第7章 稳定性验算
第7章-3 收敛性稳定性
用其求解模型方程（7-32）得到
(7-33)
un1 un hun (1 h)un , n 0, 1, 2L
当un有舍入误差时，其近似解为 u~n ，从而有
u~n1 (1 h)u~n
取 n un u~n ，得到误差传播方程
n1 (1 h) n ,
得 1
1 1 h
,
当
1 h 1 时，1 1 , 故
1 h 1 就是
隐式Euler法的绝对稳定区域。
它是 h平面上以（1,0）为圆心的单位圆外区域。
当Re μ＜0时，它位于 h 平面上y轴左侧区域。
当μ＜0为实数时，绝对稳定区间为 (-∞,0)。
, 0
1h 1
Re 0
1h 1
h 0, 2
圆内（︱λ︱＜1)。 对此有很多判别法，如Schur准则、轨迹法。
k=1～4的隐式Adams类方法的绝对稳定区间（μ＜0为实数）。
步
阶
绝对稳定区间
1
2
（-∞，0）
2
3
（-6.0，0）
3
4
（-3.0，0）
4
5
（-1.8，0）
这里我们给出一种简单的、常用的判别法： 实系数二次方程λ2-b λ-c=0的根在单位圆内的充要条件为:
例如
初值问题
u
4tu
1 2
,
0t 2;
u(0) 1
精确解为 u(t) (1 t2 )2。考虑二步三阶显式法：
un2 4un1 5un h(4 fn1 2 fn )
取步长h=0.1，初值u0=1，附加值：u1 (1 h2 )2 (h 0.1) 。
精确解
力学与结构 07压杆稳定
7.3
第7章
压杆稳定
建筑结构中受压构件的应用十分广泛, 建筑结构中受压构件的应用十分广泛,如:桁架结构,网架结构 桁架结构, 中的腹杆和上弦杆,框架结构中的轴心受压柱,都是受压构件. 中的腹杆和上弦杆,框架结构中的轴心受压柱,都是受压构件.按压 力作用位置不同,分为轴心受压和偏心受压两类. 力作用位置不同,分为轴心受压和偏心受压两类.工程中常把轴心受 压的直杆称为压杆.本章主要介绍压杆稳定的基本概念, 压的直杆称为压杆.本章主要介绍压杆稳定的基本概念,三种杆端支 承情况的细长压杆的临界荷载及临界应力计算, 承情况的细长压杆的临界荷载及临界应力计算,受压直杆的稳定校核 和截面设计以及提高压杆稳定性的一些措施. 和截面设计以及提高压杆稳定性的一些措施.
π2 EI 3.142 × 210 × 109 × 64.4 × 104 × 1012 Pcr = = ≈ 102.9kN 2 2 (l ) (1 × 3.6)
(2) 计算屈服力: 计算屈服力:
Ps = Aσ s = 21.5 × 104 × 240 × 106 = 516kN
由以上计算可知,压杆的屈服力为压杆稳定临界力的 倍多 倍多, 由以上计算可知,压杆的屈服力为压杆稳定临界力的5倍多,可见细长压杆在发生强度破 坏之前,首先会发生失稳破坏. 坏之前,首先会发生失稳破坏.
第7章
Pcr =
压杆稳定
π 2 EI
临界荷载和临界应力
( l )
2
(7-1)
式中, 为压杆的实际长度 为压杆的实际长度. 为长度系数 为长度系数, 为压杆的计算长度 其他参数同式(7-1),长度系 为压杆的计算长度, 式中,l为压杆的实际长度.为长度系数,l为压杆的计算长度,其他参数同式 , 的选取见表7-1. 数的选取见表 . 的选取见表
完整版)《建筑地基基础设计规范》
完整版)《建筑地基基础设计规范》上的建筑物，应按变形控制设计原则，满足使用功能要求。
第5章“地基基础设计的计算方法”之强制性条文：第5.2.1条：地基基础设计中，应根据地基土和岩石的性质和特点，选择合适的承载力计算方法和参数，确保设计的合理性和安全性。
第6章“地基基础设计的变形计算”之强制性条文：第6.2.1条：地基基础设计中，应根据地基土和岩石的变形特点，选择合适的变形计算方法和参数，确保设计的合理性和安全性。
第7章“地基基础设计的稳定性计算”之强制性条文：第7.2.1条：地基基础设计中，应根据地基土和岩石的稳定性特点，选择合适的稳定性计算方法和参数，确保设计的合理性和安全性。
第8章“地基基础设计的施工及验收”之强制性条文：第8.2.1条：地基基础施工前，应进行地基土和岩石的勘察和试验，确定地基的性质和特点，制定合理的施工方案和验收标准。
第9章“地基基础设计的监测与检测”之强制性条文：第9.2.1条：地基基础施工后，应进行地基的监测和检测，及时发现和解决地基问题，确保建筑物的安全和稳定。
第10章“特殊地基基础设计”之强制性条文：第10.2.1条：特殊地基基础设计中，应根据地基的特殊性质和特点，选择合适的设计方法和参数，确保设计的合理性和安全性。
新规范于2002年4月1日开始实施，取代了原规范（GBJ7-89）。
新规范共有27条强制性条文，分别分配在第3章至第10章中。
新规范明确了地基基础设计中承载力极限状态和正常使用极限状态的使用范围和计算方法，并强调按变形控制设计的原则，满足建筑物使用功能的要求。
同时，对岩石分类和地基土的冻胀分类进行了细化，并增加了有限压缩层地基变形和回弹变形计算方法、岩石边坡支护设计方法、复合地基设计方法、基坑工程设计方法、地基基础检测与监测内容。
取消了壳体基础设计的规定。
新规范第1.0.2条明确规定了地基基础设计必须坚持因地制宜、就地取材、保护环境和节约资源的原则，精心设计。
道路工程 第07章 路基边坡稳定性设计
（3）滑动面假定
松散的砂性土和砾石内摩擦角较大，粘聚力较小，滑动
面近似平面，平面力学模型采用直线。 粘性土粘聚力较大，内摩擦角较小，破裂时滑动面近似 于圆曲面，平面力学模型采用圆弧。
———路基路面工程———
直线平面 ：由松散的砂性土和砾石填筑。
曲面 ：以粘性土填筑 。
1.25 (0.4663 a0 )0.5 2 a0 (0.4663 a0 )( 0.5 2 1)
———路基路面工程———
经整理得： 解得：
4a0 4.3655 a0 1.034 0
a0 0.2002
a0 2c H
2
由：
得：
H
2c 2 14.70 8.7m a0 16.90 0.2002
路基边坡稳定性设计
———路基路面工程———
图1 路堤边坡滑坡实况
———路基路面工程———
图2 路堑边坡滑坡实况
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
———路基路面工程———
第一节 边坡稳定性分析原理 与计算参数
———路基路面工程———
一、边坡稳定性分析原理
（1）岩石边坡 岩石路堑边坡稳定性取决于岩石的产状和地质构造特 征，岩体中存在的构造弱面，如层面，层理，断层， 节理等，是岩体中潜在的滑动面，一旦工程地质条件 向不利方向变化，岩体就会失稳形成滑坡。 （2）土质路基 令：T－土体的下滑力，F－抗滑力， K=F/T。 当K>1,稳定；K<1，滑动面形成，滑体下滑。考虑到 一些不确定性因素，为安全起见工程上常采用K＝ 1.2～1.5作为稳定的界限值。 滑动面有直线，曲线，折线三大类。
结构抗震第七章
中心支撑的类型 a.X形支撑；b.单心支撑类型 （a）门架式 1；（b）门架式 2 ；（c）单斜杆式； （d）人字形式；（e）V 字形式
（3）框架－剪力墙板体系 ☺ 框架－剪力墙板体系是以钢框架为主体，并配置一定数量 的抗震墙板。 ☺ 剪力墙板主要类型：① 钢抗震墙板② 内藏钢板支撑的混 凝土墙板③ 带竖缝的钢筋混凝土剪力墙板
第三节 钢结构房屋抗震计算要求和抗震构造措施
一、钢结构房屋抗震计算要求 （一）计算模型的选定 结构规则，质量及刚度沿高度分布均匀，不计扭转效应 时，采用平面结构计算模型；否则采用空间计算模型。 （二）地震作用的计算 不超过12层的多高层钢结构民用建筑规则结构，可按底 部剪力法计算。底部剪力法计算水平地震作用适用于高度 小于等于60 m且平面和竖向较规则的高层建筑。 1.结构自振周期的计算 一般采用顶点位移法计算（考虑非结构构件影响的折减 系数取0.9）。但初步设计时，可按经验公式估算： T1=0.1n 式中，n—建筑物层数（不包括地下部分及屋顶塔楼）。
2.设计反应谱 钢结构房屋的阻尼比小于钢筋混凝土结构，对 于超过12层的钢结构可采用0.02，对于不超过12层 的钢结构可采用0.035，对于单层钢结构和罕遇地震 下采用0.05。设计反应谱中，衰减指数取0.95，斜 率调整系数取0.024，阻尼调整系数取1.32。 （三）地震作用下钢结构的内力与位移计算 1.多遇地震作用下内力和位移计算 一般采用矩阵位移法计算。 2.罕遇地震作用下内力和位移计算 采用时程分析法对结构进行弹塑性时程分析。
３.构件的内力组合与设计原则 （1）内力组合 在抗震设计中，一般高层钢结构可不考虑风荷载及 竖向地震的作用，对于高度大于60m的高层钢结构须考虑 风荷载的作用，在9度区尚须考虑竖向地震作用。 （2）设计原则 框架梁、柱截面按弹性设计。将框架设计成强柱弱 梁体系。 ４.侧移控制 在小震下（弹性阶段），过大的层间变形会造成非 结构构件的破坏，而在大震下（弹塑性阶段），过大的 变形会造成结构的破坏或倒塌，因此，应限制结构的侧 移，即多遇地震作用下结构的弹性层间位移角和罕遇地 震作用下结构的弹塑性层间位移角，使其不超过限值。
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
7第七章-边坡稳定分析
二、成层土和坡顶有超载时安全系数计算
二、成层土和坡顶有超载时安全系数计算
三、有地下水和稳定渗流时安全系数计算
部分浸水土坡的安全系数，其计算公式与成层土坡完全 一样，只要将坡外水位以下土的重度用浮重度γ′代替即可。
三、有地下水和稳定渗流时安全系数计算
当水库蓄水或库水降落，或码头岸坡处于低潮 位而地下水位又比较高，或基坑排水时，都要 产生渗流而经受渗流力的作用，在进行土坡稳 定分析时必须考虑它的影响。
2.极限平衡分析方法不考虑土的变形特性，只 考虑土的静力平衡。这时需要引入附加假设条 件，减少未知数，使方程数不少于未知数。对 同一问题，附加的假设条件不同，产生不同的 稳定分析方法，计算的安全系数也不同。
三、常用条分法的简化假设
瑞典条分法：假设滑动面为圆弧面，不考虑条间力，即 Ei=Xi=0，减少3n-3个未知数；
第2节 无粘性土坡稳定分析
一、一般情况下的无粘性土土坡 由于无粘性土土粒之间无粘聚力，因此，只要位于坡面上 的土单元体能够保持稳定，则整个土坡就是稳定的。
一、一般情况下的无粘性土土坡
对于均质无粘性土坡， 理论上只要坡角小于 土的内摩擦角，土体 就是稳定的。FS=1 时，土体处于极限平 衡状态，此时土坡的 坡角就等于无粘性土 的内摩擦角，也称休 止角。
1.剪应力的增加 2.土体本身抗剪强度的减小
防止滑坡的措施
土力学第7章土坡稳定分析
土力学第7章土坡稳定分析土力学是研究土的力学性质和土体力学行为的科学，其应用范围广泛，其中土坡稳定分析是土力学的重要内容之一。
本文将介绍土力学第7章土坡稳定分析的相关知识。
一、引言土坡稳定分析是土木工程领域中常见的问题，主要涉及到土体的坡面稳定性，通过合理的土坡稳定分析，可以有效预防土体的滑坡和坍塌等不稳定现象的发生，保障工程的安全运行。
二、土坡的稳定性分析方法1. 极限平衡法极限平衡法是土坡稳定性分析中常用的一种方法，主要通过确定土体内部的抗剪强度参数和荷载作用下的地下水位来评估土坡的稳定性。
该方法的基本原理是在土体发生滑动时，抗剪强度趋向于零，并以它为基础，推导出坡面上的切线力和压住力相平衡的几何关系。
2. 推移滑坡法推移滑坡法也是一种常用的土坡稳定性分析方法，它是通过计算土体受力平衡的状态下，坡面上产生滑动的可能性来进行稳定性评估。
在该方法中，通过施加水平力和重力对土坡进行计算，计算过程中考虑土体的切线力、压实力和滑动力等因素，以确定滑动的可能性。
3. 数值模拟法数值模拟法是近年来发展起来的一种土坡稳定性分析方法，它基于计算机技术和数值计算方法，通过建立数学模型对土坡进行力学分析。
数值模拟法可以更精确地描述土体的变形、滑动过程，并且可以考虑更多的影响因素，如土体的非线性行为和边界条件等，从而提高了分析的准确性和可靠性。
三、土坡稳定分析的应用案例1. 坡度较陡的公路土方工程对于坡度较陡的公路土方工程，土坡稳定性分析显得尤为重要。
在该案例中，可以采用极限平衡法来评估土坡的稳定性，并结合现场勘察数据和实验结果对土体的参数进行调整，从而得出最终的稳定性评估结果。
2. 水土保持工程水土保持工程中的护坡设计也需要进行土坡稳定性分析。
通过采用推移滑坡法，可以对护坡结构进行设计和评估，确保其能够承受地表径流和土壤侵蚀的作用，保持坡面的稳定性。
3. 基坑开挖工程在基坑开挖工程中，经常需要进行土坡稳定性分析，以确保土坡在开挖和施工过程中的稳定性。
初中数学稳定性怎么算教案
初中数学稳定性怎么算教案教学目标：1. 理解稳定性的概念，掌握稳定性的计算方法。
2. 能够运用稳定性概念和计算方法解决实际问题。
教学内容：1. 稳定性概念的介绍。
2. 稳定性计算方法的讲解。
3. 稳定性计算在实际问题中的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入稳定性的概念，让学生尝试用自己的话解释稳定性。
2. 举例说明稳定性在实际生活中的应用，如建筑物的稳定性、物体的平衡等。
二、稳定性概念的介绍（10分钟）1. 给出稳定性的定义，解释稳定性的含义。
2. 通过图示和实例，让学生理解稳定性的判断标准。
三、稳定性计算方法的讲解（15分钟）1. 介绍稳定性计算的基本方法，如利用平衡条件、牛顿第二定律等。
2. 通过具体例题，讲解稳定性计算的步骤和思路。
3. 让学生尝试解决一些简单的稳定性问题，加深对稳定性计算方法的理解。
四、稳定性计算在实际问题中的应用（10分钟）1. 给出一些实际问题，如建筑物的稳定性设计、物体的平衡状态等。
2. 引导学生运用稳定性计算方法解决这些问题，培养学生的实际应用能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生回顾所学的稳定性概念和计算方法。
2. 让学生思考如何将稳定性计算应用到实际生活中，提高学生的实践能力。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对稳定性概念和计算方法的理解程度。
2. 通过实际问题的解决，评价学生对稳定性计算方法的运用能力。
教学资源：1. PPT课件，用于展示稳定性概念和计算方法。
2. 练习题，用于巩固学生的稳定性计算能力。
教学建议：1. 在讲解稳定性概念时，可以通过图示和实例进行生动形象的说明，帮助学生更好地理解。
2. 在讲解稳定性计算方法时，要注意步骤的清晰和逻辑的严密，让学生能够有条理地解决问题。
3. 在实际问题中的应用环节，可以引导学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。
以上是一份关于初中数学稳定性计算的教案，希望能够帮助学生更好地理解和掌握稳定性的概念和计算方法。
钢结构的稳定性验算
第七章 稳定性验算整体稳定问题的实质：由稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
注意：截面中存在压应力，就有稳定问题存在！如：轴心受压构件（全截面压应力）、梁（部分压应力）、偏心受压构件（部分压应力）。
局部稳定问题的实质：组成截面的板件尺寸很大，厚度又相对很薄，可能在构件发生整体失稳前，各自先发生屈曲，即板件偏离原来的平衡位置发生波状鼓曲，部分板件因局部屈曲退出受力，使其他板件受力增加，截面可能变为不对称，导致构件较早地丧失承载力。
注意：热轧型钢不必验算局部稳定！第一节 轴心受压构件的整体稳定和局部稳定一、轴心受压构件的整体稳定注意：轴心受拉构件不用计算整体稳定和局部稳定！轴心受压构件往往发生整体失稳现象，而且是突然地发生，危害较大。
构件由直杆的稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的弯曲变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
这种现象就叫做构件的弯曲失稳或弯曲屈曲。
不同的截面形式，会发生不同的屈曲形式：工字形、箱形可能发生弯曲屈曲，十字形可能发生扭转屈曲；单轴对称的截面如T 形、Π形、角钢可能发生弯曲扭转屈曲；工程上认为构件的截面尺寸较厚，主要发生弯曲屈曲。
弹性理想轴心受压构件两端铰接的临界力叫做欧拉临界力：2222//λππEA l EI N cr == (7-1)推导如下：临界状态下：微弯时截面C 处的内外力矩平衡方程为：/22=+Ny dz y EId(7-2) 令EI N k/2=，则： 0/222=+y k dz y d (7-3)解得：kz B kz A y cos sin += (7-4)边界条件为：z=0和l 处y=0；则B=0，Asinkl=0，微弯时πn kl kl A ==∴≠,0sin 0 最小临界力时取n=1，l k /π=,故 2222//λππEA l EI N cr == (7-5)其它支承情况时欧拉临界力为：2222/)/(λπμπEA l EI N cr ==(7-6)欧拉临界应力为：22/λπσE cr =(7-7)实际上轴心受压杆件存在着各种缺陷：残余应力、初始弯曲、初始偏心等。
钢结构的稳定性验算
第七章 稳定性验算整体稳定问题的实质：由稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
注意：截面中存在压应力，就有稳定问题存在！如：轴心受压构件（全截面压应力）、梁（部分压应力）、偏心受压构件（部分压应力）。
局部稳定问题的实质：组成截面的板件尺寸很大，厚度又相对很薄，可能在构件发生整体失稳前，各自先发生屈曲，即板件偏离原来的平衡位置发生波状鼓曲，部分板件因局部屈曲退出受力，使其他板件受力增加，截面可能变为不对称，导致构件较早地丧失承载力。
注意：热轧型钢不必验算局部稳定！第一节 轴心受压构件的整体稳定和局部稳定一、轴心受压构件的整体稳定注意：轴心受拉构件不用计算整体稳定和局部稳定！轴心受压构件往往发生整体失稳现象，而且是突然地发生，危害较大。
构件由直杆的稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的弯曲变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
这种现象就叫做构件的弯曲失稳或弯曲屈曲。
不同的截面形式，会发生不同的屈曲形式：工字形、箱形可能发生弯曲屈曲，十字形可能发生扭转屈曲；单轴对称的截面如T 形、Π形、角钢可能发生弯曲扭转屈曲；工程上认为构件的截面尺寸较厚，主要发生弯曲屈曲。
弹性理想轴心受压构件两端铰接的临界力叫做欧拉临界力：2222//λππEA l EI N cr == (7-1)推导如下：临界状态下：微弯时截面C 处的内外力矩平衡方程为：/22=+Ny dz y EId(7-2) 令EI N k/2=，则： 0/222=+y k dz y d (7-3)解得：kz B kz A y cos sin += (7-4)边界条件为：z=0和l 处y=0；则B=0，Asinkl=0，微弯时πn kl kl A ==∴≠,0sin 0 最小临界力时取n=1，l k /π=,故 2222//λππEA l EI N cr == (7-5)其它支承情况时欧拉临界力为：2222/)/(λπμπEA l EI N cr ==(7-6)欧拉临界应力为： 22/λπσE cr =(7-7)实际上轴心受压杆件存在着各种缺陷：残余应力、初始弯曲、初始偏心等。
深基坑工程——第七章排桩1-悬臂桩
一、悬臂桩的设计计算内容
(1) 悬臂桩嵌固深度的确定。 (2) 支护结构体系的内力分析和结构强度计算。 (3) 基坑的稳定性验算。 (4) 基坑底抗渗流稳定验算。 (5) 基坑的变形计算，内容包括支护结构的侧向位移、 坑外地面的沉降和坑底隆起等项目。
35
二、悬臂桩的设计计算原理
悬臂桩主要依靠嵌入土内的深度，来平衡自重应力、地面 荷载及渗流等形成的侧压力。因此首先要计算嵌固深度。 其次还要计算桩所承受的最大弯距，以便核算钢板桩的截 面及灌注桩直径和配筋。
24
二、排桩的类型及止水 咬合式排桩
因场地狭窄等原因，无法同时设置排桩和隔水帷幕时，可采 用桩与桩之间咬合的形式，形成可起到止水作用的咬合式排 桩围护墙。咬合式排桩围护墙的先行桩采用素混凝土桩或钢 筋混凝土桩的类型及止水
咬合式排桩特点
1. 受力结构和隔水结构合一，占用空间较小。 2. 整体刚度较大，防水性能较好。 3. 施工速度快,工程造价低。 4. 施工中可干孔作业, 无须排放泥浆, 机械设备噪音低、振 动少, 对环境污染小。 5. 对成桩垂直度要求较高，施工难度较高。
常用钢板桩截面形式 (a) Z型;(b) U型 ;( c )一字型;(d)组合型
a）U形板(桩a) 相互连接
b）Z形板桩(b相) 互连接 c）H形(c)板桩
锁口——形成整体，具有较好的隔水能力。
7
钢板桩＋水平支撑
U型钢板桩
插打
入土
U型板桩相互连接
8
9
9
10
10
SMW工法（劲性水泥土搅拌桩）--板式支护-钢板桩
3
一、排桩围护结构的概念
排桩围护结构：是采用连续的柱列式排列的桩 体形成的围护结构。 根据排桩中单个桩体的成桩工艺的不同，可分 为：钻孔灌注桩、预制混凝土桩、挖孔桩、压浆桩、 SMW工法（型钢水泥土搅拌桩）等。 横截面形状主要有圆形和板状两大类。
土力学第七章课后习题答案答案
7-1 某挡土墙高6m，填土ψ＝34°，c＝0，γ＝19kN/m3，填土面水平，顶面均布荷载q ＝10kPa，试求主动土压力及作用位置。
解7-2 某挡土墙，墙背填土为砂土，试用水土分算法计算主动土压力和水压力。
解7-3 某挡土墙，墙高5m，墙背倾角10°，填土为砂，填土面水平β＝0，墙背摩擦角δ＝15°，γ＝19kN/m3，ψ＝30°，c＝0，试按库仑土压力理论和朗肯土压力理论计算主动土压力。
解(1)按库仑土压力理论计算α＝80°，β＝0，δ＝15°，η＝0，ψ＝30°，K q＝1主动土压力系数(2)按朗肯土压力理论计算朗肯主动土压力适用于墙背竖直(墙背倾角为0)、墙背光滑(δ＝0)、填土水平(β＝0)的情况。
该挡土墙，墙背倾角为10°，δ＝15°，不符合上述情况。
现从墙脚B作竖直线BC，用朗肯主动土压力理论计算作用在BC面上的主动土压力。
近似地假定作用在墙背AB 上的主动土压力为朗肯主动土压力正。
与土体ABC重力G的合力。
作用在BC上的朗肯主动土压力土体ABC的重力作用在AB上的合力E合力E与水平面夹角θ7-4 某拱桥，高6m，土层分布和土指标如图所示，试计算墙背静止土压力和被动土压力(K0＝0.5)。
解(1)静止土压力计算a点σ0＝0b点σ0＝K0γh＝0.5×18×4＝36kPa6点黏土顶面σ0＝0.5×18.0×4＝36kPac点σ0＝0.5×(γ1h1+γ2h2)＝0.5×(18×4+17.5×2)＝0.5×107＝53.5kPa(2)被动土压力计算7-5 某挡土墙高12m,试计算主动土压力。
解将地面均布荷载换算成填土的当量土层厚度。
a点土压力强度e a＝γhK a1＝20×2.5×0.333＝16.65kPab点土压力强度e b1＝γhK a1＝20×(2.5+2.0)×0.333＝29.97kPab点水位处土压力强度e b2＝20×(2.5+2.0)×0.39＝35.1kPac点土压力强度e c＝(q+γ1h1+γ2h2)×K a2＝(50+20×2+10×10)×0.39＝74.1kPab点水压力强度e bw＝0c点水压力强度e cw＝γw h＝10×10＝100kPa总压力E＝E a+E w＝592.6+500＝1092.6kN/m7-6 某挡土墙高6m，试计算墙所受到的主动土压力。
地基稳定性评价方法
建筑地基的稳定性分析和评价《岩土工程勘察规范》(GB 50021-2001) (2009年版) 4.1.11第3款规定应“分析和评价地基的稳定性……”，由于该部分内容在规范中较分散，各位同行在岩土工程勘察报告编写时，往往感到无从下笔，现归纳如下，供参考，不当之处望不吝赐教。
一、地基稳定性地基稳定性，一说是地基在外部荷载(包括基础重量在内的建筑物所有的荷载)作用下抵抗剪切破坏的稳定安全程度；二说是各类工程在施工和使用过程中，地基承受荷载的稳定程度；还有表达为与地基岩土体在承受建筑荷载条件下的沉降变形、深层滑动等对工程建设安全稳定的影响程度。
因此，地基稳定性是一个很模糊的概念，其分析和评价可以包含在场地稳定性分析和评价和地基分析和评价之中。
总之，稳定性评价的目的是为了避免由于建（构）筑物的兴建可能引起地基产生过大的变形、侧向破坏、滑移造成地基破坏从而影响正常使用。
按照(GB 50021-2001) (2009年版) 14.1.3、14.1.4规定，岩土体的稳定应在定性分析的基础上进行定量分析。
评价地基稳定性问题时按承载力极限状态计算，评价岩土体的变形时按正常使用极限状态的要求进行验算。
二、地基稳定性分析评价内容影响地基稳定性的因素，主要的是场地的岩土工程条件、地质环境条件、建（构）筑物特征等。
一般情况下，需要对如下建（构）筑物进行地基稳定性评价：经常受水平力或倾覆力矩的高层建筑、高耸结构、高压线塔、锚拉基础、挡墙、水坝、堤坝和桥台等。
通常涉及到岩土工程方面主要的内容有：（1）岩土工程条件包括组成地基的岩、土物理力学性质，地层结构。
特别是有特殊性岩土，隐伏的破碎或断裂带，地下水渗流等特殊情况；（2）地质环境条件包括是否建造在斜坡上、边坡附近、山区地基上，建（构）筑物与不良地质作用、特殊地貌的关联度和可能引起地基破坏失稳的各种自然因素或组合。
如岩溶、滑坡、崩塌、采空区、地面沉降、地震液化、震陷、活动断裂、岸边河流冲刷等。
第7章线性系统的稳定性分析
(b)外加扰动
(c)系统稳定
(d)系统不稳定
临界稳定：扰动消失后，如果系统的输出与原始 平衡状态之间存在恒定偏差，或输出维持等幅振 荡，则系统处于临界稳定状态。
稳定
临界稳定
不稳定
说明： （1）在经典控制论中，将临界稳定视为不稳定。 原因： ①在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或 线性化； ②实际系统参数的时变特性； ③系统必须具备一定的稳定裕量。
t o
则系统（渐近）稳定。
b1s m 1 bm 1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
1
j
j j )][s ( j j j )]
令xi(t)=0，此时在扰动输入n(t)作用下系统的闭 环传递函数为：
X ( s) G2 ( s ) N ( s) o 2 N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0
b0 s m b1s m1 bm1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
j
j j )][s ( j j j )]
假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号 δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应。这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题。 显然，当t→∞时，如果 lim x t 0
在控制工程中，一般取a0为正值。如果a0为负值， 则可在特征方程的两边同乘以-1使a0变成正值。则上述结 论可以归纳为：要使全部特征根s1、s2、…、sn都具有负 实部，则特征方程的各项系数a0、a1、a2、…、an均必须 为正值，即
信号与系统教案(吴大正)第7章
l
2s + 4 H 例: ( s ) = 3 s + 3s 2 + 5s + 3
用级联型, 用级联型,并联型实现
1 .级联型实现 级联型实现
2( s + 2 ) H( s ) = ( s + 1 )( s 2 + 2 s + 3 )
2 (s+2) . 2 = ( s + 1 ) ( s + 2s + 3 )
连续因果系统稳定性判断准则 ——罗斯-霍尔维兹准则 罗斯罗斯
对因果系统,只要判断 的极点, 对因果系统,只要判断H(s)的极点,即A(s)=0的根 的极点 的根 称为系统特征根)是否都在左半平面上, (称为系统特征根)是否都在左半平面上,即可判定系统 是否稳定,不必知道极点的确切值. 是否稳定,不必知道极点的确切值. 所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式. 所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式. 1,必要条件—简单方法 必要条件— 一实系数多项式A(s)=a =0的所有根位于左半开 一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开 平面的必要条件是: 平面的必要条件是:
c n 1 = 1 a n 1 an a n 1 an 2 an 3
cn 3 = 1 an an 4 an 5
…
a n 1 a n 1
行由2, 行同样方法得到 一直排到第n+1行. 行同样方法得到. 第4行由 ,3行同样方法得到.一直排到第 行由 行 罗斯准则指出:若第一列元素大于零,则A(s)=0所有的 罗斯准则指出:若第一列元素大于零, A(s)=0所有的 根均在左半开平面.若第一列元素出现符号改变, 根均在左半开平面.若第一列元素出现符号改变,则符 号改变的总次数就是右半平面根的个数. 号改变的总次数就是右半平面根的个数.
第七章 稳定性
2
dt
ess 其中， sup表示真上确界。所谓函数在点集 Q 上的真上确界是指它在 Q 中除某个零测度集外的上 确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。
在空间 L p , 中，所有对 t 0 除去测度为 零的集合上函数的全体所构成的集合记为L p [0,) ， 它是L p , 的一个闭空间。因为实际信号均满 足 t 0，所以我们讨论的信号均属于 L p [0,) 空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素ut 可以是单个的函数，也可以是向量函数。
由特征方程
，得
a1 a12 4a0 conx1e 2
设 a0 0, a1 0, 则
①当 cos x1e 0 时，系统在 xe 渐近稳定；
1 1 2 ② cos x1e 0 时，1 2 (a1 a1 4a0 cos x1e ) 2 (a1 a1 ) 0
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在控制系统中，经常要面临各种信号，这些 信号通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统 在这些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函 数。 因此，一个系统可以看成是从一个函数空间到 另一个函数空间的映射，即算子。与向量和矩阵的 情况类似，如果在函数空间引入范数的概念来表述 信号在某种工程意义上的强度，以此来描述控制系 统的性能，那么，系统作为算子时的范数就反映了 系统在传递信号过程中的一种“增益”，它是描述 系统性能的一个重要手段。
f1 f1 f1 x x n y n 1 G( y) o( y 2 ) f n f n f n y n xn x x y 0 x1 e
定理 1
7.1
数学基础知识
第6及7章地下工程围岩稳定性分析
第６、7章 地下工程围岩稳定性分析学习指导：本章主要介绍了两部分内容：（一）山岩压力与围岩稳定性分析，（二）有压隧洞稳定性分析。
前部分介绍了围岩应力重分布，地下洞室脆性围岩和塑性围岩的变形破坏形式，影响地下工程岩体稳定的因素，着重介绍了山岩压力与围岩稳定性分析方法，其中包括山岩压力的概念、影响因素，太沙基理论；后部分重点介绍了围岩内附加应力的计算、有压隧洞围岩和衬砌的应力计算。
重 点：1 地下洞室开挖引起的围岩应力重分布2 地下洞室围岩的变形破坏3 地下工程岩体稳定性的影响因素4 洞室围岩稳定性分析6.1 地下洞室开挖引起的围岩应力重分布由于在岩体内开挖洞室，洞室围岩各质点的原有应力的平衡状态就受到破坏，各质点就要产生位移调整，以达到新的平衡位置。
岩体内某个方向原来处于紧张压缩状态，现在可能发生松胀，另一个方向可能反而挤压的程度更大了。
相应地，围岩内的应力大小和主应力方向也发生了改变，这种现象叫做围岩应力重分布。
围岩应力重分布只限于围岩一定范围内，在离洞壁较远的岩体内应力重分布甚微，可以略去不计。
地下开挖引起的围岩变形是有一定规律的。
变形终止时围岩内的应力就是重新分布的应力。
这个重新分布的应力对于评价围岩的稳定性具有重要意义。
为了便于说明起见，我们在这一节中对于最简单的条件(即在连续的均质的各向同性的岩体内开挖圆形隧洞，而且岩体的侧压力系数10=K ，即静水压力式的初始应力状态)下的围岩应力重分布问题，作定性分析，以便对于应力重分布的情况有一概念。
如图6-1所示，设岩体为连续的、均质的以及各向同性的，其侧压力系数为10=K ，亦即岩体的初始应力状态为静水压力式的。
此外，洞室的长度远较横截面的尺寸为大，所以可作为平面应变问题来研究。
在地下开挖以前，岩体内任一点A 的应力，即等于该点的自重应力v p ，而且由于10=K ，所以通过该点任何方向的应力都是v p 。
如果用极坐标来表示该点的应力状态，则该点的应力为：v r p =0σv p =0θσ式中 0r σ 岩体的径向应力；0θσ 岩体的切向应力。
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第七章 稳定性验算整体稳定问题的实质：由稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
注意：截面中存在压应力，就有稳定问题存在！如：轴心受压构件（全截面压应力）、梁（部分压应力）、偏心受压构件（部分压应力）。
局部稳定问题的实质：组成截面的板件尺寸很大，厚度又相对很薄，可能在构件发生整体失稳前，各自先发生屈曲，即板件偏离原来的平衡位置发生波状鼓曲，部分板件因局部屈曲退出受力，使其他板件受力增加，截面可能变为不对称，导致构件较早地丧失承载力。
注意：热轧型钢不必验算局部稳定！第一节 轴心受压构件的整体稳定和局部稳定一、轴心受压构件的整体稳定注意：轴心受拉构件不用计算整体稳定和局部稳定！轴心受压构件往往发生整体失稳现象，而且是突然地发生，危害较大。
构件由直杆的稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的弯曲变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
这种现象就叫做构件的弯曲失稳或弯曲屈曲。
不同的截面形式，会发生不同的屈曲形式：工字形、箱形可能发生弯曲屈曲，十字形可能发生扭转屈曲；单轴对称的截面如T 形、Π形、角钢可能发生弯曲扭转屈曲；工程上认为构件的截面尺寸较厚，主要发生弯曲屈曲。
弹性理想轴心受压构件两端铰接的临界力叫做欧拉临界力：2222//λππEA l EI N cr == (7-1)推导如下：临界状态下：微弯时截面C 处的内外力矩平衡方程为：0/22=+Ny dz y EId (7-2)令EI N k/2=，则： 0/222=+y k dz y d (7-3)解得： kz B kz A y cos sin += (7-4)边界条件为：z=0和l 处y=0；则B=0，Asinkl=0，微弯时πn kl kl A ==∴≠,0sin 0 最小临界力时取n=1，l k /π=,故 2222//λππEA l EI N cr == (7-5) 其它支承情况时欧拉临界力为：2222/)/(λπμπEA l EI N cr == (7-6)欧拉临界应力为：22/λπσE cr = (7-7)实际上轴心受压杆件存在着各种缺陷：残余应力、初始弯曲、初始偏心等。
此时的极限承载力N u ，y u Af N /=ϕ叫整体稳定系数。
残余应力的分布：见P104、P157，残余应力的存在使构件受力时过早地进入了弹塑性受力状态，使屈曲时截面抗弯刚度减小，导致稳定承载能力降低，降低了构件的临界应力。
令k=b e /b; 则 23222/;/y cr x cr Ek Ek λπσλπσ== (7-8)所以残余应力对绕弱轴的临界应力的降低影响要比对绕强轴的要大。
初始弯曲、初始偏心使理想轴心受压构件变成偏心受压构件，使稳定从平衡分枝（第一类稳定）问题变成极值点（第二类稳定）问题，均降低了构件的临界应力。
我国规范考虑残余应力、1000/l 的初弯曲、未计入初偏心，采用极限承载力理论进行计算，用计算得到的96条柱子曲线（最后分成3组）表达，同时用表和公式的形式给出ϕλ-的关系。
见P162图5-17。
规范规定：轴心受压构件的整体稳定要验算： f A N ≤=)/(ϕσ (7-9) 其中：ϕ-轴心受压构件的整体稳定系数，参见P496开始的附表。
注意不同的钢材、不同的截面形式（分a 、b 、c 、d 四类，见P163表5-4）。
拟合公式为：215.0≤λ时，211λαϕ-= (7-10)当215.0>λ时222322322/]4)()[(λλλλααλλααϕ-++-++= (7-11)其中Ef y πλλ=叫构件的相对长细比。
321,,ααα见P164表5-6。
二、轴心受压构件的局部稳定轴心受压构件的板件屈曲，实际上是薄板在轴心压力作用下的屈曲问题，相连板件互为支承。
四面简支单向均匀受压的弹性矩形薄板（尺寸a ×b ），其弯曲平衡微分方程为：0)2(224422444=∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂z uN y u y z u z u D (7-12) 式中：u-薄板的挠度；N-单位板宽的压力；)1(1223ν-=Et D ，板的柱面刚度； 解得： ∑∑∞=∞==11sin sin m n mnby n a z m A u ππ (7-13)边界条件：z=0,z=a,y=0,y=b 时u=0，弯矩=0 最小临界力： 22222)(mb a m a DN cr +=π或222)(mb a a mb b D N cr +=π (7-14) 令2)(mb a a mb +=β，22bD N cr πβ=， 临界应力： 222)()1(12/bt E t N cr crνβπσ-== (7-15)其它支承条件可引入弹性嵌固系数χ；弹塑性屈曲引入系数E E t /,=ηη；临界应力完整的格式为：2222)100(6.18)()1(12b t bt E crηχβνηχβπσ=-= (7-16) 确定板件宽厚比或高厚比的原则是：局部屈曲临界力大于或等于整体临界应力得等稳定原则，我国规范规定：工字形轴心受压构件的板件宽厚比限值： 翼缘： y f t b /235)1.010(/λ+≤' (7-17) 腹板： y w f t h /235)5.025(/0λ+≤ (7-18) 其中：λ-构件的长细比；当30≤λ时取30=λ；当100≥λ时取100=λ；T 形轴心受压构件的板件宽厚比限值：翼缘： y f t b /235)1.010(/λ+≤' (7-19) 腹板： y w f t h /235)1.010(/0λ+≤ (7-20)箱形轴心受压构件的板件宽厚比限值：y f t b /23540/0≤；y w f t h /23540/0≤ (7-21)圆管截面轴心受压构件的板件宽厚比限值：)/235(100/y f t D ≤； (7-22)注意：热轧型钢不必验算局部稳定！对工字形截面和箱形截面，如果板件宽厚比不满足要求，可以采用设置纵向加劲肋的办法予以加强。
也可以让腹板中间部分屈曲，在计算构件的强度和稳定时，仅考虑腹板计算高度边缘范围内两侧宽度各为y w f t /23520的部分作为有效截面，在计算整体稳定系数ϕ时应用全截面计算。
P173第二节 梁的整体稳定和局部稳定一、钢梁的整体稳定一般梁的侧向刚度较小，在临界状态时，有一个很小的侧向干扰力，结构在侧向刚度方向的变形即迅速增大，结构中出现很大的侧向弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。
钢梁侧向失稳的特点在于：截面中有一半是弯曲拉应力，会把截面受拉部分拉直而不是压屈。
由于受拉翼缘对受压翼缘侧向变形的牵制，梁整体失稳总是表现为受压翼缘发生较大侧向变形而受拉翼缘发生较小侧向变形的弯扭屈曲。
钢梁发生整体失稳失的临界弯矩为M cr ，临界应力为cr σ；令：y cr bf /σϕ=，b ϕ叫梁的整体稳定系数。
双轴对称截面弹性简支梁， 两端受纯弯作用，临界状态时平衡微分方程为：dzMdu M dz d EI dz d GI MM dz u d EI M M dz v d EI w t y x /////332222==-=-=-==-ζηξϕϕϕ (7-23)边界条件：在z=0和z=l 处，0,0=''=ϕϕ解得： )1(2222wtt w ycr EI GI l I I l EI M ππ+=(7-24) x cr cr W M /=σ (7-25))/(/y x cr y cr b f W M f ==σϕ (7-26)单轴对称截面、不同支承情况、不同荷载情况分别引入321,,βββ，简化后有不同的整体稳定系数的算法。
对弹塑性整体失稳，应将弹性稳定系数b ϕ换算成弹塑性稳定系数'b ϕ。
规范规定：梁的整体稳定要验算：fW M x b x ≤=)/(ϕσ(7-27)或： f W M W M y y y x b x ≤+=)/()/(γϕσ (7-28) 其中：钢梁整体稳定系数b ϕ的计算：i.工字形简支梁y b y xy bb f h t W Ah 235])4.4(1[4320212ηλλβϕ++= (7-29) 其中：b β为钢梁整体稳定的等效弯矩系数，是所考虑的不同荷载梁的临界弯矩和临界应力与受纯弯梁的临界弯矩和临界应力的比值。
见P232b η是截面不对称系数；双轴对称截面、加强受压翼缘和加强受拉翼缘的单轴对称截面分别为：)21(),12(8.0,0b b b b bαηαηη--=-==；)/(211I I I b +=α；I 1为受压翼缘对y 轴的抗弯刚度，I 2为受拉翼缘对y 轴的抗弯刚度。
ii. 热轧普通工字钢简支梁见P233iii.热轧槽钢简支梁yb f h l bt 2355701=ϕ (7-30)iv.双轴对称工字形悬臂梁y y xy bb f h t W Ah 235)4.4(14320212λλβϕ+= (7-31)b β见P234v.yy f /235120≤λ构件受纯弯曲的'b ϕ近似公式1. 工字形双轴对称时： 2354400007.12fyb λϕ-='，取1≤'b ϕ (7-32)单轴对称时： 235)1.02(1400007.112y x b yb f Ah W +-='αλϕ，取 1≤'b ϕ (7-33)2. T 形弯矩使翼缘受压时，双角钢T 形截面 235/0017.01y y b f λϕ-=' (7-34)两板组合T形截面235/0022.01y y b f λϕ-='(7-35)弯矩使翼缘受拉时， 0.1='b ϕ (7-36)注意：当6.0>b ϕ时，换算成'b ϕ：5.1/1269.0/4646.01.1bb b ϕϕϕ+-='；取1≤'b ϕ(7-37)规范还规定如果符合下列情况之一的可不计算钢梁的整体稳定：※有面板密铺在梁的受压翼缘上并与其牢固相连，能阻止梁受压翼缘的侧向位移时。
※工字形截面简支梁受压翼缘的自由长度l 1与其宽度b 1的比值不超过下列数值 跨中无侧向支承点，荷载作用在上翼缘：y f /23513； 跨中无侧向支承点，荷载作用在下翼缘：y f /23520； 跨中有侧向支承点：y f /23516； ※箱形截面简支梁的截面高宽比6/0≤b h 且)/235(95/01y f b l ≤二、钢梁的局部稳定热轧型钢梁一般都有较大的板件厚度，可不必验算局部稳定！组合截面梁受压翼缘的局部稳定应限制其宽厚比，腹板一般考虑设置加劲肋。