f(x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为（）A．－57 B．220 C．－845 D．3392答案B解析v0＝3,v1＝3×（－4)＋5＝－7，v＝－7×（－4）＋6＝34,2v＝34×（－4）＋79＝－57,3v＝－57×（－4）－8＝220．43．已知多项式f（x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－错误!，用秦九韶算法求f（－2)等于（）A．－错误! B．错误! C．错误! D．－错误!答案A解析∵f(x)＝（（（(4x＋3）x＋2)x－1）x－1）x－错误!,∴f(－2）＝（（（(4×(－2）＋3）×（－2)＋2)×(－2）－1)×（－2）－1)×（－2)－错误!＝－错误!．4．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是( )A．可以减少加法运算次数B．可以减少乘法运算次数C．同时减少加法和乘法的运算次数D．加法次数和乘法次数都有可能减少答案B解析秦九韶算法可以把至多n n＋12次乘法运算减少为至多n次乘法运算．加法运算次数不变．5．用秦九韶算法计算函数y＝2x3－3x2＋2x－1在x＝2时的函数值，则下列各式正确的是（）A．v0＝2 B．v0＝1 C．v1＝4 D．v2＝7答案A解析根据秦九韶算法，把多项式改写成y＝(（2x－3）x＋2)x－1,从内到外依次计算:v0＝2，v1＝2×2－3＝1,v2＝1×2＋2＝4，v3＝4×2－1＝7．二、填空题6．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，用秦九韶算法计算x＝3时的值，v3的值为________．答案36解析v0＝1,v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，…．7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋3x3＋2x2＋10,当x＝3时f(x）的值为________．答案1324解析f（x)＝5x5＋0x4＋3x3＋2x2＋0x＋10＝(((（5x＋0）x＋3)x＋2)x＋0)x＋10＝(（(（5x）x＋3)x＋2）x）x＋10，当x＝3时，有v0＝5，v1＝5×3＝15，v2＝15×3＋3＝48，v3＝48×3＋2＝146，v4＝146×3＝438,v5＝438×3＋10＝1324，∴f(3)＝1324．8．用秦九韶算法求多项式f（x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．答案62解析多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(（(((3x＋12）x＋6)x＋10）x－8)x－5）x＋1,v＝3，v＝3×（－4）＋12＝0,1v＝0×（－4）＋6＝6，2v＝6×(－4)＋10＝－14，3v＝－14×(－4）－8＝48，4∴v4最大，v3最小．∴v4－v3＝48－（－14)＝62．三、解答题9．利用秦九韶算法求多项式f（x)＝3x6＋12x5＋8x4－3．5x3＋7．2x2＋5x－13，当x＝6时的值，写出详细步骤．解f（x)＝((（（(3x＋12)x＋8)x－3．5)x＋7．2)x＋5)x－13，v＝3，v＝v0×6＋12＝30，1v＝v1×6＋8＝188，2v＝v2×6－3．5＝1124．5，3v＝v3×6＋7．2＝6754．2，4v＝v4×6＋5＝40530．2，5v＝v5×6－13＝243168．2．6f（6）＝243168．2．10．用秦九韶算法计算多项式f(x）＝5x7＋x6－x3＋x＋3当x＝－1时的值，并判断f(x)在区间[－1，0］内有没有零点．解∵f（x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3＝((（(（(5x＋1)x＋0)x＋0）x－1)x＋0)x＋1)x＋3,∴当x＝－1时,v0＝5,v＝5×(－1）＋1＝－4，1v＝－4×（－1）＋0＝4，2v＝4×（－1）＋0＝－4,3v＝－4×(－1）－1＝3，4v＝3×(－1）＋0＝－3，5v＝－3×(－1)＋1＝4,6v＝4×(－1)＋3＝－1，7∴f（－1）＝－1．又f（0)＝3，∴f(0）·f(－1)<0，由零点存在定理，知f(x）在区间[－1,0]内有零点．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高中数学人教A版必修三 1.3.2 秦九韶算法与进位制 课件(73张) (1)
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4.已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+6,试用秦九韶算法求 f(10)的值.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形 式:f(x)=x3-2x2-5x+6=(x2-2x-5)x+6=((x-2)x-5)x+6.故把 x=10 代入函数式,得 f(10)=((10-2)×10-5)×10+6=756.
预学 1:秦九韶计算多项式的方法 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 …… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0.这样,把 n 次多项式的求值 问题转化为求 n 个一次多项式的值的问题,上述方法称为秦九韶 算法.
练一练:已知一个 3 次多项式为 f(x)=x -2x +x-1,用秦九 韶算法求当 x=2 时这个多项式的值.
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【解析】f(x)=x3-2x2+x-1=((x-2)x+1)x-1=1.
预学 2:秦九韶算法是多项式求值的算法,秦九韶算法的 特点 (1)化高次多项式求值为一次多项式求值; (2)减少了运算次数,提高了效率; (3)步骤重复执行,容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算 多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外 逐次计算,由于后项计算用到前项的结果,故应认真、细心,确保 中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存在时,可将这些项 n 的系数看成 0,即把这些项看作 0·x . 想一想:秦九韶算法与直接计算相比较有何优点?
2019年数学人教A必修三新一线同步课件：1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制
秦九韶算法及其应用
(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)用秦
九韶算法求多项式 f(x)＝11＋35x＋9x3＋5x5＋2x6 当 x＝－1 时
的值，有如下说法：①要用到 6 次乘法；②要用到 6 次加法和
15 次乘法；③v3＝12；④v0＝11.其中说法正确的是( )
A．①③
B．①④
C．②④
8x＋1 当 x＝0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是
() A．6，6
B．5，6
C．5，5
D．6，5
答案：A
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第一章 算法初步
完成不同进位制数之间的转化 119(10)＝________(6)． 解析： 所以 119(10)＝315(6)． 答案：315
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第一章 算法初步
栏目 导引
第一章 算法初步
用秦九韶算法求多项式 f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2，当 x＝4 时
的值时，先算的是( )
A．4×4
B．7×4
C．4×4×4
D．7×4＋6
解析：选 D.因为 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx ＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式 f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2 当 x＝4 时的值时，先算的是 7×4＋6.
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第一章 算法初步
中国古代数学文化中的算法问题 (1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省 安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦 九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给 出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，3，则输出 v 的值为( )
2020版数学人教A版必修3学案：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制 Word版含解析
第2课时 秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．知识点一 秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x ＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二 进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k)．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数．思考 59分59秒再过1秒是多少时间？答案 1小时．上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k 进制，k进制的基数是k.知识点三 进制间的转化1．一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.( × )2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．( √ )3．不同进制数之间可以相互转化．( √ )题型一 秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二 k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟 将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解 (1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.题型三 十进制化k进制例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解 算式如图，则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为除k取余倒序写出标明基数→→.跟踪训练3 把89化为二进制数．解 算式如图，则89＝1 011 001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解 将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0＝1，v1＝1×0.3＋0＝0.3，v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.[素养评析] (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10)，则r的值为( )A．1 B．5 C．3 D．8答案 D解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A．10 B．9 C．12 D．8答案 C解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是( )A．1×2 B．24C ．2＋1D ．1×2＋2答案 D 解析 因为f (x )＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4．下列各数中，最小的数是( )A ．85(9)B ．210(6)C ．1 000(4)D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5．(1)将二进制数转化成十进制数；1611111⋅⋅⋅ 个(2)将53(8)转化为二进制数．解 (1) (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.1611111⋅⋅⋅ 个(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图． 所以53(8)＝101 011(2)．1．要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0时的值的思路为(1)改写；(2)计算Error!(3)结论f(x0)＝v n.一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是( )A．55 B．106C．732 D．2 134答案 D解析 五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字．2．把五进制数123(5)改写成十进制数为( )A．83 B．64 C．38 D．44答案 C解析 五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x6＋5x5＋6x4＋23x3－8x2＋10x－3当x＝－4时的值时，v3的值为( )A．－742 B．－49C．18 D．188答案 B解析 f(x)＝2x6＋5x5＋6x4＋23x3－8x2＋10x－3＝(((((2x＋5)x＋6)x＋23)x－8)x＋10)x－3，v0＝2，v1＝v0x＋5＝2×(－4)＋5＝－3，v2＝v1x＋6＝－3×(－4)＋6＝18，v3＝v2x＋23＝18×(－4)＋23＝－49，故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( )A．12 B．11 C．10 D．9答案 B解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11.5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A．4 B．64 C．255 D．15答案 D解析 由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)＝15.6．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为( )A．8 B．55 C．56 D．62答案 B解析 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是( ) A．－4 B．－1C．5 D．6答案 D解析 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式Error!得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.8．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．－4答案 C解析 132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是( )A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析 342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177，402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7)，402(6)＞355(6)，所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66，则x的值为________．答案 6解析 146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是________．答案 －15解析 f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，所以v0＝1，v1＝1×(－1)－5＝－6，v2＝(－6)×(－1)＋6＝12，v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．解 ∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，v5＝v4×6＋5＝40 530.2，v6＝v5×6－13＝243 168.2，∴f(6)＝243 168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：十六进制012345678910A B C D E 数十进制数0123456789101112131415例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)答案 92(16)解析 ∵A×B＋D＝11×12＋14＝146，146＝9×16＋2，∴用十六进制表示146为92(16)．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析 初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1 跳出循环，输出v＝18，故选B.。
2020版数学人教A版必修3课件：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制
第一章§1.3 算法案例第2课时 秦九韶算法与进位制学习目标XUEXIMUBIAO1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 秦九韶算法1.求n 次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法.2.秦九韶算法的一般步骤：把一个n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写成如下形式：(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，求多项式的值时，首先计算________一次多项式的值，即v 1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2＝，v 3＝ ，…，v n ＝ ，这样，求n 次多项式f (x )的值就转化为求的值.最内层括n 个一次多项式号内a n x ＋a n －1v 1x ＋a n －2v 2x ＋a n －3v n －1x ＋a 0知识点二 进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N，0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k).为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数.思考 59分59秒再过1秒是多少时间？答案 1小时.上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.知识点三 进制间的转化1.一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2.把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数.把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.1.二进制数中可以出现数字3.( )2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k 取余法.( )3.不同进制数之间可以相互转化.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×2题型探究PART TWO题型一 秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值.解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可.这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量.若用计算机计算，则可提高运算效率.(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值.解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二 k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟 将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数.解 1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数.解 314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.题型三 十进制化k 进制解 算式如图，例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.则458＝13 022(4)＝2 042(6).反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为跟踪训练3 把89化为二进制数.解 算式如图，则89＝1 011 001(2).典例 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04当x ＝0.3时的值.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 秦九韶算法求多项式的值解 将f (x )写为f (x )＝((((x ＋0)·x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v 0＝1，v 1＝1×0.3＋0＝0.3，v 2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v 3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v 4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v 5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x ＝0.3时，f (x )的值为－0.079 6.素养评析 (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项.这是本题的易错点.(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.3达标检测PART THREE1.已知175(r)＝125(10)，则r的值为A.1B.5√C.3 D.8解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为A.10B.9√C.12D.8解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是A.1×2B.24√C.2＋1D.1×2＋2解析 因为f(x)＝(((x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4.下列各数中，最小的数是A.85(9)B.210(6)√C.1 000(4)D.111 111(2)解析 85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5.(1)将二进制数 (2)转化成十进制数；1611111⋅⋅⋅个解 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.1611111⋅⋅⋅ 个(2)将53(8)转化为二进制数.解 先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.所以53(8)＝101 011(2).课堂小结KETANGXIAOJIE1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：3.用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0时的值的思路为(1)改写；(2)计算(3)结论f(x0)＝v n.。
人教A版高中数学必修三算法案例同步检测新
1.3 算法案例双基达标限时20分钟1．利用秦九韶算法求P (x )＝a n x n＋a n －1xn －1＋…＋a 1x ＋a 0，当x ＝x 0时P (x 0)的值，需做加法和乘法的次数分别为( )A ．n ，nB ．n ，n n ＋2C ．n,2n ＋1D ．2n ＋1，n n ＋2解析 由秦九韶算法知P (x 0)＝(…((a n x 0＋a n －1)x 0＋a n －2)x 0＋…＋a 1)x 0＋a 0，上式共进行了n 次乘法运算和n 次加法运算．答案 A2．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为 ( )．A ．12B ．11C ．10D ．9 解析 101(2)＝22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6. 答案 B3．4 830与3 289的最大公约数为 ( )．A ．23B ．35C ．11D ．13 解析 4 830＝1×3 289＋ 1 541； 3 289＝2×1 541＋207； 1 541＝7×207＋92； 207＝2×92＋23；92＝4×23； ∴23是4 830与3 289的最大公约数． 答案 A4．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．解析 ∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67. 答案 先除以2，得到18与675．将八进制数127(8)化成二进制数为________(2)．解析 将127(8)化为十进制：127(8)＝1×82＋2×8＋7＝64＋16＋7＝87，再将十进制数87化为二进制数为：∴87＝1010111(2)．答案10101116．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7v1＝7×3＋6＝27v2＝27×3＋5＝86v3＝86×3＋4＝262v4＝262×3＋3＝789v5＝789×3＋2＝2 369v6＝2 369×3＋1＝7 108v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.综合提高限时25分钟7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2，当x＝4时的值时，先算的是 ( )．A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34.答案 D8．下列各数中最小的数是 ( )．A．101 010(2) B．210(8)C．1 001(16) D．81解析101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42.210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4 097，故选A.答案 A9．用更相减损术求459和357的最大公约数，需要减法的次数为________．解析 使用更相减损术有：459－357＝102； 357－102＝255；255－102＝153；153－102＝51； 102－51＝51，共作了5次减法． 答案 510．用秦九韶算法求函数f (x )＝1＋2x ＋x 2－3x 3＋2x 4，当x ＝－1的值时，v 2的结果是________．解析 此题的n ＝4，a 4＝2，a 3＝－3，a 2＝1，a 1＝2，a 0＝1，由秦九韶算法的递推关系式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )，得v 1＝v 0x ＋a 3＝2×(－1)－3＝－5.v 2＝v 1x ＋a 2＝－5×(－1)＋1＝6.答案 611．把“三进制”数2 101 211(3)转化为“八进制”的数．解 先将三进制化为十进制，再将十进制化为八进制．2 101 211(3)＝2×36＋1×35＋1×33＋2×32＋1×31＋1×30＝1 458＋243＋27＋18＋3＋1＝1 750(10)，所以2 101 211(3)＝3 326(8)．12．(创新拓展)用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64当x ＝2时的值．解 将f (x )改写为f (x )＝(((((x －12)x ＋60)x －160)x ＋240)x －192)x ＋64由内向外依次计算一次多项式当x ＝2时的值，v 0＝1，v 1＝1×2－12＝－10， v 2＝－10×2＋60＝40， v 3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.。
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法二：
答案：B
跟踪训练 2．写出将k进制数a转换为十进制数(共有n位)a＝ anan－1…a3a2a1(k)＝ank(n－1)＋an－1k(n－2)＋…＋a3k2＋a2k1＋ a1k0的算法步骤． 解析：算法步骤： 第一步，输入a，k和n的值． 第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1. 第三步，b＝b＋ai· ki－1，i＝i＋1.
所以f(2)＝95.
跟踪训练 1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋
6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法
的次数分别为( A ) A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5
秦九韶算法的程序框图与程序
设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝ a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0时的值的程序
自测自评 1.关于进位制说法错误的是 D
A .进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记
B . C .满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几 D .为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标
2．在求高次代数方程根的完整算法时，秦九韶算法要比 西方同样的算法( B ) A．晚五、六百年 C．早七、八百年 B．早五、六百年 D．晚七、八百年
祝
您
3．下列各数中最小的一个是( A ) A．111111(2) C．1000(4) B．210(6) D．81(8)
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋ 6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，V3的值为( B ) A．－144 C．－57 B．－136 D．34
用秦九韶算法求函数值 用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x6－3x5＋4x4 －x3＋2x2＋x－3，当x＝2时的值． 解析：f(x)＝((((((2x－3)x＋4)x－1)x＋2)x＋1)x－3) 因为V0＝2，V1＝1，V2＝6，V3＝11，V4＝24， V5＝49，V6＝95，
A．10000 (2) B．10100(2)
C．11001(2)
D．10001(2)
5．二进制数100001(2)等于十进制数________ 5.33 ．
思考应用 1．设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋……＋a1x＋a0， 用秦九韶算法求当x＝x0时f(x0)的值需要算乘法、 加法的次数分别为多少？ 解析： 用秦九韶算法求当x＝x0时f(x0)的值 需要算乘法n次，加法n次．
＝……
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用 秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值． 解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1 ＝(((x－2)x＋1)x－1)＝1.
2．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位 置表示不同的数值．可使用数字符号的个数称为基数，基数 为n，即可称n进位制，简称n进制．现在最常用的是十进制， 通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数． 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比 如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进 制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是 一样的． 表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示，如 111001(2)表示二进制数，34(5)表示5进制数． 电子计算机一般都使用二进制，下面我们来进行二进制 与十进制之间的转化
第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步； 否则返回第三步．
第五步，输出b的值．
十进制数与其它进制数的互化
65(8) ． 把十进制数53化为八进制数为_______
跟踪训练
3．把十进制数53化为五进制数为________． 解析：
答案：203(5)
1．秦九韶算法的优点是能大量减少计算量，对相 应的程序框图不作具体要求． 2．进位制是十分重要的知识点，要求掌握不同进 位制的转换．
2．秦九韶算法与直接计算相比较有何优点？ 解析：秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计 算，而是与系数一起逐次增长幂次，大大节省了乘 法的次数，使计算量减小，并且逻辑结构简单，从 而可提高计算的精度．
3．如何理解进位制？ k进制数如何转换成十进制数？ 解析：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同 的位置表示不同的数值．可使用数字符号的个数称为基数， 基数为k，即称k进制．k进制需要使用k个数字．k进制转 换十进制的方法：先把这个k进制数写成用各位上的数字 与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则 计算出结果．
框图．
解析：程序框图如下：
十进制数与二进制数的互化 把十进制数53化为二进制数为( A．101101(2) C．110001(2) B．110101(2) D．100001(2) )
解析：法一：(除二取余法)53＝2×26＋1，
26＝2×13＋0,13＝2×6＋1,6＝2×3＋0,
3＝2×1＋1， 1＝2×0＋1；余数由后往前写得110101.
11(2) ． 例如：十进制3的二进制表示方法为________ 3．二进制数111(2)在十进制中表示哪个数？______ 3.7
Hale Waihona Puke 4．十进制数是满十进一的原则，同理二进制数是满二 进一的原则，要把十进制数9转化为二进制数，常常用如下方 式：9＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20，因此十进制数9的二进 制表示法为＝1001(2)．把十进制数20化为二进制数为( B )
算法初步
1 ．3
算法案例
1.3.2秦九韶算法和进位制
理解秦九韶算法与进位制的含义和运算．
基础梳理 1．秦九韶计算多项式的方法 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0