高中数学二轮复习关于求函数表达式的常用方法

二轮复习关于求函数表达式的常用方法

由实际问题建立函数关系式，一般可通过研究自变量与函数间的等量关系，再确定自变量的取值范围。根据条件求函数表达式是高中数学的重要内容，也是教学难点，本文介绍求函数表达式的常用方法。常用方法主要有： 1 定义法 （配方法）

由已知条件f[g(x)]=F(x)，可将F(x)改写成为g(x)的表达式，然后以x 代g(x)，便得f(x)的表达式。

例1已知f(x x 1+)=2

21

x x x ++，求f(x)的表达式。

解 ∵ 221x

x x ++=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x x 12

–x x 1

++1，∴ f(x)=x 2–x+1 (x ≠1). 2 待定系数法

由未知出发的转化，通常设一个函数，来求这个函数的系数。 例 2已知f(x+2)=x 2+x+2, 求f(x)的表达式。

解 设f(x)=ax 2+bx+c,∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax 2

+(4a+b)x+4a+2b+c,又f(x+2)=x 2+x+2,

比较同类项的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=.524,34,1c b a b a a ∴⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==.15,7,1c b a ∴f(x)=x 2–7x+15,

3 变量代换法

由已知条件f[g(x)]=F(x)，可令t=g(x),然后反解出x=g -1(t).代入F(x)即可得f(t)的表达式。 例3 已知f(e x-1)=2x 2–1,求f(x)的表达式。 解 令t=e x-1(t>0), 则x=1+lnt ，代入已知， 得f(t)=2(1+lnt)2–1=2ln 2t+4lnt+1, 即f(x)=2ln 2x+4lnx+1(x>0). 4 函数方程法

将f(x)作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去另外的未知数便得f(x)的表达式。 例4 已知af(x n ) +f(-x n )=bx ，其中a 2≠1，n 为奇数，试求f(x)的表达式。

分析 已知是关于f(x n ) 和f(-x n )的一个方程，利用n 为奇数,用–x 代x,又得到一个f(x n ) 和f(-x n )的一个方程。由这两个方程构成的方程组便可求出f(x n )，即可得f(x)。

解 ∵ af(x n ) +f(-x n )=bx ，① 以-x 代x ，又得

af(-x n ) +f(x n )=-bx 。 ② 解由①、②式构成的方程组，得

f(x n ) ·（a 2–1）=b （a+1）x. 故a 2≠1,∴f(x n ) =1

-a b

x, 即f(x)=

1

-a b n

x .

5 参数法

引入某个参数，然后写出用这个参数表示变量的式（即参数方程），再消去参数便得f(x)的表达式。

y

1 -

2 o 2 x

-1

例 5 已知f(3sinx)=ctg 2x,求 f(x)的表达式。 解 可令⎩⎨

⎧==θ

θ

2

sin 3ctg y x ，即⎩⎨

⎧==θ

θ

2

csc sin 3y x ， 消去θ便得 y=132

-⎪⎭

⎫

⎝⎛x ,

于是得 f(x)=

2

2

9x

x - (–3≤x ≤3,且x ≠0). 6 特殊法

在已知条件中将某些字母（变量）取特殊值，使问题具体化、简单化，从而求得f(x)的表达式。

例6 已知f(x –y)=f(x) –y(2x –y+1),且f(0)=1, 求f(x)的表达式。 解 可令x=0得f(–y)=1–y(–y+1)， 再以x 代–y ，便得f(x)=1+x(x+1)， 即f(x)=x 2+x+1. 7 图象法

函数的图象是函数表示的一种形式，在解题过程中通常把函数图象改写成f(x)的表达

式，数形结合是数学解题的常用的基本的思想方法。 例7 根据函数y=f(x)的图象，求f(x)的表达式。

解 ∵图象是线段，∴函数关系式是一次式，于是分段可设 f(x)=kx+b ，利用侍定系数法，可得 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+)20(,12

1

)02(,12

1x x x x

8 归纳法 例 8 已知g(x)=

2

1x

x +,并记f(x)=g n (x)=g{g[…g(x)]},求f(x)的表达式。

分析 用代入法（其实是数学归纳法）。 解 g 1(x)=

2

1x

x +,

g 2(x)=g[g(x)]=

)

(1)(2x g x g +=

2

2

2)1(11x x

x x

+++

=

2

21x

x +.

g 3{g[g(x)]}=g[g(x)]=

2

2

2

)21(121x x

x x

+++=2

31x x

+. 假设g k (x)=

2

1kx

x +,那么g k+1(x)=g[g k (x)]=

2

2

2

)1(

11kx x kx x

+++=

2

)1(1x

k x ++.

∴ f(x)=

2

1nx

x +。