随机误差的合成
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差的合成与分配
y 2 2 x f 1 2 x 1 2 2 ... x f n 2 x n 2 2 2 1 n i j x fi x fj x i2j2
y N 2 x f 1 2x 1 N 2 ... x f n 2x n N 2 2 1 n i j x f i x fj x iNjN
y 2 fx 1 2 ,x 2 2 , ,x n 2
y N fx 1 n ,x 2 n , ,x n n
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
函数随机误差为：
f
f
f
y 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 ... x n x n 1
f
f
f
y 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 ... x n x n 2
sin c o s
可得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f
f
1n f
c o s( x 1 x 1 x 2 x 2 ... x n x n ) c o si 1 x i x i
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接
测量最大直径 D，直接测得其
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
yf(x1,x2,...xn)
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
(完整word版)误差理论与数据处理期末试题
一.填空题1. ______(3S 或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。
2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。
3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。
4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。
5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。
6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。
7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。
8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。
9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。
10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。
11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。
这种误差称为______(系统误差)。
12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。
这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。
13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。
14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。
15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。
16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。
17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。
18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。
物理实验中常见误差分析方法介绍
物理实验中常见误差分析方法介绍在物理实验中，误差是不可避免的。
无论是由于仪器的限制、实验环境的影响还是实验者的操作技巧，都可能导致实验结果与理论值之间存在差异。
因此，对误差进行分析和处理是物理实验中至关重要的一步。
本文将介绍几种常见的误差分析方法。
一、随机误差分析随机误差是由于各种不可预测的因素引起的。
它的特点是在一系列测量中，各个测量值的差异是无规律的、不可预测的。
为了分析随机误差，我们可以进行多次重复测量，并计算测量值的平均值和标准偏差。
平均值是多次重复测量结果的算术平均数，可以作为对真实值的估计。
标准偏差是测量值与平均值之间的离散程度的度量，用于表示测量结果的精确度。
通过计算标准偏差，我们可以评估测量结果的可靠性。
二、系统误差分析系统误差是由于仪器的固有偏差、实验条件的变化或者操作技巧的不准确等因素引起的。
与随机误差不同，系统误差在一系列测量中具有一定的规律性，导致测量结果整体上偏离真实值。
为了分析系统误差，我们可以进行零点校准、仪器校正或者改进实验设计等措施。
比如，在测量长度时，我们可以使用一个已知长度的标准物体进行校准，以减小仪器的系统误差。
三、人为误差分析人为误差是由于实验者的主观因素引起的。
比如，操作技巧不熟练、读数不准确、实验者的主观判断等都可能导致人为误差的出现。
为了减小人为误差，我们可以进行培训和实践，提高实验者的技能水平。
此外，还可以采取双重盲法，即实验者不知道实验条件或者测量对象的真实情况，以减少主观判断对实验结果的影响。
四、合成误差分析合成误差是将各种误差因素综合考虑后的总误差。
在物理实验中，往往存在多个误差因素同时影响测量结果，因此需要将这些误差因素进行合成分析。
合成误差的计算可以使用误差传递公式。
该公式可以将各个误差因素的贡献按照一定的规则进行加权求和，得到总误差的估计值。
通过合成误差的分析，我们可以更全面地评估实验结果的准确性和可靠性。
综上所述，误差分析是物理实验中不可或缺的一环。
《误差理论与数据处理》考试题试题及答案
《误差理论与数据处理》考试题(卷)一、填空题（每空1分，共计25分）1．误差的表示方法有绝对误差、相对误差、引用误差。
2．随机误差的大小，可用测量值的标准差来衡量，其值越小，测量值越集中，测量精密度越高。
3．按有效数字舍入规则，将下列各数保留三位有效数字：6.3548— 6.35 ；8.8750— 8.88 ；7.6451— 7.65 ；5.4450— 5.44 ；547300— 5.47×105。
4．系统误差是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。
系统误差产生的原因有（1）测量装置方面的因素、（2）环境方面的因素、（3）测量方法的因素、（4）测量人员方面的因素。
5．误差分配的步骤是：按等作用原则分配误差；按等可能性调整误差；验算调整后的总误差。
6．微小误差的取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3~1/10 。
7．测量的不确定度与自由度有密切关系，自由度愈大，不确定度愈小，测量结果的可信赖程度愈高。
8．某一单次测量列的极限误差lim 0.06mmσ=±，若置信系数为3，则该次测量的标准差σ= 0.02mm 。
9．对某一几何量进行了两组不等精度测量，已知10.05x mmσ=，20.04x mmσ=，则测量结果中各组的权之比为16:25 。
10．对某次测量来说，其算术平均值为15.1253，合成标准不确定度为0.015，若要求不确定度保留两位有效数字，则测量结果可表示为15.125(15) 。
二、是非题（每小题1分，共计10分）1．标准量具不存在误差。
（×）2．在测量结果中，小数点的位数越多测量精度越高。
（×）3．测量结果的最佳估计值常用算术平均值表示。
（√ ）4．极限误差就是指在测量中，所有的测量列中的任一误差值都不会超过此极限误差。
（×）5．系统误差可以通过增加测量次数而减小。
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
误差理论与数据处理_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
误差理论与数据处理_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.平稳随机信号自相关函数【图片】在【图片】情况下最大，说明在这种情况下相关性最强。
参考答案:正确2.各态历经平稳随机过程特征值的计算方法是（）。
参考答案:时间平均法3.随机性数据可以通过明确的数学表达式来描述。
参考答案:错误4.方法误差属于（）参考答案:系统误差5.测量精度评价术语正确度表示（）参考答案:测量值与真实值的接近程度6.下列表示测量值的为（）参考答案:3.5V7.各态历经随机平稳随机过程的特征参数求取方法可以用（）参考答案:以上三种方法都可以8.随机过程在某个特定时刻的形式为（）参考答案:随机变量9.平稳随机过程的自相关函数【图片】满足（）参考答案:与t无关10.下列哪个信号不是平稳信号（）参考答案:以上三项都是平稳信号11.方法误差属于参考答案:系统误差12.提高测量数据的准确性可以提高提高回归方程的稳定性。
参考答案:正确13.为提高回归方程的稳定性，以下哪个方法是不可取的。
（）参考答案:减小自变量数据的取值范围14.为获取一个或多个未知量的最可靠值，根据最小二乘原理应从对同一量的多次观测结果中求出，一般要求测量次数总要（）未知参数的数目参考答案:大于15.用算术平均值作为被测量的最佳估计值是为了减少（）的影响参考答案:随机误差16.最小二乘处法所确定的估计量的精度取决于（）和（）。
参考答案:测量数据的精度_待估量的函数关系17.测量某导线在一定温度x下的电阻值y，如下表所示：【图片】则利用一元线性回归方程，该导线电阻与温度之间拟合直线的斜率近似为（）（4位有效数字）。
参考答案:0.282418.残差平方和指的是所有观测点相对于回归直线的残余误差的平方和。
参考答案:正确19.描述两个变量之间关系的最简单的回归模型称为一元线性回归模型。
参考答案:正确20.不等精度测量最小二乘原理的条件为误差平方和最小。
误差理论与数据处理试题
误差分析与数据处理一.填空题1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。
2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。
3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。
4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。
5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。
6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。
7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。
8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。
9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。
10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。
11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。
这种误差称为______(系统误差)。
12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。
这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。
13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。
14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。
15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。
16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。
17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。
18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差理论与数据处理
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
误差的合成.
误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。
仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。
这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。
传递系数可由前面介绍的各种方法求出。
2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。
式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。
在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。
3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。
4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。
5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。
欢迎转载，信息。
误差理论试卷及答案-(1)
《误差理论与数据处理》试卷一一．某待测量约为80 μm，要求测量误差不超过3%,现有 1.0 级0－300μm 和2。
0 级0－100 μm 的两种测微仪,问选择哪一种测微仪符合测量要求？（本题10 分）二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为: ⎛ 1＝0.8′， ⎛ 2＝1.0′,⎛ 3＝0。
5′。
若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少？（本题10 分)三．测某一温度值15 次，测得值如下:(单位：℃）20.53，20.52，20。
50, 20.52，20.53，20.53，20。
50，20.49，20。
49，20。
51，20.53, 20.52，20。
49, 20.40，20。
50已知温度计的系统误差为—0。
05℃，除此以外不再含有其它的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大误差。
要求置信概率P=99。
73％，求温度的测量结果。
（本题18 分)四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为:l1 ± ⎛ 1 =（10。
000 ± 0。
0004）mm;l 2 ± ⎛ 2 =（1。
010 ± 0。
0003）mm;l3 ± ⎛ 3 =（1.001 ± 0。
0001) mm求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ 〉 ij = 0 )。
（本题10 分）五．某位移传感器的位移x与输出电压y的一组观测值如下:(单位略）xy 1 0。
105150。
5262101。
0521151。
5775202。
1031252。
6287设x无误差，求y对x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。
(附:F0.10（1，4）=4。
54，F0.05（1，4）=7。
71,F0.01（1，4)=21.2)（本题15 分）六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有：①仪器示值误差不超过 ± 0.15μv，按均匀分布，其相对标准差为25％；②电流测量的重复性，经9 次测量，其平均值的标准差为0。
误差的合成与分解1相对测量时需用54255mm的量块组做
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
测量误差估计和实验数据21
(1) 将测量结果列成表格；
(2) 求平均值，结果 X比X多i 取一位数字:
X
n i 1
Xi
1 n
245 .92 1 12
20.493
(3) 列出各残差Vi之值;
在表中Xi旁列出Vi的值，并求 Vi 0.00。4 实
际上X的最末一位有效数是小数点后第二位，
即0.09，此时N=9，故
，
故可10认2 为V计i 算0.4无误N 2。 0.5
例：0.0121按照0.0121X25.64=0.310244，取三 位有效数字为0.310。
例：
算得 应为 算得 应为 或
X 0.0344 X 0.03 X 0.127 X 0.1 X 0.13
X 1001.7704 X 1001.77
X 237.465 X 237.5
X 237.46
f X1
X1
f X
2
X
2
......
f X
m
X
m
系 相对误差形式：
统 误
y f X1 f X2 ...... f Xm
y X1 y X2 y
Xm y
差 的 合
X1 f X1 ... Xm f Xm
y X1 X1
y Xm Xm
成 上2式一般称为系统误差合成定律(或传播定
律)，偏微分 f
则
压表测量时，每次产生误差U1, U2 , U3 也相近， 故可做等精度假设。
分
配
误
差
等 由上述测量结果得总误差限：
精 度 原 则
U 0.02(U1 U 2 U3 ) 27.84V
等精度误差：
U i
U 3
9.28V
第三章 误差的合成与分解
▪ x1,x2, 与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 ▪ y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
d y x f1d1x x f2d2x x fndnx
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
00124000516910mm12926mmddd第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心xnijxixjij反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式相关系数估计第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心相关系数的确定可判断的情形当一个分量依次增大时引起另一个分量呈正负交替变化反之亦然属于完全不相干的两类体系分量如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量虽相互有影响但其影响甚微视为可忽略不计的弱相关11直接判断法直接判断法第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时引起另一个分量依次增大或减小反之亦然属于同一体系的分量如用1m基准尺测2m尺则各米分量间完全正相关第一节函数误差22试样观察法和简略计算法试样观察法和简略计算法11观察法观察法第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心第一节函数误差22简单计算法简单计算法cos其中33直接计算法直接计算法根据的多组测量的对应值按如下统计公式计算相关系数ikjk44理论计算法理论计算法第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
随机误差传递公式
随机误差传递公式略懂一点，减少测量误差的最重要的就是买好的仪器了，或者研究更加精确的测量原理和方法了，这里面包含系统误差和随机误差，系统误差与仪器的好坏，测量原理是否合理直接相关，好的仪器也能在一定程度上减少随机误差（测量稳定性好）。
除了这些，想要强调下：合适巧妙的选择数据处理的方法对测量结果的误差有很大的影响。
这里贴一篇以前上机密测量基础写的一篇读书报告：读的是：《误差理论与数据处理》费业泰版第三章。
提到的《精测》这本书是天大自己出的一本书，全名《精密测量理论与技术基础》，我们当年上课还用的是老师给的初版，刚才查了一下已经15年9月已经初版并作为十三五规划教材，书中提出了一些关于不确定度计算的东西我觉得很有用，这个和概率和数理统计的知识也很相关，如果想仔细了解相关知识推荐去看这本书。
以下为当时写的读书报告：任何测量结果都包含误差，这是由于测量的每个环节都不可能避免误差，如何正确表示这些误差的综合影响，这就涉及到误差的合成和分配。
一．自学理解整理：（1）函数误差对于被测量的对象来说，我们往往都不能通过直接测量的方法来得到最终我们想要的结果，这个时候我们一般是采用分别测量再进行合成，这就是一个多元函数的关系，为了获得最终的测量结果Y,我们进行了X1，X2，X3……等测量，表达式为Y=F(X1，X2，X3……),对于每个分量来说，都是有误差的，怎样把这些误差全部转化到带测量Y上从而对Y进行简洁并准确的评定，就需要解决函数误差的问题。
对于这种具有确定关系的误差传递问题，也称作误差合成。
①函数系统误差的计算间接测量时，一般都初等函数，对于多元函数来说，增量可以用其全微分表示，由于这些误差较小，则可以用其系统误差代替微分因子在，这样就得到了系统误差公式：根据此式就可求的合成的系统误差。
②函数随机误差的计算随机误差是用表征其分散程度的标准差来评定的，函数随机误差的计算研究的实际上是各分量的标准差和带测量的标准差之间的关系。
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l2
D1
D2
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1122
将已知各误差值及误差传递系数代 入角度的系统误差式，得
2 cos 0
f l1
l1
f l2
l2
f D1
D1
f D2
D2
2
2 (0.0045 0.0011 0.0045 0.0008
2 2 93.921 2 20.961 45 15
0
2
145956 0
295952
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1111
因为
sin 2 f (l1,l2, D1, D2 )
D1 D2
D1 D2
2l 2l1 2l2 D1 D2
§3.3 系统误差合成
§3.4 系统误差与随机误差的合成 §3.5 误差分配
§3.6 微小误差取舍准则
§3.7 最佳测量方案的确定
总结
第三章 误差的合成与分配
22
§3.1 函数误差
间接测量 通过直接测量与被测的量有一定
函数关系的其他量，然后按照已 知的函数关系式计算出被测的量。
函数误差 间接测得的被测量及其误差也应是直接测得
1
sin
n i1
f xi
xi
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
66
例题3.1
用弓高弦长法间接测量直径D。直接 测得其弓高h和弦长s，然后通过函 数关系计算求得直径D。 如果： h 50mm, h 0.1mm
s 500mm, s 1mm
求测量结果。
s
500
5
s
s
2h 250
直径的系统误差: D f s f h 7.4mm
s h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
99
例题3.2 用双圆球检定高精度内锥角α ，已知
D1=45.00mm, ΔD1=0.002mm D2=15.00mm, ΔD2=-0.003mm 测得尺寸及系统误差为
第三章 误差的合成与分配
重点与难点
1． 函数系统误差 2． 函数随机误差 3． 随机误差的合成 4． 未定系统误差和随机误差的合成 5． 误差分配 6． 微小误差取舍准则 7． 最佳测量方案的确定
第三章 误差的合成与分配
11
第三章 误差的合成与分配
主要内容 §3.1 函数误差
§3.2 随机误差的合成
cosd
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
cos
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
直接测量量 直接测量量
cos f x1, x2,..., xn
0.9659
0.0109 0.002 0.0109 0.003)rad
0.00011005rad
23
将所求得的角度系统误差修正后，则得被检定内
可得角度α的系统误差为
2 cos 0
f l1l1 Nhomakorabeaf l2
l2
f D1
D1
f D2
D2
2
式中各个误差传递系数为
f l1
-
(2l1
D1 D2 2l2 D1
D2 )2
2
0.0045；
f 0.0045； f 0.0109； f 0.0109
l1=93.921mm, Δl1=0.0011mm l2=20.961mm, Δl2=0.0008mm
解：由图可得函数关系式
sin （D1 D2）/ 2
D1 D2
2
l
2l1 2l2 D1 D2
若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度α0为
sin 0
45 15
0.2588
量及其误差的函数，故称这种间接测量的误 差为函数误差。
第三章 误差的合成与分配
33
§3.1.1 函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要
为初等函数，且一般为多元函数，
其表达式为： y f ( x1, x2 , ...xn )
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则上
式的函数增量为：
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
44
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
函数系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
l1=93.921mm, Δl1=0.0011mm l2=20.961mm, Δl2=0.0008mm 求检定结果。
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
1100
（D1 D2）/ 2
l1 l2 D1 / 2 D2 / 2
D1=45.00mm, ΔD1=0.002mm D2=15.00mm, ΔD2=-0.003mm
f
f
f
dy x1 dx1 x2 dx2 ... xn dxn
若已知各个直接测量值的系统误差为：
x1 , x2 , , xn
用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数的系
统误差：
f
f
f
y x1 x1 x2 x2 ... xn xn
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
88
s2
h 50mm, h 0.1mm
D= +h 4h
s 500mm, s 1mm
误差传递系数为:
f h
( s2 4h h
h)
s2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f
( s2 h) 4h
h s
D
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
77
h s
D
h 50mm, h 0.1mm
s 500mm, s 1mm
解：由几何关系
s2 D= +h
4h
先不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm s 500mm 处的直径测量值
s2 D0 4h h 1300mm