高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题含答案
正弦余弦历年高考题附详细标准答案.docx
正余弦定理1.在AABC中，A>3是sinA>sin3地（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件r2、已知关于x地方程X2 -xcos A cosB + 2 sin2— = 0地两根之和等于两根之积地一半, 2则AA5C一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.3、已知a,b,c分别是地三个内角A, B.C所对地边，若a=l,b=J^, A+C=2B,则sinC=.4、如图，在ZkABC 中，若b = 1, c = ZC = —,则a=.35、在MSC中，角A,B,C所对地边分别为a, b, c,若。
=很，人=2 , sinB + cosB =扼，则角A地大小为.6、在AABC 中，a,b,c分别为角A,B,C地对边，且4 sin2- cos 2 A =-2 2（1）求/A地度数（2）若a =也,b + c = 3,求人和c地值7,在中已知acosB=bcosA,试判断地形状.8、如图，在中，巳知a =后,b = 41, B=45。
求A、C及c.C'1、解：在AABC中，A> B >Z? v>2AsinA> 2Asin3 v>sinA> sin3,因此，选C .1「 i _ ms C2、【答案】由题意可知：cosAcosB = --2 sm--=从而2 2 22 cos A cos B = 1 + cos(A + 3) = 1 + cos A cos B - sin Asin Bcos Acos B + sin Asin B = 1, cos(A-B) = 1 又因为一兀 < A—B<i所以A-B = O,所以即C一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中地应用.【思路点拨】由己知条件求出3、A地大小，求出C,从而求出sin C.【规范解答】由A+C=2B及A+3 + C = 180°得3 = 60。
高考数学正弦余弦真题及答案一
B．直角三角形C．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a=3，c=2，B=45°．（1）求sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC=-45，求tan ∠DAC的值．√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sinC 的值；（2）三角形的内角和为180°，cos ∠ADC=-45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC+∠C 互为补角，所以sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）展开可得sin ∠DAC 及cos ∠DAC ，进而求出tan ∠DAC的值．【解答】解：（1）因为a=3，c=2，B=45°．，由余弦定理可得：b=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×2×22=5，由正弦定理可得c sinC =b sinB ，所以sinC=c b •sin45°=25•22=55，所以sinC=55；（2）因为cos ∠ADC=-45，所以sin ∠ADC=1−cos 2∠ADC =35，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cosC=1−sin2C=255，所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）=sin ∠ADCcos ∠C+cos ∠ADCsin ∠C=2525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC=1−sin2∠DAC=11525，所以tan ∠DAC=sin ∠DAC cos ∠DAC =211．√√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．（2022秋•鄠邑区期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB ，则△ABC 的形状是（ ）A．6B．12D．无解B．7C．19D．19【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理代入，可得a=b,从而可得结论．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a•a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（2023春•雁塔区校级期中）在△ABC中，已知b=63，c=6，C=30°，则a=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由已知利用余弦定理可得a2-18a+72=0，解方程即可求解a的值．【解答】解：∵b=63，c=6，C=30°，∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得36=a2+108-2×a×63×32，整理可得：a2-18a+72=0，∴解得a=12，或6．故选：C．√√√【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．（2023春•房山区期末）在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，则c等于（ ）√【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理列出关系式，将a,b及cosC的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，A．2B．2C．3A．23C．45D．38则c=7．故选：A．√【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．（2023春•青铜峡市校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若cosA=63，b=22，c=3，则a=（ ）√√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】D【分析】根据余弦定理求解即可．【解答】解：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3，得a=3．故选：D．√【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•香洲区校级期末）已知△ABC的三边长分别为a,a+3，a+6，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（ ）【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则C=2A，由正弦定理可得asinA=a+6sinC，化简得cosA=a+62a，再利用余弦定理可求出a的值，进而求出cosA即可．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则A为最小角，C为最大角，∴C=2A，由正弦定理可得，asinA=a+6sinC=a+6sin2A，∴asin2A=（a+6）sinA，即2asinAcosA=（a+6）sinA，又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，A．6-2B．4-23D．4+23B．60°C．135°D．150°∴cosA=a+62a=(a+3)2+(a+6)2−a22(a+3)(a+6)，解得a=12，∴cosA=a+62a=1824=34，即最小内角的余弦值为34．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•密山市校级期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b.c.若a=c=6+2，且A=75°，则边b=（ ）√√√√√√【题型】解三角形；逻辑推理．【答案】C【分析】根据两角和公式可得sinA，三角形内角和为180°，可得B，根据正弦定理，列出等式，直接求出b.【解答】解：根据两角和公式可得sinA=sin（30°+45°）=2+64，根据题意可知a=c,C=75°，三角形内角和为180°，可得B=30°，sinB=12，根据正弦定理bsinB=asinA，b12=2+62+64=4，所以b=2．故选：C．√√√√√√【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属基础题．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2-b2=-ac,则角B=（ ）【题型】解三角形．【答案】A【分析】由条件利用余弦定理求得cosB=-12，从而求得B的值．A．135°C．60°D．90°B．(1，3)C．（0，1）D．(3，+∞)【解答】解：△ABC中，∵a2+c2-b2=-ac,由余弦定理可得 cosB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=-12，∴B=120°，故选：A．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．（2023•新干县校级一模）已知三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2，则三角形的最大内角是（ ）√【题型】解三角形．【答案】B【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ，由余弦定理求得cosθ 的值，可得θ的值．√【解答】解：∵三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2中，a2+ab+b2为最大边，则三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ．由余弦定理可得 cosθ=a2+b2−(a2+ab+b2)2ab=-12，∴θ=120°，故选：B．√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．（2023春•鼓楼区校级期中）已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a2=b2+bc,则tanAtanB的取值范围为（ ）√√【题型】计算题；对应思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=tan2B=2tanB1−tan2B，进而得到tanAtanB=-2+21−tan2B，再求出B的范围，求解即可．【解答】解：∵a2=b2+bc,a2=c2+b2-2bccosA，∴c-2bcosA=b,∴sinC-2sinBcosA=sinB ，∴sin （A+B ）-2sinBcosA=sinB ，∴sinAcosB-sinBcosA=sinB ，∴sin （A-B ）=sinB ，∵A ，B ∈（0，π），∴A-B=B ，∴A=2B ，∴tanA=tan2B=2tanB1−tan 2B，即tanAtanB=2tan 2B1−tan 2B=-2+21−tan 2B，∵锐角△ABC ，∴V Y Y Y Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y Y Y Y X 0<2B <π20<B <π20<π−3B <π2，∴π6＜B ＜π4，∴13＜tan 2B ＜1，∴tanAtanB=-2+21−tan 2B＞1，∴tanAtanB 的取值范围为（1，+∞）．故选：A ．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．（2023•黄埔区校级模拟）在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C ，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），n =（2sin 2（B 2+π4），-1）且m ⊥n （1）求角B 的大小；（2）若a=3，b=1，求c 的值．→→→→√【题型】计算题；解三角形；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据m ⊥n 即m •n =0得关于角B 的三角函数的方程，运用二倍角公式和诱导公式化简，即可求出角B ；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，根据余弦定理可得一个关于c 的一元二次方程，解这个方程求解c值．→→→→【解答】解：（1）由于m ⊥n ，则m •n =0，即有2sinB•2sin 2（B 2+π4）-（2-cos2B ）=0，即2sinB•[1-cos2（B 2+π4）]-2+cos2B=0，即2sinB+2sin 2B-2+1-2sin 2B=0，→→→→解得sinB=12，由于0＜B ＜π，则B=π6或5π6；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accosB ，代入得：1=3+c 2-23c •32，即c 2-3c+2=0，解得c=1或c=2．√√【点评】本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．（2023春•雨山区校级期中）在△ABC 中，A =π3，b =2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）△ABC 的面积．条件①：b 2+2ac =a 2+c 2；条件②：acosB=bsinA ．√√【题型】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（Ⅰ）B=π4；（Ⅱ）S △ABC =3+34．√【分析】选择条件①时：（Ⅰ）利用余弦定理求出cosB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．选择条件②时：（Ⅰ）由正弦定理求出tanB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．【解答】解：选择条件①：b 2+2ac=a 2+c 2，（Ⅰ）由b 2+2ac=a 2+c 2，得a 2+c 2-b 2=2ac,所以cosB=a 2+c 2−b 22ac=2ac 2ac =22；又B ∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知a sinA =bsinB，所以a=bsinAsinB =3；所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，√√√√√√√√√√√所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．选择条件②：acosB=bsinA．（Ⅰ）由正弦定理得asinA =b sinB，所以asinB=bsinA；又acosB=bsinA，所以sinB=cosB，所以tanB=1；又B∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知asinA =b sinB，所以a=bsinAsinB=3；所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（2022秋•南通期中）在△ABC中，三边长是公差为2的等差数列，若△ABC是钝角三角形，则其最短边长可以为4（区间（2，6）之间的实数都可以）.（写出一个满足条件的值即可）【题型】计算题；转化思想；分析法；解三角形；逻辑推理．【答案】4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【分析】设三边分别为x-2，x,x+2，求出最大边对角的余弦值，令其小于零，结合构成三角形的三边满足的条件，列出关于x的不等式组解出x的范围．【解答】解：由已知令△ABC的三边为：x-2，x,x+2，则应满足x＞2，且x-2+x＞x+2，解得x＞4①，因为△ABC是钝角三角形，故边长解得为x+2的边对角θ满足：cosθ=x 2+(x−2)2−(x+2)22x•(x−2)<0，结合①式解得4＜x＜8，故最短边2＜x-2＜6，故可取x=6，则最短边长为4．故答案为：4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【点评】本题考查三角形的性质、余弦定理的应用，属于中档题．（2023•玉林三模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinA=c.（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2−12，求b+c的值．√√【题型】对应思想；综合法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A 的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c 的值．【解答】解：（1）△ABC 中，acosB+bsinA=c,由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC ，又sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinBsinA=cosAsinB ，又sinB≠0，∴sinA=cosA ，又A ∈（0，π），∴tanA=1，A=π4；（2）由S △ABC =12bcsinA=24bc=2−12，解得bc=2-2；又a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴2=b 2+c 2-2bc=（b+c ）2-（2+2）bc,∴（b+c ）2=2+（2+2）bc=2+（2+2）（2-2）=4，∴b+c=2．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．（2023春•杨浦区校级期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c,若a=4，b=6，c=9，则角C=π-arccos2948．【题型】对应思想；定义法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦定理求出cosC ，再根据反余弦函数求出C 的值．【解答】解：△ABC 中，a=4，b=6，c=9，由余弦定理得cosC=42+62−922×4×6=-2948，有C ∈（0，π），所以C=π-arccos 2948．故答案为：π-arccos 2948．【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题．B．2π3C．π6D．5π6B．63C．22D．12（2023•青海模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，则A=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．【解答】解：已知△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，利用余弦定理b2+c2-a2=2bccosA，整理得：12bcsinA=3(b2+c2−a2)4=32bccosA，所以tanA=3，由于A∈（0，π）．则A=π3．故选：A．√√√√【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．（2023春•鼓楼区校级期末）△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知43S=(a+b)2−c2，则sinC的值是（ ）√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】根据三角形的面积公式结合余弦定理化简求出C，即可得解．【解答】解：因为43S=(a+b)2−c2，又S=12absinC，所以23absinC−2ab=a2+b2−c2，所以3sinC−1=a2+b2−c22ab，又cosC=a2+b2−c22ab，所以3sinC−cosC=1，所以sin(C−π6)=12，√√√√A．3B．2D．3或7又C∈（0，π），则C−π6∈(−π6，5π6)，所以c−π6=π6，所以C=π3，则sinC=32．故选：A．√【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式，属于基础题．（2023春•永昌县校级月考）在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且AB=2，sinB=32，且S△ABC= 32，则AC=（ ）√√√√√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由题意利用三角形的面积公式可求BC=1，分类讨论，利用余弦定理即可求解AC的值．【解答】解：因为AB=2，sinB=32，且S△ABC=32=12AB•BC•sinB=12×2×BC×32，所以BC=1，因为BC＜AB，所以A为锐角，当C为钝角时，可得cosB=1−sin2B=12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×12=3，可得AC=3，此时cosC=a2+b2−c22ab=1+3−42×1×3=0，又C∈（0，π），可得C=π2，不符合题意，故舍去，当B为钝角时，可得cosB=-1−sin2B=-12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×（-12）=7，可得AC=7．故选：C．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•江油市校级期中）在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a=1，b=3，c=13，则角C等于（ ）√A．90°C．60°D．45°A．5π6C．π3D．π6【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可．【解答】解：a=1，b=3，c=13，则cosC=a2+b2−c22ab=12+32−(13)22×1×3=−12，因为0°＜C＜180°，故C=120°．故选：B．√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•尖山区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若（a+b+c）（c+b-a）=bc,则A=（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】由已知利用平方差公式整理可得b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA=-12，结合A∈（0，π），即可求解A的值．【解答】解：∵△ABC中，（a+b+c）（c+b-a）=bc,∴（b+c）2-a2=bc,整理得：b2+c2-a2=-bc,∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=-12，又A∈（0，π），∴A=2π3．故选：B．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，求得b2+c2-a2=-bc是关键，属于基础题．（2023春•安化县期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ac=8，a+c=7，B=π3，则b=（ ）A．25C．4 $D．5 A．−22B．22D．1010√【题型】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．【解答】解：因为ac=8，a+c=7，B=π3，所以由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB=49-2×8-2×8×12=25，所以b=5．故选：B．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．（2023春•房山区期末）已知平面直角坐标系中的3点A（2，2），B（6，0），C（0，0），则△ABC中最大角的余弦值等于（ ）√√√【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】根据夹角公式算出△ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果．【解答】解：A（2，2），B（6，0），C（0，0），AB=(4，−2)，AC=(−2，−2)，cosA=cos〈AB，AC〉=AB⋅AC|AB||AC|=−4410=−1010；CB=(6，0)，CA=(2，2)，cosC=cos〈CB，CA〉=CB⋅CA|CB||CA|=126×22=22，BA=(−4，2)，BC=(−6，0)，cosB=cos〈BA，BC〉=BA⋅BC|BA||BC|=246×25=255；由A，B，C为三角形ABC的内角，则cosA＜0，cosB＞0，cosC＞0，于是A是钝角，B，C是锐角，最大角是A，余弦值为−1010．故选：C．→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．A．3B．4D．6 A．-1C．1D．6（2023•郑州模拟）在△ABC中，满足9sin2A+6cosA=10，且AB=3，BC=26，则AC=（ ）√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由同角三角函数的平方关系化简9sin2A+6cosA=10求出cosA，再利用余弦定理即可求解AC．【解答】解：9sin2A+6cosA=9（1-cos2A）+6cosA=9-9cos2A+6cosA=10，即9cos2A-6cosA+1=（3cosA-1）2=0，解得cosA=13，由余弦定理可知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+AC2−246AC=AC2−156AC，则AC2−156AC=13，整理得3AC2-6AC-45=（3AC-15）（AC+3）=0，解得AC=5或AC=-3（舍）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）【题型】等差数列与等比数列．【答案】B【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=12（a2+a6）=12(4+a6)=2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．B．b≤0C．c=0D．a-2b+c=0（2017•上海）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c,n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ）【题型】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑．【答案】A【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k+x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c,化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n+1b n=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【题型】计算题；方程思想；综合法；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【分析】（1）由题意当n=1时，b1=S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将b nb n−1=S n，代入2S n +1b n=2，可得b n-b n-1=12，进一步得到数列{b n}是等差数列；（2）由a1=S1=b1=32，可得b n=n+22，代入已知等式可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-1n(n+1)，进一步得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n=1时，b1=S1，由2b1+1b1=2，解得b1=32，B．a n=3n-10C．Sn=2n2-8n D．S n=12n2-2n 当n≥2时，b nb n−1=S n，代入2S n+1b n=2，消去S n，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b n-b n-1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1=S1=b1=32，由（1），可得b n=32+（n-1）×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1= n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)，显然a1不满足该式，所以a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）【题型】计算题；方程思想；等差数列与等比数列．【答案】A【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d,则有V WX4a1+6d=0a1+4d=5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0，a5=5，得V WX4a1+6d=0a1+4d=5，∴V WX a1=−3d=2，∴a n=2n-5，S n=n2−4n，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）A．100B．99D．97 A．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件【题型】计算题；定义法；等差数列与等比数列．【答案】C【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．（2023•阿拉善盟一模）已知{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的（ ）【题型】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；逻辑推理．【答案】B【分析】根据等差数列的性质，充分与必要条件的概念即可求解．【解答】解：由对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3，可得等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴等差数列{a n}仅有前三项为负项，且公差d＞0，∴可得a4＞a3，反过来，由a4＞a3，可得d＞0，但不能得到等差数列{a n}仅有前三项为负项，即不能得到等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查等差数列项的性质，充分与必要条件的概念，属基础题．A．若①有实根，②有实根，则③有实根C．若①无实根，②有实根，则③无实根D ．若①无实根，②无实根，则③无实根（2023•长宁区二模）设各项均为实数的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，对于方程①2023x 2-S 2023x+T 2023=0，②x 2-a 1x+b 1=0，③x 2+a 2023x+b 2023=0．下列判断正确的是（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】若①有实根，得到a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，得到Δ1+Δ2023≥0，结合举反例可以判断选项AB ；通过举反例可以判断选项CD ．【解答】解：若①有实根，由题意得：S22023−4×2023T 2023≥0，其中S 2023=2023(a 1+a 2023)2=2023a 1012，T 2023=2023(b 1+b 2023)2=2023b 1012，代入上式得a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，则Δ1+Δ2023=(a 21−4b 1)+(a 22023−4b 2023)=a 21+a 22023−4(b 1+b 2023)≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)等号成立的条件是a 1=a 2023．又Δ1+Δ2023≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)=(2a 1012)22−8b 1012=2(a21012−4b 1012)≥0，如果②有实根，则Δ1≥0，则Δ2023≥0或者Δ2023＜0，所以③有实根或者没有实根，如a 1=6，b 1=2，a 2023=4，b 2023=6，满足a 21012−4b 1012=52−4×4>0，Δ1=36-8＞0，但是Δ2023=16-24＜0，所以③没有实根，所以A 错误；如果②没实根，则Δ1＜0，则Δ2023≥0，所以③有实根，所以B 正确；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②有实根，则Δ1≥0，设a 1=3，b 1=2，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×2<0，Δ1＞0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以C 错误；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②无实根，则Δ1＜0，设a 1=3，b 1=3，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×52<0，Δ1＜0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以D错误．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可．。
正余弦函数高考题集含答案
正、余弦定理高考练习题（1）1.（15北京理科）在中，，，，则．【答案】1试题分析：2.（15北京文科）在中，，，，则．【答案】试题分析：由正弦定理，得，即，所以，所以..3.（15年广东理科）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 【答案】．4.（15年广东文科）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BABC △4a =5b =6c =sin 2sin AC=222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ABC ∆A B C a b c a =1sin 2B =6C =πb =1试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B ．5.(15年安徽理科) 在中，,点D 在边上，，求的长？6.（15年安徽文科）在中，，，，则。
【答案】2试题分析：由正弦定理可知：7.（15年福建理科）若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________． 【答案】试题分析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得 ABC∆,6,4A AB AC π===BC AD BD =AD ABC ∆6=AB 75=∠A 45=∠B =AC45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC ABC∆5,8AB AC ==BC 7ABC ∆1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin 2A =(0,)2A π∈3A π=，．8.（15年福建文科）若中，，，，则_______．【答案】试题分析：由题意得．由正弦定理得，则，所以．10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求;(Ⅱ) 若=1，=求和的长.11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC .2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=497BC =ABC∆AC =045A =075C =BC=0018060B A C =--=sin sin AC BCB A=sin sin AC ABC B=BC ==CB∠∠sin sin AD DC 22BDAC ∠（I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.12.(15年陕西理科) 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （I ）求； （II ）若，求的面积． 【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB 3π2//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为.13.（15年陕西文科）的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求； (II)若求的面积.【答案】(I) ；(II). 2222cos a b c bcA 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c 3c ∆133bcsinA 22ABC ∆,,A B C ,,a b c (,3)m a =(cos ,sin )n A B =A 2a b ==ABC ∆3A π=试题解析：(I)因为，所以 由正弦定理，得， 又，从而，由于 所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以， 故面积为. 解法二：由正弦定理，得从而 //m n sin 3cos 0a B b A -=sin sin cos 0A B B A -=sin 0B≠tan A =0A π<<3A π=2222cos a b c bc A =+-2a b ==3A π=2742c c =+-2230c c --=0c >3c =ABC∆1sin 22bc A=2sin sin3Bπ=sin B =又由知，所以 故， 所以面积为14.（15年天津理科）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【答案】题分析：因为，所以， 又，解方程组得，由余弦定理得，所以.15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为, （I ）求a 和sin C 的值； （II ）求 的值. 【答案】（I ）a =8,；（II ）a b >A B >cos 7B =sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=ABC ∆1sin 2ab C =ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆12,cos ,4b c A -==-a 80A π<<sin 4A ==1sin 2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=224b c bc -=⎧⎨=⎩6,4b c ==2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =12,cos ,4b c A -==-cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭sin C =正、余弦定理高考题练习（2）一、选择题（每题5分）1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( ) A.15 B.59D.1【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。
正弦定理和余弦定理 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习
4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=b a c c ab c b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 2 9. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________.解析：根据正弦定理，asin A ＝csin C， 由3a ＝2c sin A ，得asin A ＝c32， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3.答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得 x ＋2＋y 2＝ 2 x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2. 答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B的值是________． 解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 法一 如图(1)，图(1) a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3 ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎨⎧ a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解析 (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B＝1 4得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高考数学题型全归纳：正余弦定理例题解析含答案
AB C12 正余弦定理例题解析例1．在△ABC 中，如果a＝18，b＝24，A＝︒45，则此三角形解的情况为(B ).A.一解B.两解C.无解D.不确定解：由bsinA＜a＜b 故有两解选B例2．在△ABC 中，a＝5，b＝15，A＝︒30，则c 等于(C ).A.25B.5C.25或5D.以上都不对解：由bsinA＜a＜b 故有两解选C例3．在△ABC 中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是(B ).A.︒150B.︒120C.︒90D.︒135解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-21，所以最大角C 为︒120.例4．(1)在△ABC 中，若B＝︒30，AB＝23，AC＝2，则△ABC 的面积是_____.(2)△ABC 中，若AB＝1，BC＝2，则角C 的取值范围是_____.解：(1)sinC＝23230sin 32＝︒，于是C＝︒60或︒120，故A＝︒90或︒30，由S △ABC ＝A AC AB sin 21⋅⋅可得答案23或3.(2)如图所示，由已知得BC＝2AB，又A BCC AB sin sin ＝∴sinC＝A sin 21≤21又∵0＜C＜A ∴0＜C≤6π例5．在△ABC 中，求证：a 2sin2B+b 2sin2A＝2absinC 证明：由正弦定理B b A a sin sin ＝知22sin 2sin 2sin 2sin 2a B b AabB Aab b a +=+sin sin 2sin sin 22(sin cos sin cos )2sin()2sin sin sin A BB AA B B A A B C B A ⋅=+=⋅+⋅=+=故原式成立.例6．在锐角三角形ABC 中，A，B，C 是其三个内角，记B A S tan 11tan 11+++＝求证：S＜1证明：∵111tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan (1tan )(1tan )1tan tan tan tan A B A BS A B A B A B A B+++++++==+++++++＝∵︒+90＞B A ，∴︒-︒9090＜＜A B ，∴cotB＜tanA 即B A tan tan ⋅＞1，∴S＜1.例7．在△ABC 中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状.解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg 2，得sinB＝22，又B 为锐角，∴B＝︒45，又22＝c a 得2sin ＝A ，D C A BE ∴2sinC＝2sinA＝2sin(︒135-C)，∴sinC＝sinC+cosC，∴cosC＝0即C＝︒90，故此三角形是等腰直角三角形.例8．已知a，b，c 分别是△ABC 三个内角A，B，C 的对边.①若△ABC 面积为23，c＝2，A＝︒60，求b，a 的值.②若acosA＝bcosB，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.解：①由已知得︒60sin sin 2123b A bc ＝＝，∴b＝1.由余弦定理a 2＝b 2+c 2-2bccosA＝3，∴a＝3.②由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B，由已知A，B 为三角形内角，∴A+B＝︒90或A＝B，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.例9．如图所示，已知在梯形ABCD 中AB∥CD，CD＝2,AC＝19，∠BAD＝︒60，求梯形的高.解:作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高.∵∠BAD＝︒60，∴在Rt△AED中，有DE=AD ︒60sin ＝23⨯AD ，即DE＝23AD.①下面求AD(关键)：∵AB∥CD，∠BAD＝︒60，∴在△ACD中，∠ADC＝︒120，又∵CD＝2,AC＝19，∴,cos ADC CD AD CD AD AC ∠⋅-+2222＝即︒⨯-+12022219222cos )(AD AD ＝解得AD＝3，(AD＝-5，舍).将AD＝3代入①，梯形的高.33333＝＝＝⨯AD DE 例10．如图所示,在△ABC中，若c＝4,b＝7，BC边上的中线AD＝27,求边长a.解：∵AD是BC边上的中线，∴可设CD＝DB＝x.∵c＝4,b＝7,AD＝27,∴在△ACD中，有222772cos .x C x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯⨯在△ACB中，有2227(2)4cos .x C +-=⨯⨯∴222222777(2)42,27272x x x x ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=⨯⨯⨯⨯∴x＝29,∴a＝2x＝9.。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
高三数学余弦定理试题答案及解析
高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理3.在中，，，，则； .【答案】2,【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.4.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，或.【解析】根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.由三角形面积公式，得，故.∵，∴.当时，由余弦定理得，，所以；当时，由余弦定理得，，所以.【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.在中，,,，则边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，即，，即，又，设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.故选【考点】余弦定理；三角形面积公式.7.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形8.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，故选A.10.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a，b，c，若3a2+2ab+3b2－3c2=0，则sinC 的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵3a2+2ab+3b2－3c2=0，∴a2+b2－c2=ab由余弦定理知cosC==－又sin2C+cos2C=1∴sinC=11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C＝120°，c＝a，则( ) A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即()2＋－1＝0＝<1，故b<a．方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b．12.在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【解析】由余弦定理知，所以，，．【考点】余弦定理．13.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于( ) A．B．5C．D．25【答案】B【解析】∵，∴，由余弦定理得，∴，故选B.【考点】余弦定理的应用14.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.15.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】10(m)【解析】如图，A为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝10(m)．16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．【答案】【解析】根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝18.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理判断.解:由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又∵cosC=,故cosC<0.又∵0<C<π,故<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【方法技巧】三角形形状判断技巧三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－20.已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.【解析】利用余弦定理，再变形即得答案．＝2，则b等21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于________．【答案】5【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝522.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BC tan 60°＝30.23.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】由三角形的面积公式得c2＝ab sin C⇒＝sin C，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，所以＝2sin C＋2cos C＝2sin，最大值是224.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.25.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.26.已知三角形内角A,B,C的对边分别为且满足，则_________.【答案】【解析】因为，所以可得.又因为在三角形中，由余弦定理可得.所以.又因为.所以.故填.本小题的关键是余弦定理的应用.【考点】1.余弦定理.2.三角函数方程的解法.27.在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】7【解析】由即得，再由余弦定理可得，所以.【考点】三角形面积公式和余弦定理.28.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.29.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】乙船每小时航行海里．【解析】连接，依题意可知，求得的值，推断出是等边三角形，进而求得，在中，利用余弦定理，可得，从而可求出的值，最终可求得乙船的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】应用余弦定理解三角形．30.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为 .【答案】【解析】∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.【考点】1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角31.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是____________.①是直角三角形；②的最小值为；③的最大值为；④存在使得【答案】①②④【解析】在中，，解得，因为,故，如图所示建立平面直角坐标系,则，设点（），所以=，故当时，最小值为，当时，最大值为12，由三点共线，故（）得，所以，令，故正确结论为①②④.【考点】1、余弦定理；2、二次函数的值域；3、平面向量基本定理.32.在中，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，由余弦定理可得，故，选C.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.基本不等式33.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b= .【答案】3【解析】由余弦定理，所以，，又所以，，故答案为3.【考点】余弦定理的应用34.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.【考点】余弦定理的应用35.在中，若，，，则 .【答案】【解析】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.【考点】余弦定理36.在中，分别是的对边，若，则的大小为 .【答案】＋1【解析】由，得，即，∵，∴，又∵，∴在中，由余弦定理得，解得.【考点】1.余弦定理；2.倍角公式.37.已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cos A=，∴A=，∴2sin B cos C-sin(B-C)= sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A= 6分(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+2cos B=4sin(B+)，可知周长的最大值为6 ． 12分【考点】三角函数的性质，解三角形点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
(完整版)正余弦典型例题及详细答案
正余弦典型例题及详细答案一、解答题（题型注释）1（1（2【答案】(2【解析】试题分析:（1;（2）利用（1）,值.试题解析：（1（2考点：正余弦定理的综合应用及面积公式。
2,（1（2【答案】（（2【解析】试题分析:（1）利用正弦定理，（2试题解析：(1（2=”考点：解三角形，正余弦定理，基本不等式．3（1(2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）等差数列再由正弦定理6sin(3045)4+=+=，再由正弦定理2245sin60sin7526224b a==⇒=+,,则11sin2(22ABCS ac B∆==⨯2分sin 6032A =4分 120，∴6分 675sin(3045)4+=+=分 245sin 60sin 752322b a b==⇒=2(31)6(31)b -=-，， 10分12分4．已知A 、B 、C 为三角形ABC 的三内角,其对应边分别为a ，b ，c,若有2acosC=2b+c 成立. (1）求A 的大小；（2)ABC 的面积. 【答案】（1（2【解析】 试题分析：（1)A 的余弦值，从而求出角A ；（2,,再结合上题中求得的角A试题解析:(1（2)考点：正弦定理，余弦定理，三角形两边一夹角的面积公式,化归与转化的数学思想.。
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3． 在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若>sin a b A ，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。
正余弦定理知识点+经典题(有答案)
正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
高三复习：正弦定理、余弦定理含解析答案(教师版+学生版)
§4.7 正弦定理、余弦定理错误！未找到引用源。
1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 内容_______________________________a 2＝______________；b ＝______________；；c 2＝______________变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝_________，c ＝_________；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝_________； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A(5)cos A ＝_________ cos B ＝_________；cos C ＝_________2.S △ABC ＝_________＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥b a >b 解的个数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ )(3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (6)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于32.( × )题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．(1)(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b－c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 ．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝ .题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；（2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． （3）在本例条件下，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状变式 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．题型三 和三角形面积有关的问题例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．课堂练习1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝ . 2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是 三角形．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是 ．4、如果满足∠ABC ＝60°，AB ＝8，AC ＝k 的△ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是________．5、在△ABC 中，(2)(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为 ．6、角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝ .4.7 正弦定理、余弦定理作业1．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ .2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝ . 3．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝ . 4、在△ABC中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a＝ .5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝ .6．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 ．7．△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为 ．8、在△ABC 中，C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝ .9．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝ .10．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝ .11．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ .12.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 ．13．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．§4.7 正弦定理、余弦定理错误！未找到引用源。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )A ．a B.2a C ．2aD.3a[答案] D[解析] 依题意得∠ACB ＝120°.由余弦定理cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >32，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝12. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ； 当a cos A ＝b cos B 时， 由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )A ．10km B.3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形[答案] B[解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2 C ．1D.32[答案] D[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0<A ，B <π，∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B . 故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋32，∵0<A <π2，∴0<cos A <1，∴cos A ＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A.π3B.π2C.π4D.2π3[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∵0<C <π，∴C ＝π4.(理)已知a 、b 、c 是△ABC 三内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c <2aB ．b ＋c ≤2aC ．b ＋c ＝2aD ．b ＋c ≥2a[答案] B[解析] ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12，又A 为锐角，∴A ＝60°，∴B ＋C ＝120°， ∴b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，∴b ＋c ≤2a .6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] ∵cos A ＝513，∴sin A ＝1213>35＝sin B ，∴A >B ，∵sin B ＝35，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.[点评] 在△ABC 中，有sin A >sin B ⇔A >B .7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A[解析] 如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6[答案] D[解析] 由条件2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b212，∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.(理)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又∵c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝6，c sin A a ＝32，则此双曲线的离心率为( )A.3＋72B.3－72C ．3－7D ．3＋7[答案] D [解析]c sin A a ＝32⇒a sin A ＝c 32＝c sin C⇒sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3， 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c ＝27∴e ＝a b －c ＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. (理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ， ∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2C ＝AH ＝2x,2a ＝AB－BH ＝(5－1)x ，∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．[答案] 60(3－1)[解析] 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)． 12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析] 如图可知，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴AC ＝5，∠BAC ＝60°，从而∠DAC ＝45°， 又AD ＝32，∴由余弦定理得， CD ＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a ＋b ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，12ab sin π3＝3，∴ab ＝4，∵cos π3＝a 2＋b 2－42ab，∴a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝8＋8＝16， ∴a ＋b ＝4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝10，则bc 的最大值是______．[答案] 100＋50 2[解析] 由题意得，12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理得，sin A ＝cos A ，∴∠A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，∴bc ≤1002－2＝100＋50 2.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案] 10[解析] 设该船的速度为v 海里/小时，如图由题意知，AD ＝v 2，AC ＝32v ，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v2v 2，解得v ＝10. (理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案] m cos αcos β>n sin(α－β)[解析] ∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，∴∠AMB ＝α－β，由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a cos B ＋b cos A ＝1.(1)求c ；(2)若tan(A ＋B )＝－3，求CA →·CB →的最大值． [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝1及正弦定理得， c sin A sin C ·cos B ＋c sin Bsin C ·cos A ＝1， ∴c sin(A ＋B )＝sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0， ∴c ＝1.(2)∵tan(A ＋B )＝－3，0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π3.由余弦定理得，12＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ＝2CA →·CB →，∴CA →·CB →≤12，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”号． 所以，CA →·CB →的最大值是12.16．(文)(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10km ，AB ＝14km ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ， 则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°， 整理得：x 2－10x －96＝0， 解之得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， 由正弦定理得， BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km)答：两景点B 与C 的距离约为11.3km.(理)(2010·湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．[解析] (1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .∴cos ∠ABC ＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°.则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)． 在△ABC 中，由余弦定理： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝16＋36－2×4×6×12＝28，故AC ＝27.由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)．(2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝2 3.设AP ＝x ，CP ＝y ， 则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy .又由余弦定理：AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°高考总复习含详解答案 ＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy .∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号．∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．17．(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值．(2)求P 到海防警戒线AC 的距离(结果精确到0.01千米)．[解析] (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x同理，在△P AC 中，AC ＝50cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x， ∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解之得，x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531得， sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠APD ＝31·42131＝421≈18.33千米， 答：静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米．。
高三数学余弦定理试题答案及解析
高三数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝．【答案】【解析】因为sinB＝sinC，由正弦定理得：，由余弦定理得：【考点】正余弦定理2.已知的三个内角所对的边分别为．若△的面积，则的值是。
【答案】4【解析】得得。
【考点】三角形面积公式、余弦定理、商数关系．3.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为()A．B．2C．2或D．3【答案】C【解析】根据余弦定理可得：()2＝x2＋32－2×3x×cos(180°－150°)，即x2－3x＋6＝0．∴x＝2或．4.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A．5(＋) km B．5(－) kmC．10(－) km D．10(＋) km【答案】C【解析】由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400＝400(2－)，∴BC＝＝＝10 (－1)＝10(－)(km)．5.在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据余弦定理的推论，代入到条件中可得，所以有，进一步根据角B的范围求出B 的大小；（2）由（1）知：所以把化成只含角一个变量的三角函数，利用三角函数的最值求解.解：（1）由余弦定理可得：，即由得 5分（2）由得， 6分． 9分∵，∴， 10分∴， 11分∴的取值范围为． 12分【考点】1、余弦绽理及其推论；2、两角各与差的三角函数公式；3、三角函数的最值问题.6.（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．解：（I）由B=C，可得所以cosA==（II）因为所以=点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．7.在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得.故选.【考点】余弦定理的应用.8.（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC9.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形10.在△中，角、、所对的边长分别为、、，且．（1）若，，求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】(1)或；（2）．【解析】(1)已知两边，要求第三边，最好能求出已知两边的夹角，然后用余弦定理可求得，而由已知条件可得，从而可知，即，问题得解；（2）这是三角函数的一般性问题，解决它的一般方法是把函数化为的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，，首先用二倍角公式，降幂公式把二次式化为一次式，再利用两角和的正弦公式把两个三角函数化为一个三角函数，，接下来我们只要把作为一个整体，求出它的范围，就可借助于正弦函数求出的取值范围了．试题解析：（1）在△中，．所以．，所以． 3分由余弦定理，得．解得或． 6分（2）. 9分由（1）得，所以，，则. ∴.∴.∴的取值范围是. 12分【考点】（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，a＝5，△ABC的面积为10.(1)求b，c的值；(2)求cos的值．【答案】（1）c＝7（2）＝absinC，即10＝b·5sin，解得b＝8. 【解析】(1)由已知，C＝，a＝5，因为S△ABC由余弦定理可得：c2＝25＋64－80cos＝49,所以c＝7.(2)由(1)有cosB＝，由于B是三角形的内角，易知sinB＝，所以cos＝cosBcos＋sinBsin＝.12.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若△ABC面积为10，b＝7，求此三角形周长．【答案】（1）（2）20【解析】(1)m·n＝sinB－cosB，∵m⊥n，∴m·n＝0，∴sinB－cosB＝0.∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，∴tanB＝.∵0<B<，∴B＝.＝acsinB＝ac，由题设ac＝10，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得(2)∵S△ABC49＝a2＋c2－ac，∴(a＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac＝49＋120＝169.∴a＋c＝13，∴三角形周长是20.13.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A＝________．【答案】60°【解析】由余弦定理，得cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝60°14.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是________三角形．【答案】等腰【解析】因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，故此三角形一定是等腰三角形．15.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【答案】D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A>B>C,可得a=c+2,b=c+1;①又因为3b=20acosA,由余弦定理可知cosA=,则3b=20a·,②联立①②,化简可得7c2-13c-60=0,解得c=4或c=-(舍去),则a=6,b=5.又由正弦定理可得,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.故应选D.16.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,B=,且sinA∶sinC=3∶1,则b∶c的值为.【答案】【解析】sinA∶sinC=a∶c=3∶1,∴a=3c.由余弦定理cos==,∴=,7c2=b2,∴=7,∴=.17.在△ABC中,AC=,BC=2,∠B=60°,则△ABC的面积等于.【答案】【解析】设角A、B、C的对边分别为a、b、c,由余弦定理,cosB==,即=,∴c2-2c-3=0,∴c=3或c=-1(舍).∴S=acsinB=.△ABC18.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若m=（sin2,1）,n="(-2,cos" 2A+1),且m⊥n.(1)求角A的度数;(2)当a=2,且△ABC的面积S=时,求边c的值和△ABC的面积.【答案】(1) π (2)C=B【解析】解:(1)由于m⊥n,所以m·n=-2sin2+cos 2A+1=1-2cos2+2cos2A-1=2cos2A-cosA-1=(2cosA+1)(cosA-1)=0.所以cosA=-或1(舍去),即角A的度数为π.(2)由S=及余弦定理得tanC=,∴C==B.又由正弦定理=得c=2,所以△ABC的面积S=acsinB=.19.在中，、、分别是角A、B、C所对的边，，则的面积S=______．【答案】【解析】由角A的余弦定理得,因为,所以三角形ABC为直角三角形,则,故填.【考点】余弦定理勾股定理面积＝2，则b等20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于()A．5B．25C．D．5【答案】A【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝5.21.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.22.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos 2A＝.(1)求角A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）A＝60°.（2）【解析】(1)∵B＋C＝π－A，即＝，由4sin2－cos 2A＝，得4cos2－cos 2A＝，即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝，整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0.∴cos A＝，又0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由A＝60°，根据余弦定理cos A＝，得＝.∴b2＋c2－bc＝3，①又b＋c＝3，②∴b2＋c2＋2bc＝9. ③①－③得bc＝2. ④解②④得或∴S＝×1×2×sin 60°＝.△ABC23.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为( )A．＋1B．2＋2C．－1D．2－2【答案】D【解析】分别过点作的垂线，垂足分别为，连结,设,则＝,等腰梯形的周长,令则，所以，，所以，当即， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长.故选D.【考点】1、双曲线的定义；2、余弦定理；3、二次函数的最值问题.24.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∴，由余弦定理得，，所以.【考点】1、诱导公式；2、余弦定理.25.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.26.在⊿ABC中,三边所对的角分别为A,B,C,若,则角C为（）A．30°B．45°C．150°D．135°【答案】B【解析】由余弦定理得，，又，∴.【考点】余弦定理.27.在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则 .【答案】【解析】由余弦定理可知.【考点】余弦定理.28.在中,设内角的对边分别为,向量,向量,若(1)求角的大小；(2)若,且，求的面积.【答案】（1）；（2）16【解析】（1）先计算的坐标，由得关于的方程，再利用辅助角公式化为，则，然后根据，得范围，从而求值，进而确定；（2）在中，，确定，另外两边的关系确定，所以利用余弦定理列方程求，再利用求面积.试题解析：（1）又因为，故，∴；（2）由余弦定理得，即，解得，∴，∴.【考点】1、向量的模；2、向量运算的坐标表示；3、余弦定理.29.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选D.【考点】三角形面积公式.30.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.31.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】，故．【考点】考查余弦定理及运算，属容易题。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正余弦定理典型例题
正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。
解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。
因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。
再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。
所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。
2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。
解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。
把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。
因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。
当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。
高考数学题型全归纳：正余弦定理的应用知识归纳（含答案）
高考数学题型全归纳：正余弦定理的应用知识归纳（含答案）正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理：形式一：R 2Csin c B sin b A sin a ===；形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R 2c C sin ＝；（角到边的转换）形式三：A sin R 2a ?=，B sin R 2b ?=，C sin R 2c ?=；（边到角的转换）形式四：B sin ac 2 1A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积）解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DCAD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。
规律方法总结：1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：1,,,sin 2A B C A B C S ab C π++==均为正角；等。
4、余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ?= 。
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正余弦定理常见解题类型
1． 解三角形
正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．
余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
例1 已知在ABC △中，452A a c ∠===，，
解：由余弦定理得22cos 454b +-=，
从而有1b =±．
又222222cos b b C =+-⨯， 得1cos 2
C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=．
因此，1b =+，60C ∠=，75B ∠=
或1b =-，120C ∠=，15B ∠=．
注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．
2． 判断三角形的形状
利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或
边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：A B C ++=π；利用余弦定理公式
222222
cos cos 22b c a a c b A B bc ac
+-+-==，， 222
cos 2a b c C ab
++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题． 例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C
===，为ABC △外接圆的半径， 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，
sin sin 0B C ≠∵，
sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=．
90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形．
3． 求三角形中边或角的范围
例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b
的取值范围． 解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠．
04B π∴<∠<．可得210sin 2
B <<． 又2sin sin 334sin sin sin c
C B B b B B
===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b
<<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．
4． 三角形中的恒等式证明
根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式．
例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b
+-++====∵， 222222
22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=⨯-===． 又222222()cos 222b c a b c bc b c b A bc bc b
+-+-+-===∵， cos cos 2A B ∴=，而A B ，是三角形内角，2A B ∴=．
一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．。