复习课-数字信号处理复习总结2014

数字信号处理复习要点
数字信号处理主要包括如下部分：
1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析（序列傅立叶变换）
2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换
3、数字滤波器的设计
一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析
1、离散时间信号：
1）离散时间信号。

时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。

信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。

2）数字信号。

时间和幅值都离散化的信号。

（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）
3）离散时间信号可用序列来描述
4）序列的卷积和（线性卷积）
5）几种常用序列
a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）,
b)单位阶跃序列,
c)矩形序列，
d)实指数序列,
6）序列的周期性：
所有n存在一个最小的正整数N,满足：x(n)=x(n+N),则称序列x(n)是周期序列，周期为N。

(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)
7）时域抽样定理：
一个限带模拟信号x a(t)，若其频谱的最高频率为f h，对它进行等间隔抽样而得x(n)，抽样周期为T，或抽样频率为Fs=1/T；只有在抽样频率
Fs2f h时，才可由x(n)准确恢复x a(t)。

①理想抽样
②频谱周期延拓
③信号重建（通过理想低通滤波器）
8）序列的运算规则
2、离散时间信号的频域表示（序列傅立叶变换）
1）定义
正变换；连续、周期（周期为2）
逆变换；
2）DTFT性质
3、序列的Z变换
1）正变换：
（1）Z变换的收敛域
收敛区域要依据序列的性质而定。

同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：
*有限长序列：，
*右序列：，|Z|>Rx-
*左序列：，（|z|<Rx+，N2>0时：0≤|Z|< Rx+；N2≤0时： 0<|Z|< Rx+）*双边序列：，
结论：
1 序列ZT为有理分式的收敛域以极点为边界（包括0,∞）；
2 ②收敛域内不能包括任何极点，可以包含零点；
3 ③相同的零极点分别可能对应不同的收敛域，即：不同的序列可能
有相同的ZT；
④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长Z平面。

常用序列的Z变换：
(2)Z变换与傅立叶变换的关系，
2）逆变换
C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线
(1)留数定理：
(2)留数辅助定理：
(3)利用部分分式展开：，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。

（4）长除法：注意左右序列
3）ZT性质
4、离散时间系统：
传输函数：
系统函数：
冲激响应：
5、线性系统：满足叠加原理的系统。

6、移不变系统：若，则
7、线性移不变系统
可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）
，，
8、系统的频率特性可由其零点及极点确定
（式中，z k是极点，z i是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。

）
9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：---时域条件
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园 |z|=1---频域条件
10、因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定
线性移不变系统是因果系统的充要条件：---时域条件
或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx---频域条件
11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，---时域条件
或：H(z)的极点在单位园内，即H(z)的收敛域满足：---频域条件
12、差分方程
线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）
13、差分方程的解法
1）直接法：递推法
2）经典法
3）由Z变换求解
二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换
1、周期序列x p(n)的离散傅立叶级数（DFS）；周期为N
其中：
2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)及性质
1）定义
，0≤k≤N-1
，0≤n≤N-1
应当注意，虽然x(n)和X(k)都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列x p(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。

尤其是涉及其位移特性时更要注意。

2）DFT性质
3、离散傅立叶变换与Z变换的关系
，
4、频域抽样定理
X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT是原序列想x(n)以N 为周期的周期延拓序列的主值序列，即
频域采样定理：如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N，
才有，即可以由频域采样X（k）恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。

对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为2/N，当N≥M时，才可由X(k)不失真恢复。

内插公式：
5、循环卷积
循环卷积：=
6、用圆周卷积计算有限长序列的线性卷积
对周期要求：（N1、N2分别为两个序列的长度）
7、基2 FFT算法
1）数据要求：N=2M, M=log2N
2）计算效率（乘法运算次数：MN/2，加法计算次数：NM ）（复数运算）
（DFT运算：乘法运算次数：N2，加法计算次数：N2）（复数运算）
3）基2FFT算法分为两大类：时域抽取法和频域抽取法
4）比较DIT和DIF的区别。

DIT 奇偶分组：输入倒，输出顺蝶形运算：先乘后加（减）
DIF 前后分组：输入顺，输出倒蝶形运算：先加（减）后乘
5)实序列的FFT
8、分辨率
一般：Fs2f h; N>Fs/F; T p>1/F
用DFT进行频谱分析时的误差问题：混叠现象、栅栏效应、截断效应（谱间干扰、泄漏）
三、数字滤波器的设计
（一）数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的
数字器件或程序。

2、滤波器分类
1）经典滤波器按滤波特性分
低通滤波器LP、高通滤波器HP、带通滤波器BP、带阻滤波器BS 2）现代滤波器
维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器、线性预测滤波器3、滤波器技术指标
通带边界频率阻带截止频率
片段常数特性：通带波纹幅度阻带波纹幅度
通带最大衰减阻带最大衰减
二）IIR滤波器的设计
1、特点
阶数少、运算次数及存储单元都较少
适合应用于要求相位特性不严格的场合。

有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。

是递归系统，存在稳定性问题。

2、主要设计方法
先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。

设计过程：
*先设计模拟低通滤波器H a(s)：butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用;
*将模拟原型滤波器变换成数字滤波器,主要有冲激不变法、双线性变换法;
3、模拟-数字转换法
（1）冲激不变法
单阶极点情况
，，
冲激不变法的特点：
有混叠失真
只适于带限滤波器
不适合高通或带阻数字滤波器的设计
（2）双线性变换法
特点：
（i）稳定性不变
（ii）无混叠
（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理
三）FIR滤波器的设计
1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数
较高
2、线性相位FIR数字滤波器
对于长度为N的h(n)，频率响应函数为
式中称为相频特性；称为相位特性。

1）线性相位FIR数字滤波器时域约束条件
h(n)实序列
*第一类线性相位对h(n)的约束条件，要求和满足：
*第二类线性相位对h(n)的约束条件，要求和满足：
）线性相位FIR数字滤波器幅度特性的特点：
质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件。

（1）h(n)=h(N-n-1),N为奇数，幅度特性关于=0、、2偶对称；可以实
现各种滤波器；
（2）h(n)=h(N-n-1),N为偶数，幅度特性关于=0、2偶对称，关于=奇对
称；不能实现高通和带阻滤波器;
（3）h(n)=-h(N-n-1),N为奇数，幅度特性关于=0、、2奇对称；只能实
现带通滤波器；
（4）h(n)=-h(N-n-1),N为偶数，幅度特性关于=0、2奇对称，关于=偶
对称；不能实现低通和带阻滤波器；
）零分布特点：
代入上式，得到
线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共轭对
3、主要设计方法
1）窗函数法
对FIR滤波器的影响：调整窗口长度N只能有效的控制过渡带的宽度，
并不能减少带内波动以及增大阻带衰减。

设计步骤：（1）根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求，选择窗函数的类
型，并估计窗口长度N；
（2）构造希望逼近的频率响应函数，即
（3）计算：如果给出待求滤波器的频响函数为，那么在单位脉冲响应
作用下：；
（4）加窗得到设计结果：
2）频率抽样设计
频率抽样内插公式设计。

特点：
频率特性可直接控制。

若滤波器是窄带的，则能够简化系统
若无过渡带样本，则起伏较大。

改进办法是增加过渡带样本，采用过
渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。

可得到较好的起伏特
性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。

四）几种特殊的滤波器（概念）
全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统
五）滤波器的网络结构
（一）滤波器的网络结构分类
*有限长单位脉冲响应网络，简称FIR，其中一般不存在输出对输入的
反馈支路，单位脉冲响应是有限长的，差分方程：
其单位脉冲响应是有限长的，h(n)表示为
*无限长单位脉冲响应网络，简称IIR，存在输入对输出的反馈支路，单位脉冲响应是无限长的，差分方程：
（二）IIR系统的基本网络结构
IIR系统分类
（1）直接型
对应的系统函数为：
特点：便于理解，累积误差大，运算速度相对慢。

（2）级联型
对应的系统函数为：
相当于
特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。

相对直接型结构，其优点是调整方便，此外，运算累积误差较直接型小。

（3）并联型
对应的系统函数为：
特点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。

运算误差不积累。

运算速度最高。

（三）FIR系统基本网络结构
FIR系统分类：
(1)直接型
特点：直观明了，便于理解，但不便于调整参数。

(2)级联型
将H(z)因式分解得到
特点：每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭极点，调整零点位置比直接型方便，但H(z)中的系数比直接型多（近
似3/2N），因而需要的乘法器多。

（3）线性相位结构型
（4）频域采样结构型。