双曲线的简单几何性质练习题
高二数学寒假作业 专题06 双曲线的简单几何性质(练)(含解析)
专题6 双曲线的简单几何性质【练一练】一．选择题1.已知双曲线2222x y 1a b -=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为4y x 3=，则双曲线的离心率为( ) ()()()()52157A B C D 33422. 设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x 【答案】C【解析】试题分析：由题意知，2b=2,2c=23，则b=1,c=3,a=2；双曲线的渐近线方程为2y =x 2±.3．设椭圆C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1 C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1 【答案】A【解析】试题分析：依题意：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝513，a ＝13，∴c ＝5，焦点为(±5,0)．由双曲线定义，C2为双曲线，且a ＝4，c ＝5，b2＝9。
4. 已知双曲线C:22x a －22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A 、y=±14x （B ）y=±13x （C ）y=±12x （D ）y=±x5. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12二、填空题6. 两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e ＝______. 【答案】13【解析】试题分析：a+b=5,ab=6，解得a b ，的值为2或3.又a b >，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而13e=3c a =.7. 与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为 __________．三．解答题8. 设A 、B 分别是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a ，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求此双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于D 、E 两点，且在双曲线的右支上存在点C ，使得OD →＋OE →＝mOC →，求m 的值及点C 的坐标．。
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含
2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=,设双曲线方程为=1(a>0),则c=a,一条渐近线为y=x,∴,∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.±x7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.19.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.能力提升1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()A.x2-y2=1B.x2-=1C.y2-2x2=1D.=1C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;对于B,其离心率为,符合题意;对于C,其离心率为,不符合题意;对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e>B.1<e<C.e>2D.1<e<2O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.±y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,∴c1=4,b1=3,∴椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e>1,∴e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,∴c=4,∴a2=4,b2=12,∴双曲线C2的标准方程为=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020-2021高中数学人教版1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析第二章2。
22。
2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C)A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D．以上都不对[解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C)A．2B．2错误!C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。
3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（C)A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2）[解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!.∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2C．错误!D．2错误!［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。
又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，故选D．5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。
双曲线的定义与简单几何性质
1．3＜m＜5是方程+=1表示的图形为双曲线的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）3．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=14．已知点F1（﹣3，0）和F2（3，0），动点P到F1、F2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为（）A．B．C．D．5．已知双曲线上一点P到双曲线的一个焦点距离为15，则点P到另外一个焦点的距离为（）A．3或27 B．3 C．27 D．56．已知两个圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．88．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B．C．a D．b参考答案与试题解析1．3＜m＜5是方程+=1表示的图形为双曲线的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】利用充分但非必要条件的定义，即可得出结论．【解答】解：3＜m＜5时，m﹣5＜0，m2﹣m﹣6＞0方程+=1表示的图形为双曲线；方程+=1表示的图形为双曲线，则（m﹣5）（m2﹣m﹣6）＜0，∴3＜m＜5或m＜﹣2，∴3＜m＜5是方程+=1表示的图形为双曲线的充分但非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分但非必要条件的定义，考查双曲线方程，比较基础．2．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．3．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得．【解答】解：由题设知：焦点为（，0），2a=﹣=2，∴a=，c=，b=1∴与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是﹣y2=1．故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握．4．已知点F1（﹣3，0）和F2（3，0），动点P到F1、F2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为（）A．B．C．D．【分析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为，由题设知c=3，a=2，由此能出点P的轨迹方程．【解答】解：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为（x＞0）（a＞0，b＞0），由题设知c=3，a=2，b2=9﹣4=5，∴点P的轨迹方程为（x＞0）．故选B．【点评】本题考查点P的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答．5．已知双曲线上一点P到双曲线的一个焦点距离为15，则点P到另外一个焦点的距离为（）A．3或27 B．3 C．27 D．5【分析】求出双曲线的a，b，c，设|PF1|=15，运用双曲线的定义，求得|PF2|=3或27，讨论P在左支和右支上，求出最小值，即可判断P的位置，进而得到所求距离．【解答】解：双曲线的a=6，b=8，c=10，设左右焦点为F1，F2．则有双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=12，可设|PF1|=15，则有|PF2|=3或27，若P在右支上，则有|PF2|≥c﹣a=4，若P在左支上，则|PF2|≥c+a=16，故|PF2|=3舍去；．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和定义，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题．6．已知两个圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线【分析】由两个圆相内切和外切的条件，写出动圆圆心满足的关系式，由双曲线的定义确定其轨迹即可．【解答】解：设动圆圆心为M，半径为R，由题意|MO1|=R﹣2，|MO2|=R+4，所以|MO2|﹣|MO1|=6（常数）且6＜8=|O1O2|故M点的轨迹为以，O1O2为焦点的双曲线的一支．故选C．【点评】本题考查定义法求轨迹方程、两圆相切的条件等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．8．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B．C．a D．b【分析】由于双曲线的焦点在x轴上，所以其右焦点坐标为（c，0），渐近线方程为y=±x，则满足要求的圆的半径为右焦点到渐近线的距离，因此只需根据点到线的距离公式求之即可．【解答】解：由题意知，圆的半径是右焦点（c，0）到其中一条渐近线的距离，所以R=．故选D．【点评】本题主要考查双曲线的性质，同时考查点到线的距离公式等．。
3.2.2第1课时 双曲线的简单几何性质 练习册正文
3.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时 双曲线的简单几何性质一、选择题1.已知双曲线的方程为x 2-8y 2=32,则该双曲线的( ) A .实轴长为4√2,虚轴长为2B .实轴长为8√2,虚轴长为4C .实轴长为2,虚轴长为4√2D .实轴长为4,虚轴长为8√22.双曲线x 24-y 29=1的离心率为 ( )A .√132B .√133C .32D .433.点(3,0)到双曲线x 216-y 29=1的一条渐近线的距离为 ( ) A .95 B .85 C .65D .45 4.已知双曲线C :x 24-y 23=m (m ≠0),则当实数m 变化时,这些双曲线有( ) A .相同的焦点B .相同的实轴长C .相同的离心率D .相同的渐近线 5.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),过左焦点F 作一条渐近线的垂线,记垂足为P ,点Q 在双曲线上,且满足FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线的离心率为 ( )A .√5B .√3C .√2D .26.[2024·重庆八中高二期中] 如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 ( )A .√5748 cm B .√2878 cm C .√5744 cm D .√2874 cm7.[2024·深圳中学高二期中] 已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),点B 的坐标为(0,b ),若C 上的任意一点P 都满足|PB|≥b ,则C 的离心率的取值范围是 ( )A .(1,√5+12]B .[√5+12,+∞)C .(1,√2]D .[√2,+∞)8.(多选题)[2024·湖南雅礼中学高二月考] 已知曲线x 2m -2+y 24-m =1(m ∈R),则下列说法正确的是 ( )A .若该曲线是双曲线,则m>4或m<2B .若m ∈(2,4),则该曲线为椭圆C .若该曲线的离心率为√32,则m=125D .若该曲线为焦点在y 轴上的双曲线,则离心率e ∈(1,√2)9.(多选题)已知双曲线y 29-x 216=1的上、下焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,则下列结论正确的是 ( )A .双曲线的离心率为2B .双曲线的渐近线方程为y=±34x C .若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为9D .点P 到两条渐近线的距离的乘积为14425 二、填空题10.已知双曲线C :x 26-y 23=1,则C 的右焦点的坐标为 ,C 的焦点到其渐近线的距离是 .11.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√103,双曲线上的点到焦点的最小距离为√10-3,则双曲线上的点到点A (5,0)的最小距离为 .12.[2024·河南商丘部分学校高二期中] 已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M 是C 右支上的一点,∠F 1MF 2=θ,△MF 1F 2的周长为4a+2c ,面积为3√352a 2cos θ,则C 的离心率为 .三、解答题13.求下列双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29-y 23=1有共同的渐近线,并且经过点(√6,-1); (2)等轴双曲线C 与椭圆x 210+y 26=1有公共的焦点;(3)双曲线C 的渐近线方程为y=±√3x ,两顶点间的距离为6.14.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为√2a2,求双曲线C的渐近线方程;(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=√3|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.15.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2b2a,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,则下列结论正确的是( )A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°B.双曲线的离心率e=1+√52C.λ=√5-12D.点I的横坐标为定值a16.对于双曲线C1:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0),定义C2:x2a2+y2b2=1为其伴随曲线,记双曲线C1的左、右顶点分别为A,B.(1)当a>b时,记双曲线C1的焦距为2c1,其伴随曲线C2的焦距为2c2,若c1=2c2,求双曲线C1的渐近线方程;(2)若双曲线C1:x 24-y22=1,弦PQ⊥x轴,记直线PA与QB的交点为M,求动点M的轨迹方程.。
课时作业6:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2．2.2 双曲线的简单几何性质基础梳理1．直线与双曲线的位置关系．一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．想一想：直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双曲线相切吗？2．弦长公式．斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.想一想：当直线的斜率k 不存在或为0时，如何求弦长？自测自评1．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 2．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52 D ．33．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条基础巩固1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( ) A.53 B.43 C.54 D.323．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 272＝1B.y 29－x 272＝1 C.x 216－y 281＝1 D.y 281－x 216＝1 4．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是______________．能力提升5．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( ) A ．实半轴长相等 B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是__________． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．9．双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程．10．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．答 案基础梳理1．【答案】(2)两个 一个 没有想一想：【解析】不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．2．想一想：【解析】把直线的方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求其弦长．自测自评1．【解析】依题意，得e ＝c a ＝53.设a ＝3k ，c ＝5k ，则b 2＝c 2－a 2＝25k 2－9k 2＝16k 2，则b ＝4k .又双曲线焦点在y 轴上，∴其渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】D2．【答案】B3．【解析】过P 与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，另外x ＝1与双曲线只有一个公共点，∴l 的条数是3.【答案】B基础巩固1．【解析】由题意得b ＝1，c ＝3，所以a ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即y ＝±22x .故选C. 【答案】C2．【解析】双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝c a ＝32＋423＝53. 【答案】A3．【解析】因为圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以A ，B 是双曲线的顶点．令x ＝0，则y ＝－3或y ＝3，A (0，－3)，B (0，3)，在双曲线中a ＝3，2c ＝3×2a ＝18，所以c ＝9，得b 2＝81－9＝72，因此，双曲线的标准方程是y 29－x 272＝1.故选B. 【答案】B4．【解析】由渐近线方程知b a＝3，又c ＝10， a 2＋b 2＝c 2⇒a 2＋9a 2＝10⇒a 2＝1，b 2＝9.【答案】x 2－y 29＝1能力提升5．【解析】∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 25－k＝1，其焦距是25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 25＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故焦距相等． 【答案】D6．【解析】由方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－tan θ，不妨设点A (0，0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则过这两点的直线方程为y ＝－x tan θ，该直线恰是双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.【答案】A7．【解析】由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 【答案】(±7，0)8．【解析】椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c ＝4，且满足c a＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 【答案】(4，0)，(－4，0) y ＝±3x9．【答案】解：由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1(a 2>25)； 双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1(0<b 2<25)， 点P (3，4)在椭圆上，所以16a 2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40， 双曲线过点P (3，4)的渐近线为y ＝b 25－b 2x ， 即4＝b 25－b 2×3，b 2＝16， 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1. 10．【答案】解：(1)由点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1， 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24. 设OC →＝(x 3，y 3)，由OC →＝λOA →＋OB →得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线E 上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线E 上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2. 又x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。
双曲线简单几何性质练习题
双曲线的简单几何性质练习题班级 姓名 学号1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝45．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B.2C.52D.226．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0)C ．(－3,0) D ．(－60，－12)7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为．10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．12．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝5 2；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．参考答案1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1. 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确． 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B. 2 C.52D.22解析：选B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝c a＝ 2. 6．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又e ∈(1,2)，∴1<1－k 4<4，∴－12<k <0. 7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x . 答案：y ＝±34x 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝1 10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：311．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：212．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x . 不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215. 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b2＝1.① 又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1. 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m . 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。
双曲线的简单几何性质习题集
2．3.2 双曲线的简单几何性质自测自评1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x2．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．43．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 自测自评1．解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x .答案：C2．解析：∵a 2＝2，∴a ＝ 2.又b 2＝14，∴c 2＝a 2＋b 2＝16.∴c ＝4.∴e ＝ca＝2 2. 答案：B3．解析：考虑焦点在x 轴或y 轴两种情况，选B. 答案：B忽略标准方程与渐近线的对应关系致错． 基础巩固1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 21．解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C.答案：C2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 2．解析：2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2. 答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.433．解析：根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.答案：C4．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．4．解析：∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 答案：1 能力提升5．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 5．解析：由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A6．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 6．解析：不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43(负值舍去)，∴e ＝ca＝1＋（ba）2＝1＋（43）2＝53.答案：B7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．7．解析：由题意得m ＞0，所以a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：28．双曲线C 1与椭圆C 2：x 29＋y 225＝1共焦点，且C 1与C 2的离心率之和为145，则双曲线C 1的标准方程为______________．8．解析：椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，所以c ＝4，e ＝45，所以双曲线的离心率等于145－45＝2，所以4a＝2，所以a ＝2，所以b 2＝42－22＝12.所以双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.答案：y 24－x 212＝19．设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．9．解析：双曲线x 29－y 216＝1中a ＝3，c ＝5，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 而|F 1F 2|＝2c ＝10，得|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝100， 即|PF 1|·|PF 2|＝64，S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝16 3.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．解析：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点M (3，m )在双曲线上， 所以9－m 2＝6，得m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2，所以MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，底边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝6.。
3.2.2双曲线的简单几何性质(知识解题达标测试)(原卷版)
3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1： 双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（ ） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（ ） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。
双曲线的简单几何性质(第二定义)
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
2024学年高二数学重难点和易错点专项(双曲线的简单几何性质)练习(附答案)
2024学年高二数学重难点和易错点专项（双曲线的简单几何性质）练习重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A．cm B ．24cm C ．32cmD ．cm5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等6．等轴双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为 .7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b -=的实轴长为 ．重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y =C ．y x =±D ．4y x =±12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．14．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为 .重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A ．2B ．1CD20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为y x =，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14-B ．1C ．12D ．12-21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ．23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 .25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程.重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x =30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π631．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y =32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±= D ．540x y ±=33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D37．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．32D38．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且121||2OP F F =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D39．已知双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b -=的左右焦点12F F ，，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C ．2D ．340．若0m >，双曲线1C ：2212x y m -=与双曲线2C ：2218x y m-=的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．12e e 的最小值为94B ．12e e 的最小值为32C ．12e e 的最大值为94D ．12e e 的最大值为3241．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，过其上焦点F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，并与双曲线C的一条渐近线交于点(,B A B 不重合）．若25FB FA =，则双曲线C 的离心率为 ．42．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF ，则该双曲线的离心率为 ．重难点7求双曲线离心率的取值范围44．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．C ．)2D ．)+∞45．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（ ）AB C ．2 D46．已知双曲线22221E y x a b-=：（0a >，0b >）的离心率为e ，若直线2y x =±与E 无公共点，则e 的取值范围是 .47．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b F a b-=>>为双曲线的右焦点，过点F 作渐近线的垂线()0MN MN k <，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若()2NM MF λλ=≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．(C ．D ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭48．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐ꞏ金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P ，使得直线P A ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为83，则该双曲线离心率的取值范围为 ．50．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点P （不是顶点），使得21123PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率的取值范围为 ．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（ ）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭52．设双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的上、下焦点分别为12,F F P 是C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，则=a （ ）A ．8B ．4C ．2D ．153．设k 为实数，已知双曲线2214x y k-=的离心率(2,3)e ∈，则k 的取值范围为54．已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的离2，则λ的值为 ．55．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，2120PF F F ⋅= ，O为坐标原点，过点O 作1F P 的垂线，垂足为点H ，若双曲线的离心率e =存在实数m 满足1OH m OF =，则m = .56．已知双曲线22:113x y C m m-=+-m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,157．点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，M 为12PF F △的内心，若双曲线C 的离心率32e =，且121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2，则λ=（ ） A ．12 B ．34C ．1D ．23重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s ，已知各观测点到该中心的距离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上) A ．西偏北45°方向，距离B ．东偏南45°方向，距离C ．西偏北45°方向，距离D ．东偏南45°方向，距离59．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．2)a 万元B ．5a 万元C ．1)a 万元D ．3)a +万元60．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是 ．（结果精确到0.1m ）61．如图，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F .，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒，若C '的离心率为C 的离心率的4倍，则mn= .62．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm ，上口直径为40cm ，底部直径为26cm ，最小直径为24cm ，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．63．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠.若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论正确的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若点T 坐标为()1,0，直线PT 与C 相切，则212PF =64．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5tan12CAB∠=-，AB BD⊥，则双曲线E的离心率为．参考答案重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详细分析】根据题意列出方程组222243c a c a ⎧=⎨=+⎩进行求解即可. 【答案详解】因为12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，所以24c a =，即2c a =，即224c a =， 又因为223c a =+，解得2214a c ⎧=⎨=⎩，所以c =2，所以该双曲线的焦距为2224c =⨯=.故选：D2．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-【答案】C【详细分析】根据双曲线的方程，求得1,a b ==，结合题意，列出方程，即可求解.【答案详解】由双曲线221x y m-=，可得0m >，且1,a b ==，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3a b =，即1=19m =. 故选：C.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【详细分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【答案详解】把x c =代入22221x y a b -=中，得2b y a =±，即2bMF a=，因为AF a c =+，2MF AF =， 所以()22b a c a=+⇒22222c a ac a -=+，又3c =，所以2230a a +-=，解得1a =，3a =-舍去，则22a =. 故选：A4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A ．cmB ．24cmC ．32cmD ．cm【答案】D【详细分析】求出4a =，设出(),M r b ，代入双曲线方程，求出r =. 【答案详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，所以4a =.设M 是双曲线C 与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r ，则(),M r b ，所以222214r b b -=，解得r =2r =.故选：D5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等【答案】B【详细分析】根据双曲线的性质逐一详细分析判断即可. 【答案详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确； 因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误； 因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误； 因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误. 故选：B.6．等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为 .【答案】【详细分析】根据等轴双曲线定义得到221a b ==，进而求出c =.【答案详解】由题意得，221a b ==，故2222c a b =+=，故c =2c =.故答案为：7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b-=的实轴长为 ．【答案】4【详细分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求解.【答案详解】由于12MF F △的面积为122M c y cb ⨯⨯≤，由题意知22222,,c b c a b c ⎧⋅=⎪=⎨⎪=+⎩所以2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线2C 的方程为22143y x -=，则2C 的实轴长为4．故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y =D．2y x =±【答案】C【详细分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【答案详解】由题意可得：双曲线()22102y x a a a -=≠渐近线斜率为k ==则其渐近线方程为：y =． 故选：C9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y = C．y =D ．2y x =±【答案】B【详细分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出,a b 作答.【答案详解】由点,2)e 在双曲线22221x y a b -=上，得2222241461e a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则222420e a b --=，即2222214b e e a==--，整理得42560e e -+=，解得22e =或23e =， 当22e =时，22a b =，此时方程22461a b -=无解， 当23e =时，222b a =，而22461a b -=，解得1,a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为y =. 故选：B10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【详细分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【答案详解】由双曲线22139x y -=，可得3a b =，所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=，所以两渐近线y =的夹角为60︒. 故选：C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A．2y x =± B．y = C ．y x =±D．4y x =±【答案】B【详细分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得,a b 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【答案详解】由双曲线2221x y -=，可得其标准方程为22112x y -=，所以,12a b ==，则双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 故选：B.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关【答案】BC【详细分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d b =，便可得出结论. 【答案详解】设双曲线C 的焦距为2c ，不妨取右焦点F 的坐标为(),0c ，如下图所示：双曲线C 的渐近线方程是by x a=±，即bx ay ±=0，所以===bcd b c， 所以d 与a 无关，与b 有关. 故选：BC.13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．【答案】3【详细分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【答案详解】2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为6y x a =±，所以623a a =⇒=，故答案为：314．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为.2n =⇒=，进而求出双曲线的离心率.【答案详解】双曲线的一条渐近线方程为0nx =，即y =，2n =⇒=，故双曲线22:12y C x -=，所以双曲线的离心率为1e ==重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=【答案】C【详细分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【答案详解】由题意双曲线2222:1y x C a b-=的焦点在y 轴上，则24a =，2a =，又2a b -=-，则1b =，故C 的标准方程为2214y x -=.故选：C16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】A【详细分析】根据条件列关于a ，b ，c 的方程组求解即可.【答案详解】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由已知得222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线的标准方程为22144x y -=故选：A.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【详细分析】由距离公式得出4b =，进而由双曲线的性质得出方程. 【答案详解】右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=4b ==，因为实轴长为26a =，所以3a =，即C 的方程为221916x y -=.故选：D18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【详细分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【答案详解】在椭圆22185x y +=中，c =，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A．2 B ．1CD 【答案】B【详细分析】根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线的方程，代入P 点坐标，由此求得m 的值. 【答案详解】法一：双曲线的几何性质由题知22224,2,a c e abc a =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =. 法二：由题知24a c e a =⎧⎪⎨===⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =.故选：B20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为2y x =±，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14- B．1C ．12 D．1【答案】A【详细分析】根据渐近线方程、实轴长求得,m n ，由此求得m n -.【答案详解】依题意222222a m ab n a m ⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪==⎪⎝⎭⎩，解得511,,44m n m n ==-=-. 故选：A21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．【答案】2211818y x -=【详细分析】根据焦点坐标及题意，设方程为22221(0)y x a a a-=>，根据焦点坐标，可求得2a ，即可得答案.【答案详解】因为一个焦点是()10,6F -，所以6c =，且焦点在y 轴，所以设等轴双曲线方程为22221(0)y x a a a-=>，所以22236c a a =+=，解得218a =，所以双曲线标准方程为2211818y x -=，故答案为：2211818y x -=.重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ． 【答案】221912y x -=【详细分析】设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，根据双曲线C 经过的点求得λ，从而求得双曲线C 的标准方程.【答案详解】由双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，可设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，又C 过点(，所以34λ=-，22316124x y -=-，整理得双曲线C 的标准方程是221912y x -=．故答案为：221912y x -=23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．【答案】221916y x -=【详细分析】设所求双曲线的方程为22221y x a b -=，由题意有2225a b +=且34a b =，解出22,a b 即可.【答案详解】双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =?，由焦点坐标是()0,5，可设所求双曲线的方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>，得2225a b +=，双曲线渐近线的方程为a y x b =±，由题意有34a b =， 解得29a =，216b =，所以双曲线的方程为221916y x -=.故答案为：221916y x -=.24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 . 【答案】221182x y -=【详细分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【答案详解】由方程2219x y -=，则其渐近线方程为13y x =±，由椭圆2214020x y +=，则其焦点为()±，由题意可知，双曲线C 的标准方程设为22221x y a b -=，则221320b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得22182a b ⎧=⎨=⎩，则双曲线C 的标准方程为221182x y -=，故答案为：221182x y -=.25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【详细分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【答案详解】与双曲线C 有共同的渐近线的双曲线方程可设为222y x λ-=，当1λ=-时，得到双曲线方程为2212y x -=，显然该双曲线与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：2212y x -=26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.【答案】22168x y -=【详细分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【答案详解】与双曲线22143y x -=有相同的渐近线的双曲线可设为22(0)43y x λλ-=≠又所求双曲线过点()3,2M -，则()222343λ--=，则2λ=- 则所求双曲线的方程为22243y x -=-，即22168x y -=.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.【答案】221944x y -= 【详细分析】设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，代入点A 可得双曲线E 的标准方程，从而得到双曲线双曲线M 的标准方程.【答案详解】由题意，设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，∵点()3A -在双曲线E上，∴(()223169--=t ，∴14t =-，∴双曲线E 的标准方程为221944y x -=， 又双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M 的标准方程为221944x y -=. 28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F，)2F，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程. 【答案】(1)(2)221189y x -= 【详细分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，又222+=a b c，求得b =即可．（2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点()3,6Q -的坐标代入上述方程得λ即可．【答案详解】（1）由题意，易知22PF =，12F F =212PF F F ⊥.在21Rt PF F △中，14PF ==由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，22a =，即1a =. ∵双曲线C的两个焦点分别为()1F，)2F，∴c =又∵222+=a b c，∴b = 故双曲线C的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=.设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为()2202y x λλ-=≠将点()3,6Q -的坐标代入上述方程，得9λ=-故所求双曲线的标准方程为221189y x -=重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±【答案】D【详细分析】由题可设，000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，0(,0)C x ，分别表示出,,AB BC AD k k k ，逐步转化，即可求得本题答案.【答案详解】因为,A B 直线过原点，所以,A B 关于原点对称，设000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --， 因为AC 与x 轴垂直，所以0(,0)C x ， 设123,,AB BC AD k k k k k k ===， 则00121001,22y y k k k x x ===， 而222222210101012232222222101010101(1)(1)y y y y y y x x b k k b b x x x x x x x x a a a⎡⎤+--⋅=⋅==---=⎢⎥+---⎣⎦所以，213232221b k k k k a⋅=⋅==，所以，222,a b a ==所以渐近线方程为y =. 故选：D30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3 C ．π6D ．π6或5π6【答案】B【详细分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【答案详解】设()()1122,,,A x y B x y ，显然线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为四边形OACB 为平行四边形，所以线段OC 的中点坐标和线段AB 的中点坐标相同，即为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此C 点坐标为()1212,x x y y ++， 因为直线OC ，AB 的斜率之积为3，所以221212122212121233y y y y y y x x x x x x +--⋅=⇒=+--， 因为点A ，B 均在E 上，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减得：22212222123y y b bx x a a-==⇒=- 所以两条渐近线方程的倾斜角为π3或2π3， 故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】B【详细分析】由离心率求得ba即得渐近线方程．【答案详解】c e a ==，222225c a b a a +==，2b a =， 故选：B32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±=D ．540x y ±=【答案】B【详细分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到425a c c +=，再根据222c ab =+，即可求解双曲线渐近线的斜率.【答案详解】作21F Q PF ⊥于点Q ，如图所示，因为122F F PF =，所以Q 为1PF 的中点，由双曲线的定义知|122PF PF a -=，所以122PF a c =+，故1FQ a c =+，因为124cos 5PF F ∠=，所以11212cos FQ PF F F F =∠，即425a c c +=，得35c a =，所以5a =，得43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=. 故选：B33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =【答案】B【详细分析】分别求出点A,B 的坐标，利用线段相等建立方程求出ba即可得解. 【答案详解】由题意得(),0F c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±．设点A ，B 的纵坐标依次为1y ，2y ，因为221221c y a b -=，所以21b y a =，所以2b AF a =．因为2bc y a=，所以bcBF a =．因为A B A F =，所以22bc ba a=，得2c b =，所以a =，故b a =C 的渐近线方程为y x =，即0x =， 故选：B ．34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y =【详细分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【答案详解】设()()2,00F c c >，()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a=±，∴22b PF a=.在21Rt PF F △中，1230PF F ∠=︒，则122PF PF =①. 由双曲线的定义，得122PF PF a -=②. 由①②得22PF a =.∵22b PF a =，∴22b a a=，即222b a =.∴ba=∴双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．【答案】 3y x =±3【详细分析】根据图形则得到tan 30b a== ，再利用离心率公式即可. 【答案详解】双曲线渐近线方程为by x a =±，因为OAB 是等边三角形，则tan 30b a== y =，即3e ===，故答案为：3y x =±重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D 【答案】A【详细分析】根据题意，先求得焦点1F 到渐近线的距离为b ，在直角1MOF △中，求得1cos bOF M c∠=，再在12MF F △中，利用余弦定理求得222343b c b =-，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【答案详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得1(,0)F c -，渐近线方程为b y x a=±，如图所示，则焦点1F 到渐近线by x a =-的距离为1MF b ==， 在直角1MOF △中，可得111cos MF bOF M OF c∠==， 在12MF F △中，由余弦定理得222212112112cos MF F F MF F F MF OF M =+-∠，即22222342243bb c b cb c b c=+-⨯⨯=-，所以2223c b =， 又由222b c a =-，所以22223()c c a =-，可得223c a =，所以双曲线的离心率为==ce a. 故选：A.。
双曲线的简单几何性质典型例题
典型例题一例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率． 解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 43±= （1）设所求双曲线方程为12222=-by a x∵43=a b ，∴a b 43= ① ∵()332-，A 在双曲线上 ∴191222=-ba ② 由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为12222=-bx a y∵43=a b ，∴a b 34= ③ ∵()332-，A 在双曲线上，∴112922=-ba ④ 由③④得492=a ，42=b∴所求双曲线方程为：144922=-x y 且离心率35=e 解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()091622≠=-λλy x ∵点()332-，A 在双曲线上，∴41991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ，即144922=-x y ． 说明：（1）很显然，解法二优于解法一．（2）不难证明与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()091622≠=-λλy x ．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02222≠=-λλb y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ． （3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．典型例题二例2 作方程21x y -=的图象．分析：∵21xy -=()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⇔111122x x x x∴方程图象应该是圆122=+y x 及双曲线122=-y x 在x 轴上方的图象．说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是()0=y x f ，，那么点()00y x P ，在曲线C 上的充要条件是()000=y x f ，”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．典型例题三例3 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵⎪⎩⎪⎨⎧-==--+2201042222x y x y x ，∴⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=当焦点在x 轴上时，由32=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为1163622=-y x 当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且6=a ，得9=b ． ∴所求双曲线方程为1813622=-x y 说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．典型例题四例 4 已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，求双曲线标准方程．分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．解：∵双曲线渐近线方程为x y 32±=，∴设双曲线方程为()019422≠=-λλλy x （1）若0>λ，则λ42=a ，λ92=b∴准线方程为：λ131342±=±=c a x ，∴13131613138=λ，∴4=λ （2）若0<λ，则λ92-=a ，λ42-=b∴准线方程为：131392λ-±=±=c a y ，∴131316131318=-λ，∴8164-=λ ∴所求双曲线方程为：1361622=-y x 或12568164922=-x y 说明：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便． （2）通过待定系数法求出参数N ．典型例题五例5 中心在原点，一个焦点为()01，F 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧===+mb ac b a 221222，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11122222m b m m a∴111122222=+-+m y m mx 为所求双曲线的标准方程． 说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．典型例题六例6 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：()0122≠=-k ky k x ，则()1312=--k k ， ∴191=-kk ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为18822=-x y 说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线()0222>=-m m y x ，则222m b a ==，∴22222m b a c =+=∴m c 2=，∴22===mm a c e 反之，如果一个双曲线的离心率2=e ．∴2=ac，∴a c 2=，222a c =，∴2222a b a =+，∴22b a =，b a = ∴双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．典型例题七例7 已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线1322=-y x 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小．解：∵1=a ，3=b ，∴2=c ，∴2=e设点P 到与焦点()02，F 相应准线的距离为d 则2=dPF∴d PF =21，∴d PA PF PA +=+21至此，将问题转化成在双曲线上求一点P ， 使P 到定点A 的距离与到准线距离和最小．即到定点A 的距离与准线距离和最小为直线PA 垂直于准线时，解之得，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ．说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．典型例题八例8 已知：()11y x M ，是双曲线12222=-by a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．分析：利用双曲线的第二定义．解：如图，设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ．当M 点在双曲线的右支上时，a x ≥1，且有e d MF d MF ==2211∴a ex c a x e ed MF +=+==12111，a ex ca x e ed MF -=-==12122 当点M 在双曲线的左支上时，a x -≤1，且有e d MF d MF ==2211∴()a ex c a x e ed MF +-=+==12111，()a ex ca x e ed MF --=-==12122 说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：在双曲线1121322-=-y x 的一支上有三个不同点()11y x A ，、()622，x B 、()33y x C ，与焦点()501，F 的距离成等差数列，求31y y +的值． 解：直接利用焦半径公式，得：a ey AF -=11，a e BF -=61，a ey CF -=31 ∴1112BF CF AF =+，∴()a e a y y e 212231-=-+，即1231=+y y注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．典型例题九例9 如图所示，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 满足EC AE λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率的取值范围． 分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过A 、B 、E 的坐标及双曲线的方程求解．解法一：以直线AB 为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则y CD ⊥轴，因双曲线过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性可知C 、D 关于y 轴对称．设()0，c A -、⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2、()00y x E ，，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由λ=，即()⎪⎭⎫⎝⎛--=+00002y h x c y c x ，，λ，得()()λλ+-=1220c x ，λλ+=10h y 设双曲线方程为12222=-b y a x ，则离心率为a c e =．由点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和ace =，代入双曲线方程得 由①得14222-=e b h ，将③代入②式中，整理得：()λλ214442+=-e ∴2312+-=e λ，又∵4332≤≤λ，∴43231322≤+-≤e ，∴107≤≤e ∴双曲线的离心率取值范围为[]107，．分析二：建立直线AC 方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．解法二：前面部分同解法一．可求得直线AC 方程为()c x chy +=32，将其代入双曲线方程222222b a y a x b =-中，得()()094849222222222222=+---c b a h a cx h a x h a c b又∵0x 、2c为上述二次方程的两根，∴()222222222094942c b h a c b a h a x c -+=⋅ ①又∵⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2在双曲线上，∴()44222-=e b h ②∵()()1220+-=λλc x ③将②③代入①中，得：()()()()2222222222294942122c c a b e a b a b e a c c ⋅--+-=⋅+-λλ ∵a c e =，∴2312+-=e λ 以下同解法一分析三：借助焦半径公式解题． ∵EC AE λ=，∴()()1220+-=λλc x ① ∴λλ+=1CAEA ，由焦半径公式，得：λλ+=⋅+--120c e a ex a ② 将①代入②，得：()()λλλλ+=⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-⋅--12122c e a c e a∵a c e =，∴2312+-=e λ 以下同解法一 说明：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：c 、h 、λ、e ）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．典型例题十例10 设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率． 分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而解出ac的值． 解：由l 过两点)0,(a ，),0(b ，得l 的方程为0=-+ab ay bx ．由点到l 的距离为c 43，得c ba ab 4322=+．将22a cb -=代入，平方后整理，得0316)(1622222=+⋅-ca c a ．令x c a =22，则0316162=+-x x ．解得43=x 或41=x ． 而a ce =，有x e 1=．故332=e 或2=e ． 因b a <<0，故212222>+=+==ab a b a ac e ，所以应舍去332=e ．故所求离心率2=e ． 说明：此题易得出错误答案：2=e 或332=e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<，从而离心率2>e ．而2332<，故应舍去． 典型例题十一例11 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ．(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，又离心率为2．分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求．由25=e ，得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-b a ． ②又222c b a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求．同理有4522=a c ，19222=-ba ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据双曲线的第二定义，有24)10(22=-+-x y x ，化简，得03612322=---x y x ，即14816)2(22=--y x ． ∴所求双曲线方程为14816)2(22=--y x ． (3)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==ace ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦定理，得)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=． 又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ， ∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ．说明：对于本题(1)的解法，由于双曲线的焦点位置没有明确，若不分情况讨论，将会造成解法的片面性．对于题(2)，容易造成以下三种误解：误解一：由10=c ，42==c a x ，得402=a ，则60222=-=a c b ．故所求双曲线方程为1604022=-y x ． 误解二：由焦点坐标)0,10(F ，知10=c ．又2==ace ，得5=a ．故7525100222=-=-=a c b ．∴所求双曲线方程为1752522=-y x ． 误解三：由2==a ce ，42=c a ，得8=a ，16=c ，则192222=-=a c b ．故所求双曲线方程为11926422=-y x ． 这三种误解的错因都是按双曲线中心在原点得出结论，造成遗漏题条件，从而导致错误的结果．题(3)虽属待定系数法，但要用到公式ab b a b a 2)(222+-=+和双曲线的定义，以及正弦定理、余弦定理等知识，具有较强的综合性．若在其中某个环节上出现错误，将无法得出正确结果．典型例题十二例11 在双曲线1131222=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差数列．(1)求31y y +；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标． 分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)． 解：(1)依题意，得B 在双曲线上支上，故A 、B 、C 三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为512=y ． AF 、BF 、CF 成等差数列，根据双曲线的第二定义，得 )512(1)512(1)5126(231-+-=-y e y e e ，故1231=+y y ．(2)由点A 、C 在双曲线上，故113122121=-xy ，113122323=-x y ．两式相减，得013))((12))((31313131=-+--+x x x x y y y y ．∴13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--．∴AC 的垂直平分线的斜率为3113x x +-．又AC 的中点坐标为)6,2(31x x +，故AC 的垂直平分线方程为 当0=x 时，225=y ，故AC 的垂直平分线过定点)225,0(．说明：1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．典型例题十三例13 已知双曲线12222=-by a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．解：设在左半支上存在P 点，使d PF PF ⋅=221，由双曲线的第二定义，知e PF PF dPF ==121，即12PF e PF =． ①再由双曲线的第一定义，得a PF PF 212=-． ②由①、②，解得121-=e a PF ，122-=e aePF ． 在21F PF ∆中，有c PF PF 221≥+， ∴c e aee a 21212≥-+-． ③利用ac e =，从③式得0122≤--e e ． 解得2121+≤≤-e ． 由1>e ，得211+≤<e ，与已知21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在． 说明：(1)解答探索性命题，一般可先设点P 存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明P 点不存在；否则，便得到P 点的位置．(2) 211+≤<e 是双曲线12222=-by a x 左支上存在P 点，使d PF PF ⋅=221成立的充要条件．典型例题十四例14 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．分析：首先应写出直线l 的方程，因此需求出AB 的中点坐标，将直线1+=kx y 与双曲线方程122=-y x 联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得到AB 中点的坐标表达式．解：由方程组⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得 022)1(22=---kx x k ． ①设),(11y x A 、),(22y x B ，AB 中点的坐标为),(00y x ． ∵直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点， ∴方程①有两个不大于-1的不等实根．令22)1()(22---=kx x k x f ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-⋅-<->-+-=∆,0)1()1(,01,0)1(8)2(2222f k kk k k 解得21<<k ，222012k k x x x -=+=，200111kkx y -=+=．∴直线l 的方程是21201122+-+=---kkx k o y 令0=x ，得1617)41(122222+--=++-==k k k y b ． ∵21<<k ，∴22-<b 或2>b ．说明：(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，0>∆是必不可少的条件． (2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑0>∆，同时要考虑方程根的取值范围，以下以双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 为例作简单说明．⎪⎩⎪⎨⎧=-12222b y ax 直线方程关于x 的一元二次方程02=++s nx mx ．①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是⎩⎨⎧<>∆≠.0,0021x x m 且典型例题十五例15 已知1l ，2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1l ，2l 与双曲线122=-x y 各有1A ，1B 和2A ，2B 两个交点．(1)求1l 的斜率1k 的取值范围；(2)若22115B A B A =，求1l ，2l 的方程； (3)若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22B A 的值．分析：第(1)小题利用直线1l ，2l 与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到1k 满足的不等式组；第(2)小题利用弦长公式求1k ，再由点斜式方程求出直线方程； 第(3)小题利用直线1l 过A 点求1k ，再由弦长公式求22B A ．解：(1)依题意，直线1l ，2l 的斜率都存在，设1l 的方程为)2(1+=x k y )0(1≠k 直线2l 的方程为)2(2+=x k y )0(2≠k ，且121-=k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(221x y x k y 消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ①若0121=-k ，则方程①只有一个解，即l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故0121≠-k ，即11≠k ．∵直线1l 与双曲线有两个不同交点，∴0)13(4)12)(1(4)22(2121212211>-=---=∆k k k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(222x y x k y 消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ②同理0122≠-k ，0)13(4222>-=∆k ．所以1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=≠≠>->-,1,1,1,013,01321212221k k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1Y Y Y ----∈k ．(2)设),(111y x A ，),(221y x B ；由方程①可得122212121-=+k k x x ，112212121--=k k x x ． ∴221212122121211)1()13)(1(4))(1(--+=-+=k k k x x k B A ③ 同理，由方程②可得2222222222)1()13)(1(4--+=k k k B A ． ④ ∵121k k -=，代入④得 2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=． ⑤ 由22115B A B A =，得2222115B A B A =．将式③和式⑤代入得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+．解得21±=k ． 当21=k 时，)2(21+=x y l ：，)2(222+-=x y l ：； 当21-=k 时，)2(21+-=x y l ：，)2(222+=x y l ：． (3)双曲线122=-x y 的顶点为)1,0(，)1,0(-． 取)1,0(1A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ，于是2112-=-=k k ．将22-=k 代入方程②得03242=++x x ．设2l 与双曲线的两个交点),(332y x A ，),(442y x B ，则2443-=+x x ，343=x x ．则24322222))(1(x x k B A -+=60]34)24[(32=⨯--=．∴15222=B A ．当取)1,0(1-A 时，由双曲线关于x 轴对称，知15222=B A ．说明：(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点； ⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点； ⇔<∆0直线与双曲线无交点．若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(2)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．典型例题十六例16 已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ，043=-y x ，求双曲线的离心率． 分析：由渐近线的斜率与a ，b 的关系得到a ，c 的关系，从而求出e ．解：(1)设双曲线方程为12222=-by a x )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ，043=-y x ， ∴43=a b ． 又∵1222222-=-==e aa c ab a b ， ∴4312=-e ．∴45=e ．(2)设双曲线方程为12222=-bx a y )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ，043=-y x ，∴43=b a ． ∵12-=e a b ，∴3412=-e ，35=e ． ∴离心率45=e 或35=e ．说明：(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：λ=-2222by a x )0(≠λ的形式，它们的渐近线为x aby ±=． (2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：若知双曲线方程为12222=-b y a x 或12222=-bx a y ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即02222=-by a x 的形式，再设出双曲线方程λ=-2222by a x )0(≠λ； 实轴长焦矩长离心率=e ；若焦点在x 轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在y 轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．典型例题十七例17 已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；(3)当10<≤k 时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点B 的坐标．分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线x y =的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．解：(1)由已知得双曲线的渐近线为x y ±=，因而S 为等轴双曲线，其中一个顶点为)2,0('A ，所以双曲线S 的方程为12222=-x y ． (2)若)2,(2+x x B 是双曲线S 的上支上到直线2-=x y l ：的距离为2的点，则22222=-+-x x ，解得2=x ，2=y ．故B 点坐标为)2,2(．(3)因为当10<≤k 时，双曲线S 的上支在直线l 的上方，所以点B 在直线l 的上方．设直线'l 与直线)2(-=x k y l ：平行，两线间的距离为2，直线'l 在直线l 的上方，双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，等价于直线'l 与双曲线S 的上支有且只有一个公共点．设'l 的方程是m kx y +=，由l 上的点A 到'l 的距离为2，可知2122=++k m k ，解得)1(22k k m -+±=，其中)1(22k k m -+-=舍去．由方程222=-x y 及m kx y +=，消去y 得，022)1(222=-++-m mkx x k ． ∵12≠k ，∴)123(8)22(4222+-=+-=∆k k k k m ． 令0=∆．∵10<≤k ，解得0=k ，552=k ． 当0=k 时，2=m ，解得0=x ，2=y ，∴点B 的坐标为)2,0(．当552=k 时，510=m ，解得22=x ，10=y ，∴点B 的坐标为)10,22(． 说明：若已知双曲线渐近线方程为0=±qy px ，则共渐近线的双曲线方程为λ=-2222p y q x ，其中λ为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为m kx y l +=：'与双曲线S 上支有且只有一个公共点问题．典型例题十八例18 如下图，给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出C 点横坐标与纵坐标的关系．解：依题意，记),1(b B -，R b ∈，则直线OA 与OB 的方程分别为0=y 和bx y -=， 设C 点坐标为),(y x ，则有a x <≤0，由OC 平分AOB ∠，知点C 到OA 、OB 距离相等，根据点到直线的距离公式， 得：21bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-=． 由0≠-a x ，得，ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得22222)1()()1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y ． 整理得：0])1(2)1[(222=++--y a ax x a y ，若0≠y ，则0)1(2)1(22=++--y a ax x a ．)0(a x <<若0=y ，则0=b ，π=∠AOB ，点C 的坐标为)0,0(，满足上式． 综上，得点C 的轨迹方程为：0)1(2)1(22=++--y a ax x a )0(a x ≤≤ (1)当1=a 时，轨迹方程化为x y =2)10(<≤x ③ 此时，方程③表示抛物线弧段(2)当1≠a 时，轨迹方程为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x ，其中a x <≤0 ④∴当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段，当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段． 说明：本题求轨迹问题，要求考生有较高的能力和扎实的基本功，同时要求对问题考虑完整和有较强的运算能力．对字母系数a 的讨论是高考重点考查的内容．典型例题十九例19 已知双曲线C 的实轴在直线2=x 上，由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M ．若4=PQ ，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为98，求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．分析：光线反射的问题，实质上是寻找点关于直线的对称点的问题，而求双曲线方程，实质上是求双曲线中点),(k h M 与a 、b 的问题．解：依题意，设双曲线中心为)2,(h M ，又点A 关于x 轴的对称点为)4,4('--A ，所以直线O A '的方程为x y =，与2=y 联立，得2=h ．设双曲线方程为1)2()2(2222=---b y a x ，焦点)2,2(1c F -，)2,2(2c F +，右准线c a x 22+=，从而1'F A 的方程为：)4(664+-=+x cy ，2'F A 的方程为：)4(664++=+x cy ． 在上面两式中分别令0=y ，则P 点坐标为)0,32(c -，Q 点坐标为)0,32(c，再由4=PQ ，则3=c ，∴P 点坐标为)0,2(-，Q 点坐标为)0,2(．在)4(6642'++=+x c y F A ：中，令98=y ，得310=x ，在31022=+c a 中，由3=c ，得42=a ，52=b ，所以，所求双曲线方程为15)2(4)2(22=---y x ．直线AP 的方程为042=++y x ，直线AQ 的方程为0432=-+y x ．说明：本题关键要掌握中心不在原点的双曲线的焦点坐标，准线方程的求法，通过逆向思维，求出x 轴上的点P 、Q 的坐标，从而使问题迎刃而解．。
双曲线的简单几何性质
3.2.2 双曲线的简单几何性质选题明细表基础巩固1.若焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±2x,则该双曲线的离心率是( A )(A)√52 (B)√5 (C)√72(D)√7解析:由题意得ab=2,所以a 2b2=4,所以a 2=4b 2=4(c 2-a 2)=4c 2-4a 2,所以5a 2=4c 2,所以(c a)2=54,所以离心率e=c a =√52.故选A.2.(2020·安徽黄山高二期末)“m<0”是“方程x 2m -y 2m -1=1表示的曲线是双曲线”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若方程x 2m -y 2m -1=1表示双曲线,则m(m-1)>0,解得m>1或m<0,所以“m<0”是“m>1或m<0”的充分不必要条件.故选A. 3.双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( A )(A)y=±√2x (B)y=±√3x (C)y=±√22x (D)y=±√32x解析:双曲线x 2a2-y 2b2=1的渐近线方程为bx ±ay=0.又因为离心率为ca=√a 2+b 2a=√3,所以a 2+b 2=3a 2,所以b=√2a(a>0,b>0).所以渐近线方程为√2ax ±ay=0,即y=±√2x.故选A.4.已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点,且AB 的中点为 N(-12,-15),则E 的方程为( B ) (A)x 23-y 26=1 (B)x 24-y 25=1(C)x 26-y 23=1 (D)x 25-y 24=1解析:设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),由题意知c=3,a 2+b 2=9, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式作差得y 1-y 2x 1-x 2=b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-12×2b 2-15×2a 2=4b 25a 2,又AB 的斜率是-15-0-12-3=1,所以4b 2=5a 2,代入a 2+b 2=9得a 2=4,b 2=5, 所以双曲线E 的标准方程是x 24-y 25=1.故选B.5.已知双曲线以△ABC 的顶点B,C 为焦点,且经过点A,若△ABC 内角的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=√21,则此双曲线的离心率为( C )(A)5-√21 (B)√21+52 (C)5+√21 (D)5-√212解析:由题意,焦距为2c ′=4,长轴长为2a ′=5-√21,所以e=5-√21=5+√21.故选C.6.已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a2+y 2b2=1,双曲线C 2的方程为x 2a2-y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( A ) (A)x ±√2y=0 (B)√2x ±y=0 (C)x ±2y=0 (D)2x ±y=0解析:e 12=c 12a 2=a 2-b 2a 2,e 22=c 22a 2=a 2+b2a2,所以e 12·e 22=a 4-b4a 4=1-(b a )4=34,所以b a =√22,所以双曲线的渐近线方程为y=±√22x.故选A.7.双曲线x 22-y 2=1的焦距是 ,渐近线方程是 .解析:由题意得a=√2,b=1,c=√a 2+b 2=√2+1=√3, 所以焦距为2c=2√3,渐近线方程为y=±ba x=±√22x.答案:2√3 y=±√22x8.双曲线与圆x 2+y 2=17有公共点A(4,-1),圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程. 解:因为点A 与圆心O 连线的斜率为-14,所以过点A 的切线的斜率为4, 所以双曲线的渐近线方程为y=±4x. 设双曲线方程为x 2-y 216=λ(λ≠0).因为点A(4,-1)在双曲线上, 所以16-116=λ,λ=25516.所以双曲线的标准方程为x 225516-y 2255=1.能力提升9.(多选题)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y 轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的( AD ) (A)离心率为√5(B)离心率为√52(C)两渐近线的夹角为60° (D)两渐近线的夹角的正切值为43解析:由题意知,这条渐近线的斜率为12,即a b =12,所以离心率e=c a =√1+(ba) 2=√1+22=√5. 渐近线的倾斜角α的正切值为tan α=12,故两渐近线夹角的正切值为tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.故选AD.10.已知双曲线x 22-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(√3,y 0)在曲线上,则PF 1→·PF 2→=( C ) (A)-12 (B)-2 (C)0 (D)4解析:由渐近线方程为y=x,知√2=1,所以b=√2.因为点P(√3,y 0)在双曲线上,所以y 0=±1.y 0=1时,P(√3,1),F 1(-2,0),F 2(2,0),所以PF 1→· PF 2→=0,y 0=-1时,P(√3,-1),PF 1→·PF 2→=0.故选C.11.已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦距为2√5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( A ) (A)x 24-y 2=1 (B)x 2-y 24=1(C)3x 220-3y 25=1 (D)3x 25-3y 220=1解析:由焦距为2√5,得c=√5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x+ y=0垂直,所以b a =12.又c 2=a 2+b 2,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x 24-y 2=1.故选A. 12.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,且a 2c =√33. (1)求双曲线C 的方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,求m 的值.解:(1)由题意得{a 2c =√33,ca=√3,解得{a =1,c =√3.所以b 2=c 2-a 2=2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 22=1.(2)设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段AB 的中点为M(x 0,y 0).由{x -y +m =0,x 2-y 22=1,得x 2-2mx-m 2-2=0(判别式Δ>0). 所以x 0=x 1+x 22=m,y 0=x 0+m=2m.因为点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=5上, 所以m 2+(2m)2=5.故m=±1.应用创新13.双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点在双曲线上,且x 1≠x 2.(1)若线段AB 的垂直平分线经过点Q(4,0),且线段AB 的中点坐标为(x 0,y 0),试求x 0的值;(2)双曲线上是否存在点A,B,使得OA ⊥OB?解:(1)由e=√2知a=b,由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在双曲线上,得{x 12-y 12=a 2,①x 22-y 22=a 2,②①-②得(x 1-x 2)(x 1+x 2)-(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0.③ 因为x 1≠x 2,所以AB 所在直线的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2,③式两边同除以(x 1-x 2),得x 0-ky 0=0, 而AB 的垂直平分线的方程为y-y 0=-1k (x-x 0),即y-y 0=-y0x 0(x-x 0),将点(4,0)代入,得-y 0=-y 0x 0(4-x 0),解得x 0=2.(2)法一 由题意知,双曲线的渐近线方程为y=±x.若点A,B在双曲线同一支上,则OA,OB的夹角小于π2;若点A,B在双曲线不同支上,则OA,OB的夹角大于π2. 综上可知,双曲线上不存在点A,B,使得OA⊥OB.法二假设存在满足条件的点A,B.设直线OA的方程为y=kx,则|k|<1.因为OA⊥OB,所以直线OB的方程为y=-1k x,且|-1k|>1,所以直线OB与双曲线无交点,故点B不可能在双曲线上,所以假设不成立,即双曲线上不存在点A,B,使得OA⊥OB.。
高中数学 3.3第2课时双曲线的简单性质练习 北师大版选
第三章 3.3 第2课时 双曲线的简单性质一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1[答案] B[解析] 双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，得b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B ．2．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[答案] C[解析] 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 [答案] A[解析] 本题考查双曲线标准方程的求法． 由题意知，焦距为10，∴c ＝5， 又∵P (2,1)在双曲线的渐近线上， ∴a ＝2b ，联立得a 2＝20，b 2＝5，故双曲线方程x 220－y 25＝1，注意焦距为2c 而不是c ，双曲线的渐近线方程的求法．4．(2014·山东理)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[答案] A[解析] e 21＝c 21a 2＝a 2－b 2a 2，e 22＝c 22a 2＝a 2＋b 2a2，∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－(b a )4＝34，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 5．(2015·天津理，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 [答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，由点(2，3)在渐近线上，所以ba ＝32，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 准线方程x ＝－7上，所以c ＝7，由此可解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1，故选D ．6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．e ＞2B ．1＜e ≤2C ．e ＞12D ．e ＜12[答案] B[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a |PF 2|＝a，∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝c a≤2，∴1<e ≤2. 二、填空题7．若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________________.[答案] 48[解析] 本题主要考查双曲线的基本性质．c 2＝a 2＋b 2＝16＋m ，又∵e ＝ca，∴e ＝2＝16＋m4，∴m ＝48. 8．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________________．[答案]62[解析] 如图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∴∠B 1F 1O ＝30°.在△B 1OF 1中，b c＝tan30°，∴b c ＝33. ∴c 2－a 2c 2＝13.∴1－a 2c 2＝13，∴a 2c 2＝23.∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62.三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0.点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43①又A 在双曲线上，则 14b 2－5a 2＝a 2b 2②②代入①，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2③ 联立②、③解得b 2＝2，a 2＝4. 故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.10．如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，求C 的离心率．[解析] 本题考查双曲线的几何性质．F 1(－c,0)，B (0，b )．∴k ＝bc ，那直线F 1B 方程为y ＝b cx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b y ＝－ba x，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b y ＝ba x得P 点坐标(－ac c ＋a ，bcc ＋a)．Q 点坐标为(ac c －a ，bc c －a )，中点N 的坐标为(a 2c b 2，c 2b )，∴MN 的直线方程为y －c 2b ＝－c b (x －a 2cb 2)．令y ＝0，∴x ＝a 2c ＋cb 2b 2，又由|MF 2|＝|F 1F 2|知a 2c ＋b 2cb 2＝3C ．∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＋1＝e 2＝32.∴e ＝62.一、选择题1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D ．14[答案] A[解析] 双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1，则有：a 2＝1，b 2＝－1m，由题设条件知，2＝－1m ，∴m ＝－14. 2．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则这个双曲线的离心率是( )A ．52B ．32C ． 3D ． 5[答案] D[解析] 由2x ＋y ＋1＝0，知此直线的斜率k 1＝－2，则给定的双曲线的一条渐近线的斜率为k 2＝12.而双曲线的一条渐近线为y ＝kx ，则k ＝14，∴e ＝ca＝1＋1k1k＝5，故选D ．3．已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A ．53 B ．56 C ．54 D ．58[答案] B[解析] 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56，选B ． 4．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程y ＝x ，得b ＝2，把点P (3，y 0)代入x 22－y 22＝1中，得y 0＝±1.不妨取P (3，1)，∵F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝3－4＋1＝0.二、填空题5．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________________．[答案] 1[解析] 双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b 2x ，又渐近线方程为y ＝±12x ，故b ＝1.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________________．[答案] (1，2＋1) [解析] 考查双曲线的性质．不妨设P 为双曲线右支上一点，由正弦定理可得 sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝PF 2PF 1＝a c ，∴PF 1PF 2＝e ，故PF 1－PF 2PF 2＝2aPF 2＝e －1，而PF 2＝2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，∴e <2＋1， 又∵e >1，∴1<e <2＋1. 三、解答题7．已知等轴双曲线x 2－y 2＝a 2及其上一点P ，求证：(1)P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方； (2)过P 作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值． [证明] (1)设P (x 0，y 0)，则x 20－y 20＝a 2， 又F 1(－2a,0)、F 2(2a,0)， ∴|PF 1||PF 2| ＝x 0＋2a2＋y 20·x 0－2a2＋y 2＝2x 20＋a 2＋22ax 0·2x 20＋a 2－22ax 0 ＝|2x 0＋a ||2x 0－a |＝|2x 20－a 2| ＝|x 20＋y 20|＝|PO |2.(2)设垂足分别为Q 、R ，则由点到直线距离公式知 |PQ |＝|x 0－y 0|2，|PR |＝|x 0＋y 0|2，∴S PQOR ＝|PQ ||PR |＝12|x 20－y 20|＝12a 2(定值)．[总结反思] 证定值问题亦可从特殊值出发找出定值，然后再进行论证． 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1.(1)F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .[解析] (1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F (－62，0)．设M (x ，y )，则|MF |2＝(x ＋62)2＋y 2＝(3x ＋22)2， 由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，解得x ＝62，所以M (62，±2)．(2)左顶点A (－22，0)，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2(x ＋22)，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k2＋1 (*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k2，x 1x 2＝－1－b22－k2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝1＋k2－1－b22－k2＋2k 2b 22－k2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(十一)[学业水平层次]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a ＞0)，∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2014·高二考试)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．(2014·高考)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D 二、填空题5．(2014·高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 26．(2013·高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 447．(2014·)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝bax ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－ba x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2， ∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，即3b 2a 2－(9b 2－a 2)＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2，∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52三、解答题8．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1.又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c2a2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.9．(2014·高二检测)已知双曲线x 23－y 2b2＝1的右焦点为(2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积．【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A 、B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形面积为S ，则S ＝12×433×2＝433.[能力提升层次]1．(2014·省实验中学高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线均与C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．(2014·市东城区)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A 、B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2,0)， 将直线AB 方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．(2014·师大)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.。