指数函数图像与性质

例3.比较下列各式大小
①、 1.72.5 ,1.73
③、 1.70.3,0.93.1
②、0.82;0.83
解.（1）函数 y1.7x在 R上是增 函 2.5 数 3, ； 1.72.51.73
( 2 ) 函数 y0.8x在 R上是减 函 2 数 3； 0.8 20.83
例3.比较下列各式大小
①、 1.72.5 ,1.73
1 2
5730
指数函数概念
一般地，函数 yax(a0且 a1)叫
做指数函数，其中x是自变量，函数的 定义域是R，值域是 (0,+∞) .
为什么要规定a>0,且a≠ 1呢？
①若a=0，则当x>0时，a x =0； 当x 0时，a x 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使a x 无意义.
在R上是减函数
当x＞0时， 0＜y＜1 当x＜0时， y＞1
应用示例：
例2.已知指数函数 f ( x ) a x (a>0,且a≠1）的图象
经过点（3，π），求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分 析 ： 要 求 f(0 ),f(1 ),f( 3 )的 值 ， 需 要 我 们 先 求
出 指 数 函 数 的 解 析 式 。 根 据 函 数 图 像 经 过 （ 3 ， ）
例3.比较下列各式大小
①、 1.72.5 ,1.73
③、 1.70.3,0.93.1
②、0.82;0.83
例3.比较下列各式大小
①、 1.72.5 ,1.73
③、 1.70.3,0.93.1
②、0.82;0.83
解.（1）函数 y1.7x在 R上是增 函 2.5 数 3, ； 1.72.51.73
③④
C 1＜a ＜b＜ c ＜ d
D a＜b ＜1 ＜d ＜ c
2.记住两个基本图形:
a>1
y y=ax
图
(a>1) y=1
象
(0,1)
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
y=1
0
x
练习：此图是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx， ④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关 系是（ ）
A a＜b ＜1 ＜ c ＜ d ① ②
B b＜a ＜1 ＜ d ＜ c
这 一 条 件 ， 可 以 求 得 底 数 a 的 值 。
解 ： 因 为 指 数 函 数 y = a x 的 图 像 经 过 点 （ 3 ， ） ， 所 以 f (3) .
1
x
即 a 3,解 得 a 3 ,于 是 f(x )3 .
所 以 ， f( 0 )0 1 ， f( 1 )1 3 3， f( 3 ) 1 1 .
1.70.30.93.1
比较指数大小的方法：
①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是 同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要 注意分类讨论。
②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同 底不同指。
小结：
1.本节课学了哪些知识?
指数函数的概念
指数函数的图象
指数比较大小的方法；
… …
次数 1次 2次 3次 4次
x次
长度
1
2
1 1 (1 )2
22
2
( 1 )2 1 ( 1 )3
2
2
2
( 1 )3 1 ( 1 )4
2
2
2
(1)x11 (1)x 2 22
该纸条截x次后，得到的长度y与x的关系式是 y (1)x 2
y 2x
y 1.07x3
y (1)x 2
x
y
如 y (2)x在x 1 时就没有意义 。 2
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了便于研究，规定：a>0 ,且a≠1
在规定以后，对于任何x R，a x 都有意义，且
a x >0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
应用举例
例1：下列哪些是指数函数？
(1)y2x (2)y(2)x
(3)y 2x1
(5)y2x
(4)y2x 1 (6)y 22x
指数函数概念
一般地，函数 yax(a0且 a1)叫
做指数函数，其中x是自变量，函数的 定义域是 R , 值域是 (0,+∞) .
作函数图象
y 2x
y (1)x 2
作函数图象
x -1 0 1 2 3
y
y
y=ax
(a＞ 1)
y=1
(0,1)
0
x
y =a x
y
(0＜a ＜1)
y=1
(0,1)
0
x
指数函数的图象和性质
y=ax
图 象
(1)定义域 (2)值域
性 (3)定点 质 (4)单调性
(5)函数值 的分布情 况
a＞1
y
0 ＜a＜1
y
1
o
x
1
o
x
R
( 0 , + ∞)
在R上是增函数
当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1
1 2
1248
y 2x
x -3 -2 -1 0 1
y8
4
2
1
1 2
y (1)x 2
y (1)x 2
y (1)x 3
Y
y y 3x y 2x
O
o -3 -2 -1 1 2X 3
x
y (1)x
y (1)x
3
2
y=3X
Y
y = 2x
Y=1
X O
通过作图，我们发现y=ax的图象大致分两 种类型，即0＜a＜1和a＞1，图象如下：
材料1: 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂
成4个…一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞 分裂的个数y与x的函数关系是什么?
细胞分裂过程
细胞个数
第一次
21
第二次
22
第三次
…………
23
第x次
……
2x
细胞个数y与分裂次数 x之间的关系式为 y =2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ料2：
将一纸条第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的 一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下 去,问截的次数与剩下的纸条之间的关系.
③、 1.70.3,0.93.1
②、0.82;0.83
解.（1）函数 y1.7x在 R上是增 函 2.5 数 3, ； 1.72.51.73
( 2 ) 函数 y0.8x在 R上是减 函 2 数 3； 0.8 20.83
(3) 由指数函数性质知： 1.70.3 1.70 1而0.93.1 0.90 1