浙教版七升八数学暑期衔接辅导第1讲 三角形的初步认识
七升八数学暑期衔接班讲义[1]
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暑期七升八衔接班讲义第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？知识点3 三角形的三条重要线段 ☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度abc (1)CB A[练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________ [探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________ [探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 【结论】_________________________________[探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？ 【结论】__________________________________________【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；CB A15.第十五讲：等腰直角三角形； 16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ). AE DE A BC FG(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值范围是 .(A)3b＜l＜3a (B)2a＜l＜2a+2b (C)a+2b＜l＜2a+b (D)a+2b ＜l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长l 的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a(D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组DABC DA B C3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7(D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系I I I C B D AC B DA A DBC I I I C BD ACB DA EA E DB EC I I I C BD ACB AEA EDB F D EF F C 12CB A 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余； ABC D EDA BE F C D A CB H D A BC E HED C BA ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.A B C D E I【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°M EDC B AMED C B AAB O 5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240°(D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒ (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).C BD AF E(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：I II C B D AC B DA A DBC I I I C BAC BD AE A E D BE C I I A C B A E DE F D QP CB A 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平与∠A 、∠D 之间的数量关系. BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP °，直接写出：∠BPC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，AB C IA B C D IA B CD EIBAMECDOD BC EA求证：∠BOE=∠COD；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°C BD AF E3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角O 2O 1A B C图1C B A图2图3OO 1O 2O n-1板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC. （1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.FE D CB A M E D CB A FNM E D CB AE D C BA FM ED CB A N ME DCBN M P E D CBA（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D)48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相N M FE D CB AN M F E D CB A应的度数，若60+的值为，x的c=︒，∠P=110°，则d e值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90°(C)80°(D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45°(B)55°(C)65°(D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲 专题一：三角形题型训练（二） 知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；CB A16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). AE D E A BC FG(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b ＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值范围是 .(A)3b＜l＜3a (B)2a＜l＜2a+2b (C)a+2b＜l＜2a+b (D)a+2b＜l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x，3x-1.（1）则x的取值范围是；（2）则它的周长l的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若 a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7(D)1＜x ＜7DAB C DA B C5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.ABC DEII I I C B D A C B DA A DBC II I C B D AC BD A EA E DB EC I I I C BD A C B AE A EDB F D E F F C12CB A 例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .DA BEF C D A CB H DA B C E HED C BA ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF. 【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A. 2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.M EDC B AM EDC B AA B C D E I第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ =( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120°(B)180°(C)240°(D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).A B O C B D AF E(A)360o (B)250o (C)180o (D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45?(B)一定有一个内角为60? (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线IIICBACDAAD于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）： 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间AB C IA B C D IA BCD EII IC BACBDAEA ED BECII A C BAE DE F BAMECDODQPCBADB CEA 的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分A 、∠D 之间的数量关系.BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、°，直接写出：∠BPC BQC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和. 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=； ②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；CBDAF E ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ). (A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个 5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).O 2O 1A BC 图1CBA 图2图3OO 1O 2O n-1(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80° 7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ． 8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= . 9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ． 11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n⨯︒+∠(B)12180A n n⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A nn-⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，FED CBA M E DCB AFNMEDCBAED C BAFM EDCB ANMEDC请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ). (A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .N MPEDCBANMFE DCBANMFEDCBA4．已知△ABC中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF的形状是 .5．如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为 . 6．如图：点D、E、F为△ABC三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60+的值为，x的c=︒，∠P=110°，则d e值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD 恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100°(B)90°(C)80°(D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45°(B)55°(C)65°(D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1. 概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. A2. 几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3. 三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.B C二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）不等边三角形三角形等腰三角形腰底不相等的等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系( 教具)引例：已知平面上有A、B、C 三点. 根据下列线段的长度判断A、B、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A、B、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A、B、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A、B、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A、B、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A、B、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；2．已知BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC中.①AD为△ABC的中线，则线段= = 1；A 2②AE为△ABC的角平分线，则= = 1；2③AF为△ABC的高线，则= =90 °；④以AD为边的三角形有；B F E D C⑤∠AEC是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则△ABC的BC边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm，12cm (B)6cm ，8cm，15cm(C)4cm ，6cm，5cm (D)8cm ，4cm，3cm GFEBA D C（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是. （a、b、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2 ∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2，5，2 4 x，则x 的取值范围是.3③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l 的取值范围是.(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形两边的长分别为 3 和7，则第三边 a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边 a 的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是. 若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若 a 、b、c 是△ABC的三边长，化简| a b c | +| a b c | 的结果为( ).(A) 2b (B)0 (C) 2a (D) 2a 2c⑥已知在△ABC中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC的周长l 的取值范围为.【题型训练】1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6. 其中能组成三角形的有( ).(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组3. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A) 中线(B) 角平分线(C) 高线(D) 角平分线或中线4. 已知三角形的三边长分别为6，7，x，则x 的取值范围是( ).(A)2 ＜x＜12 (B)1 ＜x＜13 (C)6 ＜x＜7 (D)1 ＜x＜75．已知三角形的两边长分别为 3 和5，则周长l 的取值范围是( ).（A）6＜l ＜15 （B）6＜l ＜16 （C）11＜l ＜13 （D）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和11，则周长是( ).（A）21 （B）27 （C）32 （D）21 或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8. 等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9. 等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10. 三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为.11. 三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12. 等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为.13. 若a、b、c 分别为△ABC的三边长，则｜a+b-c ｜- ｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14. 已知在ΔABC中，AB=AC，它的周长为16 厘米，AC边上的中线BD把ABC分成周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长. ADB C15. 等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线）把它的周长分为15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长. ADB C综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3.如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.A A AII B CB C B C D D EI例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠A B D、∠ACD的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.A A I ADIID B CB C B C D发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.AIBB DCEIAA IDEC B CE D发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D之间的数量关系.A A AD【知识要点】第二讲与三角形有关的角一、三角形按角分类: ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；A二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：1 2①直角三角形两锐角互余；B C②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2 ）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的 5 倍，则它的边数是.③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的 2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ABC中，∠A=50°，两条高线B D、CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数.A AEECH D BDHB C例三、如图，△ABC中，∠A=50°，两条角平分线B D、CE交于点I ，求∠BIC 的度数.AEIB C例四、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC.A D例五、如图，AB∥C D，AD∥BC，AE⊥BC，AF⊥CD，求证：∠BBAD+∠EAF=180°.CA DFD例六、如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF.A FEBC D例七、如图，在凸六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E，求证：BC∥EF.DECFA B【题型训练】1.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠ A.AEDB C2.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.AEDB C3.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC的度数.EADB C M4.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E 互补，求∠BAC的度数.EADB C M第二讲作业1.如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A) ∠A＞∠1＞∠2 (B) ∠2＞∠1＞∠A(C) ∠A＞∠2＞∠1 (D) ∠2＞∠A＞∠13.下面四个图形中，能判断∠1＞∠2 的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 75°6. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360 o (B)250 o (C)180 o (D)140 o8.如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A 与A′重合，若∠ A=75°，则∠1+∠2= ( ).(A) 150°(B) 210°(C) 105°(D) 75°9.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD 的度数为（）(A)40 °(B)45 °(C)50 °(D)55 °10.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 一定有一个内角为45 (B) 一定有一个内角为60(C) 一定是直角三角形(D) 一定是钝角三角形11.将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ). OB(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D) 120°12.若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). A(A) 正十六形(B) 正十七形(C) 正十八边形(D) 正十九边形13.一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014.已知：在△ABC 中，∠B是∠A的 2 倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)90 °15.如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16.如图，在△ABC中，D、E 分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC的度数.AD E17.如图，已知直线DE分别交△ABC 的边AB、AC于D、E 两点，交边BC的延长线于点F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1. 与三角形有关的四个基本图及其演变；2. 星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠ D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.A A ADDB CB C B C D箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系A1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；IB C2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A的关系；AIB C DE3. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的外角∠ C B D 、∠ ACB 的外角∠ BCE 的平分线交于点 I ，探求∠ I 与∠ A 的关系 .ABC例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间D的关系E发散探索一： 如图，∠ A B D 、∠ ACD 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系 .IAAIADIIDBCBCBCD发散探索二： 如图，∠ ABD 的平分线与∠ ACD 的邻补角∠ ACE 的平分线所在的直线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系.A IBBDCEIAA IDECBCED发散探索三： 如图，∠ ABD 的邻补角∠ DBE 平分线与∠ ACD 的邻补角∠ DCF 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量 关系 .AAADDBC B C B DC FEFEIIFI例四、如图，在△ ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ ABC ， CP 、CQ 三等分∠ ACB.（ 1）若∠ A=60°，直接写出：∠ BPC 的度数为，∠ BQC 的度数为；（ 2）连接 PQ 并延长交 BC 于点 D ，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC 三个内角的度数 .A例五、如图，B D、CE交于点M，OB平分∠ ABD，OC平分∠ ACE，OD平分∠ ADB，OE平分∠ AEC，求证：∠BOE=∠COD；AE ODM【题型训练】BC1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. AD CB EA2.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.EFBC 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.D第三讲作业1.如图，B 岛在 A 岛的南偏西30°，A 岛在C岛的北偏西35°，B 岛在 C 岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °2.如图，D、E 分别是AB、AC 上一点，BE、CD 相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠ A 等于( ).(A)50 °(B)85 °(C)70 °(D)60 °3.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是( ).(A)75 °(B)60 °(C)65 °(D)55 °ADEFB C4.如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE 平分∠CAF交DF 于E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8 个(B)7 个(C)6 个(D)5 个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35 °(B)45 °(C)55 °(D)65 °6.如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °7.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9.将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M ．若∠ADF=100，°则∠BMD为．1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .12.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，，如此下去，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n ．设∠A=θ．则∠A1= ；A n = ．13.已知：如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则1 11 BOC 90 A21802 2A ；如图 2 ，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点O1 、O2 ，则BO1C 21801A ，BO C11802A ；；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有2n 1 个交点，你以猜想3 3 3 3 BO n 1 C =( ).(A) 2 1180 AA A A n nO n-1(B) 1 2 O2180 A On n O1 O2O1 n 1(C) (C)n180 A1 n 1 C B C B C(D) 1180图1n 1A图2 图3 n n14.在△ ABC中，∠ C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，BE 平分∠ ABC，求∠ DBE度数.B第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，请你判断BE、DF 的位置关系并证明你的结A论.DEFB C例二、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.ADEM B C例三、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的外角，请你判断BE、DF的位置关系并证明你的结论. ADNBCFME例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断B E、DE的位置关系并证明你的结论.DBCEA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC的的外角，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.MDF例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.NEDMCBA例七、如图，△ABC中，P 为BC边上任一点，PD∥AB，PE∥AC.（1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；（2）若EM平分∠BEP，DN平分∠CDP，试判断EM与DN之间的位置关系，写出你的结论并证明.ADEB P CM N例八、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠BDE＝∠BED，∠CDF＝∠CFD.（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；（2）EM平分∠BED，FN平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. AEFB M D N C例九、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠DBE＝∠DEB，∠DCF＝∠DFC. A（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；E（2）EM平分∠ BED，FN平分∠ CFD，若EM∥FN，求∠ A 的度数.F【题型训练】 B M D N C1. 如图1、图 2 是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36 °(B) 42 °(C) 45 °(D) 48 °2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥A B，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °3. 如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= .AE4. 已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF 的形状是.5. 如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为.6．如图：点D、E、F 为△A BC三边上的点，则∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6= ．DA D CEB EC FA Bc 60 ，∠P=110°，则de 的7. 若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若值为，x的值.B M CA D，则∠BAD= ，8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=4°5∠ABC= .第四讲作业1. 如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b 上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3 的度数是( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)120 °2. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60 °(B)75 °(C)90 °(D)105 °3. 如图，已知D、E 在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100 °(B)90 °(C)80 °(D)70 °4. 已知，直线l 1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A) 30°(B) 35°(C) 40°(D) 45°5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A) 50°(B) 60°(C) 70°(D) 80°6. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m，n 上，测得=120°，则的度数是( ).(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°．D 为边CA延长线上的一点，DE‖AB, ∠ADE=42°，则∠ B 的大小为( ).(A) 42 °(B) 45 °(C) 48 °(D)58 °8. 如图，B 处在 A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °9. 如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63 °(B)83 °(C)73 °(D)53 °10. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ A=60°.（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数.12．如图，∠ DAB+∠D=180°，AC平分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95°.(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数.13．如图，B 处在A处的南偏西57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东82°方向，求∠C的度数.A北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知Δ ABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七年级升八年级数学暑期辅导材料.
与三角形有关的线段知识点1：三角形的边三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
（三角形的表示、边、顶点、内角）三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。
三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类（1） 按角分类锐角三角形三角形 直角三角形钝角三角形 （2）按边分类不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形考点1：认识三角形1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________，顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________.2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形.3.如图7.1.1-2所示，以AB 为一边的三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个考点2：三角形三边关系4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶47.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（ ） A.15cm B.18cm C.15cm 或18cm D.不能确定图7.1.1-2 图7.1.1-1腰 腰底边顶角 底角 底角8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ ） A.3，4，5 B.3a ，4a ，5a C.3+a ，4+a ，5+a D.三条线段之比为3∶5∶89.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm ，那么三边分别是________cm.10.已知等腰三角形的周长是25cm ，其中一边长为10cm ，求另两边长__________. 11.的木棒，还需要到某木材市场上购买一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？12. 如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明PA+PB+PC>12(AB+BC+AC).13、如图，从A 经B 到C 是一条柏油马路，AC 是一条小路，人们从A 到C ，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期连接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形相关的线段；2.第二讲：与三角形相关的角；3.第三讲：与三角形相关的角度乞降；4.第四讲：专题一：三角形题型训练 ( 一) ；5.第五讲：专题二：三角形题型训练 ( 二) ；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判断（一） SAS；8.第八讲：全等三角形的判断（二） SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判断（三） HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩大训练；12.第十二讲：角均分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二） ;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形相关的线段【知识重点】一、三角形A 1．看法：①三条线段；②不在同向来线上；③首尾相连.2．几何表示：①极点；②内角、外角；③边；④三角形.B C3．三种重要线段及画法：①中线；②角均分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特别的等腰三角形）三、三角形的三边关系( 教具 )引例：已知平面上有 A、 B、 C 三点 . 依据以下线段的长度判断 A、B、C 存在的地点状况：(1)若 AB=9， AC=4， BC=5，则 A、B、C 存在的地点状况是：(2)若 AB=3， AC=10， BC=7，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：(3)若 AB=5， AC=4， BC=8，则 A、B、C 存在的地点状况是：(4)若 AB=3， AC=9， BC=10，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：(5)若 AB=4， AC=6， BC=12，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段可否构成三角形或确立三角形第三边的长度或范围 .1．已知 BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C三点在同一条直线上，则 a，b，c 知足：；（2）若构成△ ABC，则 a，b，c 知足：；2．已知 BC=a，AC=b，AB=c，且 a＜b＜ c.（ 1 ） A 、 B 、 C三点在同一条直线上，则 a ， b ， c满足：；（ 2）若构成△ ABC，则 a，b， c 知足：；【新知讲解】例一、如图，在△ABC中 .①AD为△ ABC的中线，则线段==12②AE为△ ABC的角均分线，则==12③AF为△ ABC的高线，则==90°；④以 AD为边的三角形有⑤∠ AEC是的一个内角；是个外角 .G 例二、已知，如图，BD⊥AC， AE⊥ CG， AF⊥ AC，AG⊥ AB，A；B F ED C；；的一F则△ ABC的 BC边上的高线是线段().EBA D C(A)BD(B) AE(C) AF(D) AG例三、（1）以以下各组长度的线段为边，能．构成三角形的是 ().(A)7cm， 5cm， 12cm(B)6cm ， 8cm， 15cm(C)4cm， 6cm， 5cm(D)8cm， 4cm， 3cm（2）知足以下条件的三条线段不可以构成三角形的是．．.（ a、b、c均为正数）① a=5，b=9， c=7；中 1+a＞ b；④ a，b，c，此中②a∶ b∶ c=2∶3∶5；a+b＞ c；⑤ a+2，a+6， 5；③ 1， a， b，其⑥a＜b＜ c，此中 a+b＞ c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为 2 ， 5 ， 2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2， 5，24x，则x的取值范围3是.③已知三角形三边长分别为个数为 ().2， x， 13，若x 为正整数，则这样的三角形(A)2(B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为 2 ， 5，则三角形周长l的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、 b，且 a＞ b，那么这个三角形的周长 l 的取值范围是.(A)3b＜ l＜ 3a(B)2a＜ l＜ 2a+2b(C)a+2b＜ l＜ 2a+b(D)a+2b＜ l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5， 11-x ， 3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为是.2 ，， x-1，则的取值范围②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则知足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为 2 ，则三角形底边a的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长范围是.个 .a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值若它的周长小于19，则知足条件的三角形共有⑤若a、 b、 c是△ ABC 的三边长，化简| a b c | +|a b c |的结果为( ).(A)2b(B)0(C)2a(D)2a 2c⑥已知在△ ABC 中， AB=7， BC∶ AC=4∶ 3，则△ ABC 的周长l的取值范围为.【题型训练】1．以以下各组线段为边，能构成三角形的是().(A)2cm，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶ 3；③1∶4∶6；④3∶ 4∶5；⑤3∶3∶ 6. 此中能构成三角形的有().(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组3．三角形的以下线段中能将三角形的面积分红相等两部分的是（）(A) 中线(B)角均分线(C)高线(D)角均分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7， x，则 x 的取值范围是 ().(A)2 ＜ x ＜ 12(B)1＜x＜13(C)6＜x＜7 (D)1 ＜ x＜ 75．已知三角形的两边长分别为 3 和 5，则周长l的取值范围是 ().（ A）6＜l＜15（B）6＜l＜16（C）11＜l＜13（D）10＜l＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则周长是 ().（A）21（B）27（C）32（D）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8．等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9．等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l的范围为.11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12．等腰三角形的周长为 14，一边长为3，则另两边长分别为.13．若 a、 b、 c 分别为△ ABC 的三边长，则｜ a+b-c ｜ - ｜ b-c-a｜ +｜ c-b-a ｜=.14．已知在 ABC中， AB=AC，它的周长为 16 厘米， AC 边上的中线 BD把 ABC 分红周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长 . A15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ ABC中， AB=AC，BD为△ ABC的中线）把它的周长分为 15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长.A D综合研究、三角形两条内、外角均分线的夹角与第三个内角之间的关系DB CB C1．如图，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；2．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的外角∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；3．如图，在△ ABC中，∠ ABC的外角∠ CBD、∠ ACB的外角∠ BCE的均分线A 交于点 I ，研究∠ I 与∠ A 的关系 .B C例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角均分线的夹角与另两个内角之D E间的关系I发散研究一：如图，∠ ABD、∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I与∠A、∠D之A A I A间的数目关系 .DII发散研究二：如图，∠ ABD的均分线与∠ ACD的邻补角∠ ACE的均分线所在的直D B A CB B ACD IA C DIEB发散研究三：如图，∠ ABD的邻补角∠ DBE均分线与∠ ACD的邻补角∠ DCF的平B DC A C B CA E AI E D分线交于点 I ，研究∠ I 与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .DD BC 第二讲与三角形相关的角B C B DE【知识重点】E C FE FI F AI一、三角形按角分类 : ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；I二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；12三、三角形的内角和定理的推论：B C①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠ 2=∠ A+∠ B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、 n 边形的内角和定理： （ n-2 ）× 180°；五、 n 边形的外角和为 360° .【新知讲解 】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5 倍，则它的边数是.③ 若一个正多边形的每一个内角都等于 144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ ABC 中，∠ A=50°，两条高线 BD 、CE 所在直线交于点 H ，求∠ BHC 的度数 . A AE例三、如图，△ ABC 中，∠ A=50°，两条角均分线 BD 、CE 交于点 I ，求∠ BIC 的 度数 .EADBCH例四、如图，四边形EDABCD 中，∠ A=∠ C ，∠ B=∠D ，求证： AB ∥ CD ，AD ∥BC.AI D DBCHC例五、如图， AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，AE ⊥ BC ， AF ⊥CD ，求证：∠ B AD+∠ EAF=180°.BC例六、如图，六边形ABCDEF 中， AF ∥ CD ，∠ A=∠D ，∠ B=∠E ，求证： BC ∥ EF.例七、如图，在凸六边形 ABCDEF 中，∠ A+∠ B+∠ F=∠ C+∠D+∠E ，求证： BC ∥DEF.ECFA B【题型训练】1．如图，△ ABC 中， BD、 CE 为两条角均分线，若∠BDC=90°，∠ BEC=105°，求∠ A.2．如图，△ ABC中， BD、CE为两条角均分线，若∠BDC=∠ AEC，求∠ A 的度数 .3．如图，在△ ABC中， BD为内角均分线， CE为外角均分线，若∠BDC=125°，E ∠E=40°，求∠ BAC的度数 .AD4．如图，在△ ABC中， BD为内角均分线， CE为外角均分线，若∠BDC与∠ E 互补，求∠ BAC的度数 .B EC MAD第二讲作业B C M1．假如一个三角形三个内角的度数之比为2∶ 3∶ 7，这个三角形必定是 ().(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.以下图，∠ A、∠ 1、∠2 的大小关系是 ().(A) ∠A＞∠ 1＞∠ 2(B) ∠2＞∠ 1＞∠A(C) ∠A＞∠ 2＞∠ 1(D) ∠2＞∠ A＞∠13．下边四个图形中，能判断∠1＞∠ 2 的是 ().(A)(B)(C)(D)4．将一副三角板按以下图摆放，图中∠α的度数是().A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=().(A) 30°(B) 45°(C)60°(D) 75°6．以下图，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，获得一个四边形，则∠1+∠ 2 的度数为 ( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ ABC中，∠ C＝ 70o，沿图中虚线截去∠C，则∠ 1＋∠ 2=( ).(A)360 o(B)250o(C)180o(D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、 E 分别是边 AB、 AC上，将△ ABC沿着DE折叠， A 与 A′重合，若∠ A=75°，则∠ 1+∠2= ().(A) 150°(B)210°(C)105°(D)75°9．如图，在△ ABC 中，∠ B=67°，∠ C=33°， AD是△ ABC的角均分线，则∠ CAD 的度数为（）(A)40°(B)45°(C)50°(D)55°10．已知 ABC的三个内角∠ A、∠ B、∠ C知足关系式∠B +∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 必定有一个内角为45(B)必定有一个内角为60(C) 必定是直角三角形(D)必定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式搁置，则图中∠AOB的度数为 ().O B A(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是 ().(A) 正十六形(B)正十七形(C)正十八边形(D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大 180°，这个多边形的边数为 ( ).(A)7(B)8(C)9(D)1014.已知：在△ ABC中，∠B 是∠A的2倍，∠C 比∠A大20°，则∠A 等于().(A)40 °(B)60°(C)80°(D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16．如图，在△ ABC中， D、 E 分别是边 AB、 AC上的两点， BE、 CD订交于点 F，A ∠ A=62°，∠ ACD=40°，∠ ABE=20°，求∠ BFC的度数 .D E17．如图，已知直线DE分别交△ ABC的边 AB、AC于 D、E 两点，交F边 BC的延伸B C线于点 F，若∠B=67°，∠ ACB=74°，∠ AED=48°，求∠ BDF 的度数．第三讲：与三角形相关的角度乞降【知识重点】1．与三角形相关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度乞降.【新知讲解】例一、如图，直接写出∠ D 与∠ A、∠ B、∠ C之间的数目关系 .箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不一样的方法）：例二、三角形两条内、外角均分线的夹角与第三个内角之间的关系A 1．如图，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线交于点 I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；I 2．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的外角∠ ACD的均分线交于点A I ，研究∠ IB CI与∠ A 的关系；3．如图，在△ ABC中，∠ ABC的外角∠ CBD、∠ ACB的外角B∠ BCE的平C分线交D于A点 I ，研究∠ I 与∠ A的关系 .B C例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角均分线的夹角与D另两个内角之EI间的关系发散研究一：如图，∠ ABD、∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠A、∠D之A A I A间的数目关系 .DII发散研究二：如图，∠ ABD的均分线与∠ ACD的邻补角∠ ACE的均分线所在的直D B A CB B ACD I线交于点 I ，研究∠ IC与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .A I DEB发散研究三：如图，∠ ABD的邻补角∠ DBE均分线与∠ ACD的邻补角∠ DCF的平B DC B CC E A AA I E分线交于点 I ，研究∠ I D与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .DD B例四、如图，在△ ABC中， BP、 BQ三均分∠ ABC， CP、 CQ三均分∠ ACB.CB BPC 的度数为DB（1）若∠A=60°，直接写出：∠E，∠ BQC的度数CC F为；EE FI FI I（2）连结 PQ并延伸交 BC于点 D，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC三个内角的度数 .A例五、如图， BD、 CE交于点 M， OB均分∠ ABD，OC均分∠ ACE， OD均分∠ADB，OE均分∠ AEC，PQB D C求证：∠ BOE=∠ COD；A【题型训练】A O1．如图，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E 的度数和 .E 2．如图，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F 的度数和 .D MB3．如图，已知∠ 1=60°，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠ F 的度数和 .发散研究：①如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠E= B ；E②如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F+∠ G=；③如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F=.④如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F=.⑤如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F+∠ G=；⑥如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F+∠ G=；⑦如图， BC⊥EF，求∠ A+∠ B+∠ C+∠D+∠ E+∠ F 的度数 .第三讲作业DC C1．如图， B 岛在 A 岛的南偏西30°， A 岛在 C 岛的北偏西35°， B 岛在 C 岛的北偏西 78°，则从 B 岛看 A、 C两岛的视角∠ ABC的度数为 ().(A)65 °(B)72°(C)75°(D)78°2．如图， D、 E 分别是AB、AC上一点， BE、 CD订交于点F，∠ ACD=30°，∠ABE=20°，∠ BDC+∠ BEC=170°则∠ A 等于 ().(A)50 °(B)85°(C)70°(D)60°3．一副三角板，以下图叠放在一同，则图中∠的度数是().(A)75 °(B)60 °(C)65 °A(D)55 °DE4．如图，在△ ABC中，∠ BAC=36°，∠FC=72°， BD均分∠ ABC交 AC于点 D，AFB C∥BC，交 BD的延伸线于点 F，AE均分∠ CAF交 DF于 E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是 36°，其余两个角均为 72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有 ().(A)8 个(B)7个(C)6个(D)5个5．如图，∠ A=35°，∠ B=∠ C=90°，则∠ D的度数是 ().(A)35 °(B)45°(C)55°(D)65°6．如图，已知∠ A+∠ BCD=140°，BO均分∠ ABC，DO均分∠ ADC，则∠ BOD=().(A)40 °(B)60°(C)70°(D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，获得了一个四边形，则∠1+∠2=．8.如图，在△ ABC中，∠ A=80°，点 D 为边 BC延伸线上的一点，∠ ACD=150°，则∠B=.9．将一副直角三角板如上图搁置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10．一副三角板叠在一同如图搁置，最小锐角的极点 D 恰巧放在等腰直角三角板的斜 AB 上，BC 与 DE 交于点 M ．若∠ ADF=100°， ∠ BMD．11．如 ，在△ ABC 中，∠ B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ ACF 的均分 交于点 E ， ∠ AEC=______.12．如 ，∠ ACD 是△ ABC 的外角，∠ ABC 的均分 与∠ ACD 的均分 交于点A 1，∠A 1BC 的均分 与∠A CD 的均分 交于点 A ，⋯，这样下去， ∠A BC 的均分 与∠An ﹣ 1CD 的均分 交于点 A n ．12n ﹣1∠A=θ． ∠A =； A n =．113．已知：如1 ，在△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的角均分 交于点O ，BOC901 A21 1 A ；如 2，在△中，∠、∠的两条三均分角 分1802ABCABCACB2交于点、 ，2 1，1 2；⋯⋯；O 1 BO 1 C180A BO 2 C180AO 23 333根 据以 上理解 ，当 n 等 分角，内 部有 n1 个交 点 ，你 以猜 想BO n 1 C =().AAAO 2On-121O(A)180AO 1O 2n nO 1(B)12BC BCBC180A 图1图2图3n n(C)n1 An 180n11(D)1180n 1 Ann14．在△ ABC 中，∠ C=∠ABC=2∠ A ， BD 是 AC 上的高， BE 均分∠ ABC ，求∠ DBE 度数 .第 四 讲专题一：三角形题型训练（一）【知识重点 】平行 、三角形内角和的 合运用【新知讲解】例一、如图，在四边形 ABCD中，∠A=∠ C=90°，BE、DF分别均分∠ ABC、∠ ADC，D 请你判断 BE、 DF的地点关系并证明你的结论.EF例二、如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC 的外角均分线与∠ADCAB C的均分线交于点E，请你判断 BE、 DE的地点关系并证明你的结论D.例三、如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠ C=90°， BE、DF E分别均分∠ ABC、∠ADCAD 的外角，请你判断BE、 DF的地点关系并证明你的M结论B .CN例四、如图，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC的均分线与∠ ADC的均分线交于点E，请你BCD F判断 BE、 DE的地点关系并证明你的结论.ME例五、如图，∠ A=∠C=90°， BE均分∠ ABC，DF均分∠ ADC的的外角，请M你判断BC BE、 DE的地点关系并证明你的结论.DEFA例六、如图，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC的外角均分线与B∠ADC的外角均分线交于点CNE EE，请你判断BE、 DE的地点关系并证明你的结论.AD例七、如图，△ ABC中， P 为 BC边上任一点， PD∥ AB， PE∥AC.MC （1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；BA（2）若 EM均分∠ BEP， DN均分∠ CDP，试判断 EM与 DN之间的地点关系，A写出你的结论并证明.DE例八、如图，△ ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠ BDE＝∠ BED，∠ CDF＝∠ CFD.B P CNM（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；A （2） EM均分∠ BED，FN均分∠ CFD，若 EM∥FN，求∠ A 的度数 .EFA例九、如图，△ ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠ DBE＝∠ DEB，∠ DCF＝∠ DFC.B M D N E C（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；F （2） EM均分∠ BED，FN均分∠ CFD，若 EM∥FN，求∠ A 的度数 .B MD N C【题型训练】1．如图 1、图 2 是由 10 把相同的折扇构成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完整翻开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36°(B) 42°(C) 45°(D)48°2．如图，在△ ABC中，∠ B=∠C，D 是 BC上一点， DE⊥BC交 AC于点 E，DF⊥ AB，垂足为 F，若∠ AED=160°，则∠ EDF等于 ().(A)50 °(B)60°(C)70°(D)80°3．如图，△ ABC中，∠B=∠C，∠ BAD=32°，∠ ADE=∠ AED，则∠ CDE=.4．已知△ ABC中，∠ ACB—∠ B=90°，∠ BAC 的均分线交BC于 E，∠ BAC的外角的均分线交BC的延伸线于 F，则△ AEF 的形状是.5．如图， AB∥ CD，∠ A=∠ C， AE⊥ DE，∠ D=130°，则∠ B 的度数为.6．如图：点D、 E、 F 为△ ABC三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 =．7．若一束光芒经过三块平面镜反射，反射的路线以下图，图中的字母表示相应的度数，若 c 60，∠ P=110°，则 d e 的值为，x的值.8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ BAD的均分线交边BC于点 M，连结 MD，且MD恰巧均分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD=，∠ABC=.第四讲作业1. 如图，已知△ ABC的三个极点分别在直线a、b 上，且 a∥ b，若∠ 1=120°，∠ 2=80°，则∠ 3 的度数是 ().(A)40 °(B)60°(C)80°(D)120 °2．如图， BD∥ EF，AE与 BD交于点 C，若∠ ABC=30°，∠ BAC=75°，则∠ CEF的大小为 ().(A)60°(B)75°(C)90 °(D)105 °3．如图，已知 D、E 在△ ABC的边上， DE∥BC，∠B=60°，∠ AED=40°，则∠ A 的度数为 ().(A)100 °(B)90°(C)80 °(D)70 °4．已知，直线 l 1∥l2，将一块含 30°角的直角三角板以下图搁置，∠1=25°，则∠2等于 ( ).(A) 30°(B)35°(C)40°(D)45°5．如图，将三角尺的直角极点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为 ().(A) 50°(B)60°(C)70°(D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在以下图的两条平行线m， n 上，测得=120°，则的度数是().(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7.如图，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°． D 为边 CA 延伸线上的一点， DE‖ AB,∠ADE=42°，则∠ B 的大小为 ( ).(A) 42 °(B) 45°(C) 48°(D)58°8．如图， B 处在 A 处的南偏西45°方向， C处在 A 处的南偏东15°方向， C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ ACB 等于（）(A)65 °(B)72°(C)75°(D)78°9．如图，已知AC∥ ED，∠ C=26°，∠ CBE=37°，则∠ BED的度数是 ().(A)63 °(B)83°(C)73°(D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角极点放在直线 b 上．若∠ 1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥ BC，CD是∠ ACB的均分线，∠ B=70°，∠ A=60° .（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数 .12．如图，∠ DAB+∠ D=180°， AC均分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95° .(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数 .13．如图， B 处在 A 处的南偏西 57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向， CA 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数 . 北第五讲专题一：三角形题型训练（二）南C知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边B三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ABC的周长为 10，且三边长为整数，求三边的长。
2024年浙教版八上数学初一升初二预习——1.1认识三角形
形的周长为（ D ）
如果把“4”改
A．14
B．16
成“2”，其他 C．1条0件不变D，．那14或16
么等腰三角形
知识点：等腰三角形的概念. 的周长为__1_4__.
三角形两边的和大于第三边.
思想方法：分类讨论思想.
拓展提升 6.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|
+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|. 解：∵a、b、c为三角形三边的长，
条较短线段的和是否大于第三条线段即可
例 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的
木棒与它们能组成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒 呢？
解：∵5+2<8， ∴长度为2 cm的木棒与它们不能组成三角形. ∵5+8=13 ， ∴长度为13 cm的木棒与它们也不能组成三角形.
初中数学
接所组成的图形叫做三角形.
A顶点
如图，顶点A所对的边BC用 a表示
c
∠B所对的边是__A__C___
AB边 所对的角是__∠__C___
B 顶点
a
b
C 顶点
初中数学
初中数学
三角形的有关概念
顶点: 点A 点B 点C
三边: BC
AC
AB
a
b
c
内角: ∠A ∠ B ∠ C
A
c
b
B
a
C
初中数学
三角形的有关概念
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边长是多少？ （2）能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 分析：
等腰三角形的周长=18 cm，即2倍的腰长+底边长=18 cm. (1)腰长是底边长的2倍，可设底边长为x cm，列方程可求解. (2)可能腰长为4 cm, 也可能底边长为4 cm，需分类讨论.
第1章三角形的初步认识 讲义-浙教版八年级数学上册
三角形的初步认识责编：审核：辅导科目数学学生姓名授课老师上课课次授课日期班型1.理解三角形相关概念及其分类.2.理解三角形的边，角，三线的相关概念及定理.3.掌握尺规作图并能按要求作出图形及辅助线.4.掌握全等三角形的概念，性质与判定.5.理解定义，命题，证明相关概念，能判断命题真假，掌握几何证明正确的书写格式.一、三角形及其相关概念1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.相关概念（1）边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边.（2）顶点：在三角形中，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.（3）角：在三角形中，相邻两边所组成的在三角形内部的角叫做三角形的内角.（4）外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，就叫做三角形的外角.教学目标知识梳理3.表示方法：顶点是A 、B 、C 的三角形，记作△ABC ，读作“三角形ABC ”.4.分类：三角形可以按内角的大小进行分类5.三角形的角（1）三角形的内角和等于180°.（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.6.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．（3）证明线段之间的不等关系．7.三角形中的重要线段（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段.（2）中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.【注】（1）三角形的三条中线交于三角形的内部.（2）三角形的三条角平分线交于三角形的内部.（3）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形其中两条高恰好是直角边；钝角三角形其中两条高在三角形外部.1.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ D ）.A.75°B.105°C.135°D.165°2.已知，如图，D、B、C、E四点共线，∠ABD+∠ACE=230°，则∠A的度数为__30°___.3.已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的范围是__1＜x＜7______.4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ）.A.2cm，3cm，6cmB.3cm，4cm，7cmC.5cm，6cm，8cmD.7cm，8cm，16cm5.若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ D ）.A.AM＞ANB.AM＞AN或AM=ANC.AM＜AND.AM＜AN或AM=AN6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（ D ）A．1个 B．2个 C．3个D．4个二、定义、命题与证明1.定义：一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．【注】（1）命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.（2）命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.4.定理：用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.【注】满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.5.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.【注】在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.7.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题. 8.下列命题中，真命题的个数有（ A ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、全等三角形的概念和性质1.全等图形：能够重合的两个图形叫做全等图形.【注】（1）全等形⇔形状相同、大小都相等；（2）平移、旋转、轴对称前后的图形是全等形.2.全等三角形：能够重合的两个三角形叫做全等三角形.3.对应点、对应边、对应角两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，“≌”读作“全等于”.其中点A 和点D ，点B 和a b ＜＜-b a -2230x x --=点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C 和∠F是对应角.4.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（2）全等三角形对应边上的高、中线以对应角的角平分线相等.（3）全等三角形的周长相等，面积相等.9.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__（1）（4）（5）（6）________.10.如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（ B ）A．∠ACB B. ∠BAF C. ∠CAF D. ∠AFE11.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ C ）A.3个B.2个C.1个D.0个12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是___80°___.四、全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则ABC △≌△.2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.如图，如果AB ＝，A ∠＝∠，AC ＝，则ABC △≌△.【注】（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角. （2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.如图，如果A ∠＝∠'A ，AB ＝''A B ，B ∠＝∠'B ，则ABC △≌△'''A B C .''A B ''A C ''B C '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）. 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.5.三角形全等的证明思路（1）⎩⎨⎧→→SSSSAS 找第三边找夹角已知两边（2）⎩⎨⎧→→AAS ASA找除夹边外的任一边找夹边已知两角（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→⎪⎩⎪⎨⎧→→→AAS ASA SAS AAS 找任一角边为角的对边找边上另一角找角的另一边找边的对角边为角的一边已知一边一角13.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论∶①BE=CF;②∠1=∠2;③△ACN ≌△ABM; ④CD=AE.其中正确的结论有（ C ）.A.1个B.2个C.3个D.4个14.在△ABC 中，已知∠A=60°，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CE 相交于点0，∠BOC的平分线交BC 于F ，则下列说法中正确的是___①③④_______.①∠BOE=60° ②∠ABD=∠ACE③OE=OD ④BC=BE+CD.15.如图所示，AC=DB ，∠B=∠C ，求证：AB=CD.【解析】延长AB 、DC 相交于点M ，∵∠B= ∠C,∴∠DBM= ∠ACM .在△DBM 和△ACM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC DB ACMDBM M M ∴△DBM≌△ACM(AAS).∵DM= AM,MB=MC.∴AM-BM=DM-CM,∴AB=CD.五、角平分线和中垂线的性质定理1.角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.（2）性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图，点P 是∠ADB 内CD 上的一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则CD 平分∠ADB.2.中垂线（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．（2）性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.16.在直角△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为___4____.17.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有__4______个.①DA平分∠EDF; ②△EBD≌△FCD; ③△AED≌△AFD; ④AD垂直于BC.18.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ D ）.A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°19.如图所示，在△ABC 中，∠BAC=130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线NF 交 BC 于点N ，交AC 于点F ，则∠MAN 为（ A ）.A.80°B. 70°C.60°D.50°六、尺规作图1.角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC ，射线OC 即为所求.2.线段的垂直平分线的尺规作图（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．21。
浙教版八年级数学上册第一章复习 三角形的初步认识 课件 (共23张PPT)
一、三角形的边、角及主要线段
１、三角形的三边之间的关系： 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ２、三角形的三个内角之间的关系： 三角形的内角和为１８００ ３、三角形的外角之间的关系： １)、三角形的外角和为３６００ ２)、三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和 ３)、三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。 ４、三角形的主要线段有哪些？ 角平分线、中线、高线
8、如图，∠1=∠2，AB=CD，AC与BD相交 于点O，则图中必定全等的三角形有（ C ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 6对
9.有一次柯南看见这样一个图，要计算：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= A
B C
360
度
H D
G F M
E
10、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此 三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 6或８ .
２、如图，已知△ABC中，∠B=45°， ∠C=75°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的 平分线，∠DAE=（ A ）度。
A、15
B、30
C、45
D、25
A
B
E D
C
3、图中三角形的个数是（ A） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
当增加n条线的时候，有多少个三角形？
(n 1)( n 2) 2
１1、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC， 请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。
12、要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取 OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么∠AOB 的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先 说明△EOD≌ △ ＯＦＣ . 理是 ＳＡＳ ，得 到 ∠OED=∠ ，再说明 ＯＦＣ △PEC≌△ ＰＦＤ ，理由是 ＡＡＳ ， 得到PE= ＰＦ ；最后说明 △EOP≌△ ＦＯＰ ，理由 是 ＳＡＳ ，从而说明了 ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；CB A15.第十五讲：等腰直角三角形； 16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ). AE DE A BC FG(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长的取值范围是 .(A)3b＜＜3a (B)2a＜＜2a+2b (C)a+2b＜＜2a+b (D)a+2b＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a(D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组DABC DA B C3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7(D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为.10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系I I I C B D AC B DA A DBC I I I C BD ACB DA EA E DB EC I I I C BD ACB AEA EDB F D EF F C 12CB A 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余； ABC D EIDA BE F C D A CB H D A BC E HED C BA ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.A B C D E I【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°M EDC B AMED C B AAB O 5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240°(D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒ (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).C BD AF E(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：I II C B D AC B DA A DBC I I I C BAC BD AE A E D BE C I I A C B A E DE F D QP CB A 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平与∠A 、∠D 之间的数量关系. BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP °，直接写出：∠BPC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，AB C IA B C D IA B CD EIBAMECDOD BC EA求证：∠BOE=∠COD；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°C BD AF E3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角O 2O 1A B C图1C B A图2图3OO 1O 2O n-1板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC. （1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.FE D CB A M E D CB A FNM E D CB AE D C BA FM ED CB A N ME DCBA N M P E D CBA（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D)48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相N M FE D CB AN M F E D CB A应的度数，若60+的值为，x的c=︒，∠P=110°，则d e值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90°(C)80°(D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45°(B)55°(C)65°(D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲 专题一：三角形题型训练（二） 知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
浙教版初二数学假日辅导《三角形的初步知识》
浙教版初二数学假日辅导三角形的初步知识三角形的中线、角平分线、高线、分类及有关计算(几何画板分析各种图形) 例1．已知△ABC 中,(1)∠A =20°,∠B －∠C =40°,则∠B =____°； (2)∠A =120°,2∠B +∠C =80°,则∠B =___°； (3)∠B =∠A +40°,∠C =∠B -50°,则∠B =_____°； (4)∠A :∠B :∠C =1:3:5,则∠B =_____°.例2．如图,△ABC ,∠A =40°,则(1)∠1+∠2+∠B +∠C =______°； (2)∠3+∠4=_______°．例3．如图1,已知△ABC 中,∠A =40°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ,求∠O 的大小. 已知△ABC 中：①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902P A ∠=+∠； ②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACE 的角平分线的交点,你能说明∠P =12∠A ；③如图3，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠．B例2图例4.(1) 如图1，五角形的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E .求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数之和；(2) 如图2 ,求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数之和； (3)如图3、4中，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数之和．例5． 探究规律：如图，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：______________________________；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有： 与△ABC 的面积相等； 理由是： ．例6. 已知：△ABC 的周长为48cm ，最大边与最小边之差为14cm ，另一边与最小边之和为25cm ，求：△ABC 的各边的长．例7. 如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，DE ∥AC 交AB 于点E ,若∠EDA =∠EAD ,试说明，AD 是△ABC 的角平分线.例8. 如图,在△ABC 中，∠ACB =900,CD 是AB 边上的高，AB =5cm,BC =4cm,AC =3cm, 求(1) △ABC 的面积；(2)CD 的长.作业：1.三角形的一条高线是一条……………………………（ ）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线 2.下列各组线段中能组成三角形的是…………………（ ）A .a =6,b =8,c =15B .a =7,b =6,c =13 C.a =4,b =5,c =6 D.a =12,b =14,c =183.下列说法中，正确的是………………………………（ ）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高线总在三角形的内部C.三角形的高线、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部 4.下列图形具有稳定性的是………………………………（ ）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形5．用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是___________．A E BC例7图A例8图第9题图6. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形一定是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7. 现有两根木棒，它们的长分别为40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（ ）． A ．10cm 的木棒B ．50cm 的木棒C ．100cm 的木棒D ．110cm 的木棒8. 如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，分别交BC ，AB ，BC 于点C ，D ，E ，则下列说法中不正确的是（ ）．A ．AC 是△ABC 和△ABE 的高线B ．DE ，DC 都是 △BCD 的高线 C ．DE 是△DBE 和△ABE 的高线 D ．AD ，CD 都是 △ACD 的高线9. 三角形纸片ABC 中，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内， (1)若∠A ＝65°，∠B ＝75°，∠1＝20°，则∠2的大小为______°． (2)∠1,∠2,∠C 有何关系?10. 已知，在ABC △中，O 是高AD 和BE 的交点，观察图形， 试猜想C ∠和DOE ∠之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．第8题图第10题图11．已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长．12. 如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>∠B)．试说明：∠EAD=12(∠C-∠B).第12题图D CBA。
七升八数学暑假衔接讲义
七升⼋数学暑假衔接讲义三⾓形第⼀讲与三⾓形有关的线段1.定义：不在⼀条直线上的三条线段⾸尾顺次相接组成的图形叫做三⾓形。
注意：三条线段必须①不在⼀条直线上，②⾸尾顺次相接。
组成三⾓形的线段叫做三⾓形的边，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的内⾓，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的顶点。
三⾓形ABC⽤符号表⽰为△ABC.三⾓形ABC的顶点C所对的边AB可⽤c 表⽰,顶点B所对的边AC可⽤b表⽰,顶点A所对的边BC 可⽤a表⽰.2.三⾓形三边的不等关系三⾓形的任意两边之和⼤于第三边. 三⾓形的任意两边之差⼩于第三边。
3.三⾓形的⾼：从三⾓形的向它的作垂线，顶点和垂⾜之间的线段叫做三⾓形的⾼,（注意⼋字形）注意：⾼与垂线不同，⾼是线段，垂线是直线。
三⾓形的三条⾼相交于⼀点。
．．．．．．．．．．．．．4.三⾓形的中线：三⾓的三条中线相交于⼀点。
（三⾓形中线分三⾓形⾯积相等的两个三⾓形）5.三⾓形的⾓平分线：在三⾓形中，⼀个内⾓的⾓平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三⾓形的⾓平分线.三⾓形三个⾓的平分线相交于⼀点．．．．．．．．．．．．．．．三⾓形的三条中线的交点、三条⾓平分线的交点在三⾓形的内部，⽽锐三⾓形的三条⾼的交点在三⾓．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形的内部，直⾓三⾓形三条⾼的交战在⾓直⾓顶点，钝⾓三⾓形的三条⾼的交点在三⾓形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三⾓形的稳定性:例1.⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最⼤边与最⼩边之差为14cm，另⼀边与最⼩边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
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第一讲 认识三角形-2021年新八年级数学(浙教版)(解析版)
第一讲 认识三角形1.1认识三角形【学习目标】1. 了解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并能够证明三角形内角和定理；3. 学会三角形的分类；4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题．【基础知识】一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.要点：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．（3）证明线段之间的不等关系．五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．【考点剖析】考点一：三角形的三边关系例1．下列每组数表示3根小木棒的长度，3根小木棒能摆成三角形的一组是()A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，3cm，5cm D．2cm，3cm，6cm【答案】B【解析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】+=，不能构成三角形；A、123+>，能构成三角形；B、234+=，不能构成三角形；C、235+<，不能构成三角形．D、236故选：B．【点睛】考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．考点二：三角形中的重要线段例2．三角形的中线和角平分线都是()A．直线B．射线C．线段D．以上都有可能【答案】C【解析】利用三角形中线和角平分线定义可得答案．【详解】解：三角形的中线和角平分线都是线段，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的中线和角平分线，关键是掌握三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．例3．画ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是()．A．B．C．D．【解析】结合题意，根据三角形高的性质分析，即可得到答案．【详解】选项A不是ABC的高，故不符合题意；选项B不是ABC的高，故不符合题意；选项C不是ABC的高，故不符合题意；选项D为ABC中BC边上的高，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解．例4．三角形三条高的交点一定在()A．三角形内部B．三角形外部C．三角形内部或外部D．以上说法都不完整【答案】D【解析】分别指出锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形的三条高线交点的位置即可求解．【详解】解：锐角三角形三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形三角形三条高的交点在三角形直角顶点，钝角三角形三角形三条高所在直线的交点在三角形外部，综上所述，A、B、C说法都不完整．故选：D．【点睛】本题考查三角形的高的交点，掌握三角形中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形高的画法与交点的位置是解题关键．考点三：三角形中的内角和例5．ABC中，它的三条角平分线的交点为O，若∠B＝80°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．130°C．110°D．150°【解析】先根据角平分线的定义可得12OAC BAC ∠=∠，12OCA BCA ∠=∠，再根据三角形的内角和定理可得1180()2AOC BAC BCA ∠=︒-∠+∠，然后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案．【详解】如图，∵AO ，CO 分别是BAC ∠，BCA ∠的角平分线 ∴12OAC BAC ∠=∠，12OCA BCA ∠=∠ ∴1118022BAC BCA =︒-∠-∠1180()2BAC BCA =︒-∠+∠又∵ ∴∴11801001302AOC ∠=︒-⨯︒=︒ 故选：B ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 考点四：三角形中的分类例6．在下列条件：①A B C ∠+∠=∠；②；③12A B C ∠=∠=∠；④中，能确定ABC 为直角三角形的条件有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．0个【答案】B 【解析】依据三角形内角和等于180°，即可得到∠C 或∠A+∠B 的度数，进而得出结论． 【详解】 ，，则ABC 为直角三角形，①能确定；，36C ∴∠=︒，，ABC ∴不是直角三角形，②不能确定； 11802A B C A B C ∠=∠=∠∠+∠+∠=︒，， 418045A A ∴∠=︒∠=︒，， ，则ABC 为直角三角形，③能确定； ，则令，23180x x x ∴++=︒，30x =︒，，则ABC 为直角三角形，④能确定， 故能确定ABC 为直角三角形的共有3个， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定以及三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．例7．如图中包含的直角三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C 【解析】利用直角三角形定义结合图形可得答案． 【详解】解：图中三角形有：CDB ∆，BDE ∆，DEA ∆，ABD ∆，ACB ∆共5个， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握直角三角形的定义．例8．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（ ）A ．BF ＝CFB ．∠C ＋∠CAD ＝90° C ．∠BAF ＝∠CAFD ．ABCABF S2S【答案】C 【解析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 【详解】解：∵AF 是△ABC 的中线，∴BF=CF ，A 说法正确，不符合题意； ∵AD 是高， ∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B 说法正确，不符合题意； ∵AE 是角平分线，∴∠BAE=∠CAE ，C 说法错误，符合题意； ∵BF=CF ，∴S △ABC =2S △ABF ，D 说法正确，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．不是利用三角形稳定性的是（ ） A ．自行车的三角形车架 B ．三角形房架 C ．照相机的三脚架 D ．学校的栅栏门【答案】D 【解析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答． 【详解】因为三角形具有稳定性，而学校的栅栏门是可以伸缩的，是利用了四边形的不稳定性，故选D ． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 2．在△ABC 中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A 的度数为（ ） A ．60° B ．50°C ．40°D ．30°【答案】A 【解析】解：∠A =180°－∠B －∠C =180°－40°－80°=60°．故选A ．3．在直角三角形ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：m ：4，则m 的值是（ ） A ．3 B ．4C ．2或6D ．2或4【答案】C 【解析】根据题意，分两类讨论，当∠B=90°与∠C ＝90°时，再由三角形内角和180°列方程，解方程即可． 【详解】若∠B=90°，则，∠A+∠C ＝180°-90°＝90°， ，24903090=6066A C ∴∠=⨯︒=︒∠=⨯︒︒，，∠A ：∠B ：∠C ＝30°：90°：60°=2：6：4， 6m ∴=；若∠C ＝90°，则90422.5︒÷=︒， ， ，2m ∴=，综上所述，2m =或6m =； 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和180°、分类讨论思想等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．如果一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或直角三角形【答案】B【详解】设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°，根据三角形内角和定理，可知k°+2k°+3k°=180°，得k°=30°，那么三角形三个内角的度数分别是30°，60°和90°故选B5．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（）A．5 B．6 C．8 D．4【答案】A【解析】根据三角形中线定义可得．【详解】因为CD是△ABC的中线，AB＝10，所以AD＝15 2AB故选：A【点睛】考核知识点：三角形中线．理解三角形中线定义是关键．6．下列对于三角形的高、中线、角平分线的说法中正确的是（）A．都是线段B．都是直线C．都是射线D．以上都不对【答案】A【解析】根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．【详解】根据三角形的高、中线、角平分线的定义，可知三角形的高、中线、角平分线是线段而不是射线、直线．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形角平分线，中线的定义，三角形的角平分线要与角的平分线区别开来．7．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，则∠AEB的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解析】根据两直线平行，可得∠BAD=∠ABE=20°，因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC=20°，所以得到∠ABC=40°，从而求出∠EAB=50°，根据三角形内角和即可得到∠AEB的度数．【详解】解：∵BE∥AD∴∠BAD=∠ABE=20°∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC=20°∴∠ABC=40°∵∠C=90°∴∠EAB=50°∴∠AEB=180°-∠EAB-∠ABE=180°-50°-20°=110°故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线和三角形内角和，能够找出内错角以及熟悉三角形内角和为180°是解决本题的关键．8．如图，在Rt△ABF中，∠F=90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CE B．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CE D．△ACD中，CD边上的高是AC【答案】C【解析】根据三角形某边上的高的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高），依次检验四个选项，即可得到答案．解：根据三角形某边上的高的定义验证： A. △ABC 中，AB 边上的高是CE ，故A 正确； B. △ABC 中，BC 边上的高是AF ，故B 正确； C. △ACD 中，AC 边上的高是CD ，故C 错误； D. △ACD 中，CD 边上的高是AC ，故D 正确； 故选C ． 【点睛】本题考查了三角形某边上的高的定义；从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，掌握此定义是解题的关键． 9．已知ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且那么( ) A ．0M > B ．0M ≥C ．0M =D ．0M <【答案】D 【解析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】∵ABC ∆的三边长分别为a b c 、、∴a b c ++＞0，a b c +-＞0，a b c --＜0 ∴＜0 故选D. 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 10．如图所示，在ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为线段BD 中点，F 为线段CE 中点，若ABD △的面积为4，则BFC △的面积为( ) A ．2 B ．1C ．1.5D ．0.5【答案】B 【解析】 【解析】根据三角形中线的性质即可得出答案.∵D为AC的中点∴142ABD BDC ABCS S S===又E为BD的中点∴122BEC EDC BDCS S S===又∵F是CE的中点∴112BFC BEF BECS S S===故答案选择B.【点睛】本题考查的是三角形中线的性质：三角形的中线将三角形平分成面积相等的两个部分.11．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解析】BC边的取值范围可在△ABC中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．【详解】如图所示，在△ABC中，则AB-AC＜BC＜AB+AC，即12-8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，又∠ADC=∠BDE，AD=DE∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE=AC，在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，即AB-AC ＜AE ＜AB+AC ， 12-8＜AE ＜12+8，即4＜AE ＜20， ∴2＜AD ＜10． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够理解掌握并熟练运用．12．如图，，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ） A ．60βα-=︒ B ．210βα+=︒ C ．230βα-=︒ D ．2240βα+=︒【答案】B 【解析】如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN 最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN ，KD ∠OQN=180°-30°-∠ONQ ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP ，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ ，由此即可解决问题． 【详解】如图，作M 关于的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ．∵18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ，30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP 30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ， ∴303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ． 故选：B. 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题13．在ABC ∆中，若A B C ∠+∠=∠，则此三角形为__；若A B C ∠+∠<∠，则此三角形为___；若A B C ∠+∠>∠，则此三角形为___．（填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”，可多选）【答案】直角三角形 钝角三角形 角三角形或直角三角形或钝角三角形 【解析】利用两角和等于第三角结合三角形内角和，可求最大角90°，利用三角形按角分类定义可确定三角形形状，利用两角之和小于第三角结合三角形内角和可得最大角大于90°，利用三角形按角分类定义可确定三角形形状，两角之和大于第三角只能确定∠C<90°，至于∠A 与∠B 大小不确定，当∠A 90<︒,∠B90<︒时，锐角三角形，当∠A =90︒或∠B =90︒时，是直角三角形当∠A 90>︒或∠B 90>︒时，是钝角三角形即可 【详解】 解：180A B C ∠+∠+∠=︒，当A B C ∠+∠=∠时， ∴2∠C =180° ∴90C ∠=︒，∴ABC ∆为直角三角形； 当A B C ∠+∠<∠时，180C C ∴︒-∠<∠ 1802C ∴︒<∠∴90C ∠>︒，∴ABC ∆为钝角三角形； 当A B C ∠+∠>∠时，180C C ∴︒-∠>∠ 1802C ∴︒>∠∴90C ∠<︒， ∴当∠A 90<︒,∠B 90<︒时，ABC ∆是锐角三角形， 当∠A =90︒或∠B =90︒时，ABC ∆是直角三角形当∠A 90>︒或∠B 90>︒时，ABC ∆是钝角三角形 则ABC ∆可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形；故答案为：直角三角形；钝角三角形；锐角三角形或直角三角形或钝角三角形． 【点睛】本题考查三角形内角和，钝角三角形，直角三角形，锐角三角形定义，掌握三角形内角和，钝角三角形，直角三角形，锐角三角形定义是解题关键．14．如图，以AD 为边的三角形是__，以C ∠为一个内角的三角形是___，AED ∆的三个内角是___．【答案】ABD ∆，ADE ∆，ADC ∆ AEC ∆，ADC ∆，ABC ∆ DAE ∠，ADE ∠，AED ∠ 【解析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，分别分析填空即可． 【详解】以AD 为边的三角形是：ABD ∆，ADE ∆，ADC ∆； 以C ∠为一个内角的三角形是：AEC ∆，ADC ∆，ABC ∆；AED ∆的三个内角是：DAE ∠，ADE ∠，AED ∠．故答案为：ABD ∆，ADE ∆，ADC ∆；AEC ∆，ADC ∆，ABC ∆；DAE ∠，ADE ∠，AED ∠． 【点睛】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形、三角形的边，三角形的内角的定义． 15．三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为________． 【答案】90︒ 【解析】要分配的重量是一个三角形的内角和180，然后将180按照1:2:3分配，最大得到的角占其中3份，据此求解即可． 【详解】 解：318090123，∴最大的角度数为90︒， 故答案是：90︒． 【点睛】本题考查了比的应用和三角形内角和，熟悉相关性质是解题的关键． 16．（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么__12=∠__． （2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么BE =____BC ．【答案】CAD BAC CE 12【解析】（1）根据角平分线定义即可求解； （2）根据中点定义即可求解． 【详解】解：（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么12BAD CAD BAC ∠=∠=∠． 故答案为：CAD ，BAC ；（2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么12BE CE BC ==． 故答案为：CE ，12． 【点睛】本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键．17．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE 是△ABD 中AD 边上的中线，若△ABC 的面积是24，则△ABE 的面积________．【答案】6 【解析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答． 【详解】解：∵AD 是BC 上的中线，△ABC 的面积是24， ∴S △ABD =S △ACD =12S △ABC =12， ∵BE 是△ABD 中AD 边上的中线， ∴S △ABE =S △BED =12S △ABD =6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．18．已知如图所示AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3cm，,则△ABD与△ACD的周长之差为_________，△ABD与△ACD的面积关系为_________.【答案】2cm 相等【解析】根据△ABD与△ACD的周长的差=AB-AC，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，由此即可解答．【详解】解：△ABD的周长=AB+AD+BD，△ACD的周长=AC+AD+CD，∵AD是BC的中线，∴BD=CD，∵AB=5cm，AC=3cm，∴△ABD的周长-△ACD的周长=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=2（cm），∵△ABD与△ACD的底相等，高都是AE，∴它们的面积相等．故答案为2cm；相等．【点睛】本题考查了三角形的中线概念和性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．、、、在同一条直线上，BC交19．如图，将三角尺ABC和三角尺DFF(其中)摆放在一起，使得点A D B E度数等于_____．DF于点M，那么CMF【答案】105°【解析】利用直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC与∠FDE的度数，然后在△MDB中，利用三角形内角和定理求得∠DMB，再依据对顶角相等即可求解．【详解】解：∵∠ABC＝90°−∠C＝90°−60°＝30°，∠FDE＝90°−∠F＝90°−45°＝45°，∴∠DMB＝180°−∠ABC−∠FDE＝180°−30°−45°＝105°，∴∠CMF＝∠DMB＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形的内角和定理以及对顶角的性质，正确求得∠DMB 的度数是关键． 20．如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且24cm ABCS ∆=，则BEF S ∆=________2cm【答案】1 【解析】根据三角形的中线性质可得12ABE ABD S S ∆∆=，12ACE ADC S S ∆∆=，进而得到12BCE ABC S S ∆∆=，同理可得12BEF BCE S S ∆∆=【详解】解：∵点E 是AD 的中点，∴12ABE ABD S S ∆∆=，12ACE ADC S S ∆∆=， ∴21142cm 22ABE ACE ABC S S S ∆∆∆+==⨯=，∴21142cm 22BCE ABC S S ∆∆==⨯=，∵点F 是CE 的中点， ∴21121cm 22BEF BCE S S ∆∆==⨯=. 故答案是：1. 【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形一边上的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形.三、解答题 21．如图所示，（1）图中有几个三角形？ （2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个； （2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角． 【解析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可； （2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可 【详解】解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有△ABD ，△ABC ， 以AD 为边的三角形有△ADE ，△ADC ， 再以DE 为边三角形有△DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆； （2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ， 角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边； C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点睛】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．22．画出如图所示的三角形的三条高．【答案】见解析 【解析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可． 【详解】解：画出三角形的三条高如下图：【点睛】本题是考查作三角形的高．注意：钝角三角形两条钝角边上的高在形外．23．如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD;（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数【答案】（1）见解析（2）135°【解析】(1)根据直角三角形两锐角互余和角平分线的定义，可以得到角相等，进而得到两边相等；（2）由三角形的外角性质和内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：90,30,60C BACABC∠=∠=∴∠=又因为BD平分∠ABC，所以(2)解：90,90,,,,45,18045135CBAC ABCBD AP ABC BAC BAP ABPBPA∠=∴∠+∠=∠∠∴∠+∠=∴∠=-=分别平分24．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE 相交于H，求∠BHC的度数．【答案】135°【解析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．【详解】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，故设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=3x=45°．∵BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．25．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 为BC 边上的中线．（1）ABD S ____________ACD S （填“>”“<”或“=”）；（2）若ABD △的周长比ACD △的周长多4，且，求AB ，AC 的长；（3）ABC 的周长为27，9AB =，BC 边上的中线6AD =，ACD △的周长为19，求AC 的长．【答案】（1）；（2）9,5AB AC ==；（3）8．【解析】（1）根据三角形中线的定义、三角形的面积公式即可得；（2）先根据三角形的周长公式可得出4AB AC -=，再结合求解即可得；（3）先根据ABC 的周长为27可得18BC AC =-，从而可得192CD AC =-，再根据ACD △的周长为19建立等式求解即可得．【详解】（1）AD 为BC 边上的中线，， ABD ∴与ACD △等底同高，ABD ACD S S ∴=，故答案为：；（2）∵AD 是BC 边上的中线，12BD CD BC ∴==， ABD 的周长比ACD △的周长多4，即，，又14AB AC +=，9,5AB AC ∴==；（3）ABC 的周长为27，9AB =，，即927BC AC ++=，解得18BC AC =-，11922CD BC AC ∴==-， 又的周长为19，6AD =， ，即169192AC AC +-+=， 解得8AC =．【点睛】本题考查了三角形中线、三角形的面积与周长公式等知识点，掌握理解三角形中线的定义是解题关键． 26．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在ABC 的内部，连接EB ，EC ，说明： （1）；（2）；（3）若6AB=，7AC =，11BC =，求EB EC +的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1113EB EC <+<．【解析】（1）在△ABO 和△DCO 中，根据两边之和大于第三边，列出不等式，相加即可得到结论；（2）延长BE 交AC 于点F ．在△ABF 和△CEF 中根据两边之和大于第三边，列出不等式，相加即可得到结论；（3）由（2）可知，EB +EC ＜13．在△EBC 中，根据两边之和大于第三边，即可得到结论．【详解】（1）在△ABO 中，AB ＜AO +BO ，①在△DCO 中，CD ＜CO +DO ，②①+②得：AB +CD ＜AO +BO +CO +DO ，即AB+CD＜AC+BD．（2）如图所示，延长BE交AC于点F．∵在△ABF中，AB+AF＞BF=BE+FE，①在△CEF中，FE+FC＞EC，②由①+②得：AB+(AF+FC)+FE＞BE+EC+FE即AB+AC＞EB+EC．（3）由（2）可知，EB+EC＜13，在△EBC中，EB+EC＞BC，且BC=11，∴11＜EB+EC＜13．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．。
1.1认识三角形(1) 初一数学第一章三角形的初步知识全章练习及教案 浙教版
第一章三角形的初步知识1.1 认识三角形一、背景介绍及教学资料三角形是几何图形中的基本图形，是构造较为复杂图形的基础。
学生在学习了图形的初步认识后安排了本教材的内容，是符合七年级学生认知规律的，也为进一步研究其它几何图形奠定基础。
教材安排了让学生观察铁塔的构造以及让学生动手做三角形等情景，使学生体验到学习和研究三角形是生产和生活的需要，了解到复杂的图形是由简单的图形构造而成的，激发学生学习数学的兴趣。
有关教学资料可查阅初中数学网。
（/464717/index.asp）二、教学设计第1课时教学内容分析：三角形是学生熟悉的图形，本节以学生观察房子的屋架等所包含的三角形出发，让学生体会用字母表示三角形的意义，认识三角形的基本要素（边、角和顶点）及其表示法，进一步展开对三角形性质的讨论。
学生在交流中感受到用字母表示三角形的必要性，教师还应鼓励学生用自己的语言概括出三角形的特点。
关于“三角形两边之和大于第三边”的结论的获得，教材安排了一个情景，通过学生的思考后提出问题，并引导学生动手测量，最后用“两点之间线段最短”的结论进一步说明，这样就将直观操作与简单推理结合在一起。
对于“三角形任意两边之差小于第三边”的性质，只需通过简单的变式得到结论即可。
教学目标：1、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及基本要素。
2、理解三角形三边关系的性质，并会初步应用它们来解决问题。
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念和推理能力。
教学重点与难点：教学重点：三角形的有关概念及三角形三边关系的性质。
教学难点：三角形三边关系的性质。
教学准备：刻度尺图钉若干细线硬纸板教学过程：设计思路通过一些实际中存在的三角形图案的演示，让学生认识到，我们所研究的问题来源于生活实际之中。
通过“做一做”，利用细绳绕三个图钉一周及改变图钉的位置，让学生在实验中进行思考，在自主学习的过程中体会学习的乐趣。
教学中注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作等探索过程。
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》-分节知识点
这样的推理过程叫做证明。
-3-
2、证明表述格式 1、证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程。 要点诠释： 1、在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线。
△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE， BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E，∠C 和∠F 是对应角。
1、按角分类：
要点诠释： ① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。 要点四、三角形的三边关系 1、定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短；
-1-
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
浙教版 8 年级上册数学第 1 章《三角形的初步知识》-分节知识点
一、认识三角形
要点一、三角形的定义 1、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ① 三角形的边：即组成三角形的线段； ② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。 （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”； （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，
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第一讲 三角形的初步认识
一、三角形的基本概念：
1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
三角形ABC 记作：△ABC 。
2、相关概念：
三角形的边：组成三角形的三条线段。
记作： AB 、AC 、BC 。
三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。
记作：∠A 、∠B 、 ∠C
3、三角形的分类： ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形一般等腰三角形等腰三角形不等腰三角形按边分：三角形)1( 二、三角形三边关系：
1、三角形任何两边的和大于第三边。
若a 、b 、c 为△ABC 的三边，则a+b>c, a+c>b, b+c>a.
2、三边关系也可表述为：三角形任何两边的差都小于第三边。
例1、想找一根小棒与长为4cm ，6cm 两根小棒首尾相接组成三角形，这根小棒长度在什么范围？
练习
1、已知三角形两条边长分别为19厘米和8厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是 厘米。
2、已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
3、已知三角形的三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形有( )个。
三、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于1800。
即△ABC 中，∠A+∠B+∠C=1800。
四、三角形的三线：
1、在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图1，∠BAD=∠CAD ，AD 是∠BAC 的角平分线。
2、在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
如图2，BD=CD ，AD 是△ABC 的BC 边上的中线
图1 图2 图3
3、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
如图3，AD ⊥BC ，AD 是△ABC 的BC 边上的高线。
4、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条，它们的交点在什么位置？
C B A ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形等腰直角三角形一般直角三角形直角三角形锐角三角形按角分：三角形)2(
巩固练习
1、在△ABC 中，若∠A －∠B=∠C ，则此三角形是（ ）
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、锐角三角形
D 、无法确定
2、如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE
相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( )
A 、150°
B 、100°
C 、120°
D 、130°
3、在△ABC 中，如果∠A ∶∠B ∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角_______度；按角分，这是一个_________三角形；按边分，这是一个_________三角形；
例题、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边上的高线，CE 是△ABC 的角平
分线，且∠CEB=105°，求∠ECB ，∠ECD 的大小，
巩固练习
1、如图，在△ABC 中，∠BAC=600，∠C=400，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠
ADC 的度数。
2、如图，△ABC 中,AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠C=600，∠B=280，求∠DAE 的度数。
3、如图，CE 是△ABC 的角平分线，EF ∥BC ，交AC 于点F 。
已知∠AFE=64°，求∠FEC 的度数。
A B C D
四、定义与命题
1、定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
（例如：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，“无限不循环小数叫做无理数”）
练一练
下列命题中，属于定义的是( )
A.两点确定一条直线
B. 点到直线的距离是该点到纸条直线的垂线段的长度
C.两直线平行，内错角相等
D.同角或等角的余角相等
2、 命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。
练一练
下列语句是命题的为（ ）
A.作直线AB 的垂线
B.在线段AB 上取点C
C.同旁内角互补
D.垂线段最短吗？
3、命题的构成——条件与结论
命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始部分为条件，“那么”后面的部分是结论。
练一练：将命题改写成“如果……那么……”的形式
（1）对顶角相等”： （2）同号两数相乘，积为正数：
4、真命题和假命题
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
练一连：
（1）对于任意实数x ，x ²+5x+5的值总是正数是 命题（填“真”或“假”）
（2）能说明命题“对于任意实数a ，︱a ︱＞–a ”是假命题的一个反例可以是（ ）
A.a=–2
B.a= 2
1 C.a= 1 D.a=
2 五、证明
1.要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
三角形的外角及外角的性质
2.外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。
3. 重要结论：
A ．三角形三个内角的和等于180°；
B ．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
如图所示，∠ACD=∠A+∠B
C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
D.三角形不共顶点的三个外角和为360°
例题、已知，∠B+∠D=∠BCD ，求证AB ∥BE.
在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。
练一练
1、如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，
∠EBC=∠A，求证：BE∥CD
2、如图。
AE与CD交于点O，∠A=50°，OC=OE，∠C=25°，求证AB∥CD.
3、如图5，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在△ABC的形内，
已知∠1+∠2=102°，则∠A的大小等于________度．
4、如图5，把∆ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE
的内部，若∠A=40°，则∠+∠
12= °
5、（1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°，则∠BOC为多少？
（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A为x•°，•则∠BOC为多少？
（3）如图（3），BO、CO为△ABC一内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？。